最佳旅游線路數(shù)學(xué)建模

1、最佳旅游路線設(shè)計(jì)摘要本文主要研究最佳旅游路線的設(shè)計(jì)問題。在滿足相關(guān)約束條件的情況下，花最少的錢游覽盡可能多的景點(diǎn)是我們追求的目標(biāo)?；趯?duì)此的研究，建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出最佳的旅游路線。第一問給定時(shí)間約束，要求為主辦方設(shè)計(jì)合適的旅游路線。我們建立了一個(gè)最優(yōu)規(guī)劃模型，在給定游覽景點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下以人均總費(fèi)用最小為目標(biāo)。再引入0 1 變量表示是否游覽某個(gè)景點(diǎn)，從而推出交通費(fèi)用和景點(diǎn)花費(fèi)的函數(shù)表達(dá)式，給出相應(yīng)的約束條件，使用lingo編程對(duì)模型求解。推薦方案：成都-都江堰-青城山-丹巴-樂山-成都，人均費(fèi)用為 949 元（此處不考慮旅游人數(shù)對(duì)游覽費(fèi)用的影響）。第二問放松時(shí)間約束，要求代表們游遍所有的景點(diǎn)，

2、該問題也就成了典型的貨郎擔(dān)（ TSP） 問題。同樣使用第一問的模型，改變時(shí)間約束，使用lingo 編程得到最佳旅游路線為：成都樂山峨眉海螺溝康定丹巴四姑娘山青城山都江堰九寨溝黃龍-成都，人均費(fèi)用為3243元。第三問要求在第一問的基礎(chǔ)上充分考慮代表們的旅游意向，建立模型求解。通過對(duì)附件一數(shù)據(jù)的觀察，我們使用綜合評(píng)判的方法，巧妙地將代表們的意愿轉(zhuǎn)化為對(duì)相應(yīng)旅游景點(diǎn)的權(quán)重，再對(duì)第一問的模型稍加修改，編程求出對(duì)應(yīng)不同景點(diǎn)數(shù)的最佳路線。推薦路線：成都樂山都江堰-青城山-丹巴-成都，人均費(fèi)用為 927元。對(duì)于第四問，由于參觀景點(diǎn)的人數(shù)越多每人承擔(dān)的費(fèi)用越少，因此我們要考慮的是盡量使得兩組代表在共同旅游的時(shí)

3、間內(nèi)在相同的景點(diǎn)游覽。正是基于此，我們建立模型求解。推薦路線：第一組：成都樂山丹巴-都江堰-青城山-成都第二組：成都-都江堰-青城山-峨眉樂山成都，兩組在都江堰會(huì)合并且共同游覽了都江堰和青城山，人均費(fèi)用為971 元。第五問中，首先我們修改了不合理數(shù)據(jù)，并用SPSS軟件對(duì)缺省數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)間序列預(yù)測。其次我們合理定義了陰雨天氣帶來的損失，以人均總花費(fèi)最小和陰雨天氣帶來的損失最小為目標(biāo)，建立加權(quán)雙目標(biāo)規(guī)劃模型。推薦路線：成都-康定-青城山-都江堰-樂山-成都，相應(yīng)人均消費(fèi)987元，陰雨天氣帶來的損失為1.6。本文思路清晰，模型恰當(dāng)，結(jié)果合理. 由于附件所給數(shù)據(jù)的繁雜，給數(shù)據(jù)的整理帶來了很多麻煩，故我

4、們利用Excel排序，SPSS預(yù)測，這樣給處理數(shù)據(jù)帶來了不少的方便。本文成功地對(duì)0 1 變量進(jìn)行了使用和約束，簡化了模型建立難度，并且可方便地利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解。此外，本文建立的模型具有很強(qiáng)普適性，便于推廣。關(guān)鍵詞：最佳路線TCP 問題 綜合評(píng)判景點(diǎn)個(gè)數(shù)最小費(fèi)用1 問題重述今年暑假，西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)系要召開“XX學(xué)術(shù)會(huì)議”，屆時(shí)來自國內(nèi)外的許多著名學(xué)者都會(huì)相聚成都。在會(huì)議結(jié)束后，主辦方希望能安排這些遠(yuǎn)道而來的貴賓參觀四川省境內(nèi)的著名自然和人文景觀，初步設(shè)想有如下線路可供選擇：一號(hào)線：成都九寨溝、黃龍；二號(hào)線：成都-樂山、峨嵋；三號(hào)線：成都-四姑娘山、丹巴；四號(hào)線：成都-都江堰、青城山；五號(hào)線

5、：成都-海螺溝、康定；每條線路中的景點(diǎn)可以全部參觀，也可以參觀其中之一。不僅如此，一起參觀景點(diǎn)的人數(shù)越多，每人承擔(dān)的費(fèi)用也會(huì)越小。結(jié)合上述要求，請(qǐng)你回答下列問題：一、請(qǐng)你們?yōu)橹鬓k方設(shè)計(jì)合適的旅游路線，使會(huì)議代表在會(huì)議結(jié)束后的10 天時(shí)間內(nèi)花最少的錢游盡可能多的地方。二、如果有一些會(huì)議代表的時(shí)間非常充裕（比如一個(gè)月），他們打算將上述旅游景點(diǎn)全部參觀完畢后才離開四川，請(qǐng)你們?yōu)樗麄冊O(shè)計(jì)合適的旅游路線，使在四川境內(nèi)的交通費(fèi)用盡量地節(jié)省。三、主辦方在會(huì)議開始前對(duì)所有參會(huì)的100 位代表旅游意向進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)見附件 1 所示。充分考慮這些代表的意愿，請(qǐng)你們?yōu)橹鬓k方設(shè)計(jì)代表們合適的旅游路線，使他們在會(huì)

6、議結(jié)束后的10 天時(shí)間內(nèi)花最少的錢游盡可能多的地方。四、由于會(huì)議安排原因，附件1 中的后 50 位代表要拖后四天時(shí)間才能去旅游觀光（每人旅游總時(shí)間保持不變）。請(qǐng)?jiān)趩栴}三基礎(chǔ)上考慮時(shí)間滯后因素，為主辦方設(shè)計(jì)合適的旅游路線，使代表們在10 天的時(shí)間里花最少的錢游盡可能多的地方。五、在旅游過程中最擔(dān)心出現(xiàn)陰雨天氣，這種氣候環(huán)境是最不適合旅游的。因此，在出發(fā)前，主辦方詢問了四川省氣象局這五條旅游線路降雨的概率，具體數(shù)據(jù)見附件2。請(qǐng)?jiān)趩栴}三的基礎(chǔ)上增加氣候因素，為主辦方設(shè)計(jì)合適的旅游路線，使代表們在10 天的時(shí)間里花最少的錢游盡可能多的地方，同時(shí)因陰雨天氣而帶來的旅游不便損失降為最低。2 問題分析2.1

7、 問題背景的理解：根據(jù)對(duì)題目的理解我們可以知道，旅游的總費(fèi)用包括交通費(fèi)用和在景點(diǎn)游覽時(shí)的費(fèi)用，而在確定了要游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)后，所以我們的目標(biāo)就是在滿足所有約束條件的情況下，求出成本的最小值。2.2 問題一和問題二的分析：問題一要求我們?yōu)橹鬓k方設(shè)計(jì)合適的旅游路線，使會(huì)議代表在會(huì)議結(jié)束后的10 天時(shí)間內(nèi)花最少的錢游盡可能多的地方。在這里我們的做法是在滿足相應(yīng)的約束條件下，先確定游覽的景點(diǎn)數(shù)，然后計(jì)算出在這種情況下的最小花費(fèi)。這樣最終會(huì)得出幾種最佳方案，而組織方可以根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行選擇。問題二實(shí)質(zhì)上是在問題一的基礎(chǔ)上改變了時(shí)間約束，即代表們要游覽所有的景點(diǎn)，我們完全可以使用與問題一同樣的方法進(jìn)

8、行求解。2.3 問題三的分析：問題三要求我們在問題一的基礎(chǔ)上充分考慮代表們對(duì)各個(gè)景點(diǎn)的意愿來設(shè)計(jì)最佳旅游路線，而代表們的意愿由附件1 給出。對(duì)于意愿，我們的做法是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的權(quán)重，然后乘以相應(yīng)的旅游景點(diǎn)的花費(fèi)，再利用問題一的模型得出幾種最佳方案供主辦方選擇。2.4 問題四和問題五的分析：問題四將100 名代表平均分成了兩組，而第二組則晚了四天出發(fā)。由于題目中告訴我們參觀景點(diǎn)的人數(shù)越多，每人承擔(dān)的費(fèi)用越少，因此我們應(yīng)該考慮使兩組同時(shí)在外旅游是盡量在同一景點(diǎn)游覽，來減少旅游總費(fèi)用?；诖怂枷虢⒛Ｐ颓蠼饧纯?。問題五在問題三的基礎(chǔ)上考慮了天氣的因素，因?yàn)殛幱陼?huì)給代表們帶來一定的損失，因此該問又增

9、加了一個(gè)使損失最小的目標(biāo)。我們在定義這個(gè)損失后，對(duì)總費(fèi)用和損失兩個(gè)目標(biāo)分別加權(quán)，以最小為目標(biāo)求出相應(yīng)的方案即可。3 模型假設(shè)1. 所給的 5條路線每條路線中的景點(diǎn)可以全部參觀，也可以參觀其一；2. 參觀景點(diǎn)的人數(shù)越多，每人承擔(dān)的費(fèi)用越少；3. 數(shù)學(xué)系使用旅游大巴安排代表們往返于各個(gè)旅游景點(diǎn)，其交通費(fèi)用、在景點(diǎn)的花費(fèi)、在景點(diǎn)的逗留時(shí)間參照當(dāng)?shù)乜瓦\(yùn)公司及旅行社的數(shù)據(jù)；4. 代表們所乘坐的旅游大巴平均時(shí)速為50km/h,平均費(fèi)用為0.3元/km；5. 一個(gè)景點(diǎn)直接到達(dá)另外一個(gè)景點(diǎn)是指，途中經(jīng)過的其他景點(diǎn)只是一個(gè)轉(zhuǎn)站地，而并不進(jìn)行游覽；6. 在限定的時(shí)間內(nèi)，代表們最終要返回成都，并且假設(shè)成都是代表們肯

10、定要去的一個(gè)旅游景點(diǎn)；7. 假設(shè)參觀景點(diǎn)的人數(shù)每增加一人，每個(gè)代表在景點(diǎn)的費(fèi)用就減少原價(jià)的1%;8. 代表們在途中和游覽景點(diǎn)的時(shí)間為12 小時(shí)，而另外12 小時(shí)為休息、用餐及其他瑣事時(shí)間。4 符號(hào)說明i,j 第i個(gè)或者第j個(gè)景點(diǎn)， i, j=1, 2,11；分別表示成都、九寨溝、黃龍、樂山、峨嵋、四姑娘山、丹巴、都江堰、青城山、海螺溝、康定；c 每個(gè)會(huì)議代表的旅游總花費(fèi)；t i 每個(gè)會(huì)議代表在第 i 個(gè)景點(diǎn)的逗留時(shí)間；G每個(gè)會(huì)議代表在i個(gè)景點(diǎn)的總消費(fèi)；tj 從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)路途中所需時(shí)間；cj 從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)所需的交通費(fèi)用；5 模型建立及求解5.1 問題一：5.1.1 目標(biāo)函

11、數(shù)的確立：經(jīng)過對(duì)題目分析，我們可以知道本題所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是，使會(huì)議代表在10天時(shí)間內(nèi)花最少的錢游覽盡可能多的地方。顯然，花費(fèi)最少和游覽的景點(diǎn)盡量多是該問題的兩個(gè)目標(biāo)。因此，我們的做法是在滿足相應(yīng)的約束條件下，先確定游覽的景點(diǎn)數(shù)，然后計(jì)算出在這種情況下的最小花費(fèi)。這樣最終會(huì)得出幾種旅游路線，而組織方可以根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行選擇。游覽的總費(fèi)用由2 部分組成，分別為交通總費(fèi)用和在旅游景點(diǎn)的花費(fèi)。我們定義：m 每個(gè)代表的旅游總花費(fèi)；m1 每個(gè)代表的交通總費(fèi)用；m2 每個(gè)代表的旅游景點(diǎn)的花費(fèi)；從而得到目標(biāo)函數(shù)：Min m = m1 + m2（ 1）交通總花費(fèi)因?yàn)镃j表示從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)所需的交

12、通費(fèi)用，而rj是判斷代表們是否從第i個(gè)景點(diǎn)直接到第j個(gè)景點(diǎn)的01變量，因此我們可以很容易的得到交通總費(fèi)用為：(2)旅游景點(diǎn)的花費(fèi)因?yàn)镚表示會(huì)議代表們在i個(gè)景點(diǎn)的總消費(fèi)，rj也可以表示出代表們是否到達(dá)過1111第i個(gè)和第j個(gè)景點(diǎn)，而整個(gè)旅游路線又是一個(gè)環(huán)形，因此 Z Z rj父匕+與)實(shí)際上將 i 1 j代表們在所到景點(diǎn)的花費(fèi)計(jì)算了兩遍，從而我們可得旅游景點(diǎn)的花費(fèi)為： 從而我們可以得到目標(biāo)函數(shù)為：Min m = m1 + m211 11111 11二rj Cij +rij Q - Cji 4 j 42 i 4 j5.1.2約束條件：時(shí)間約束由題目可知，代表們在川的旅游時(shí)間應(yīng)該不多于 10天(12

13、0小時(shí))，而這些時(shí)間包括在路途中的時(shí)間和在旅游景點(diǎn)逗留的時(shí)間。因?yàn)閠j表示從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)路1111途中所需時(shí)間，所以路途中所需總時(shí)間為ZZ rj Mtj ；片表示會(huì)議代表們在第i個(gè)景ig j=111111點(diǎn)的逗留時(shí)間，故代表們在旅游景點(diǎn)的總逗留時(shí)間為1Mzz rj"ti+tj)。因此，總2 T j Jj的時(shí)間約束為：11 11111 11:一：一 rij tj + '' '' rj ti tj _ 120 i m j =12 i w j =1旅游景點(diǎn)數(shù)約束11 11根據(jù)假設(shè)，整個(gè)旅游路線是環(huán)形，即最終代表們要回到成都，因此 ZZ rj即 i

14、T j T表示代表們旅游的景點(diǎn)數(shù)，這里我們假定要旅游的景點(diǎn)數(shù)為n (n=2, 3,，11) o因此旅游景點(diǎn)數(shù)約束為：1111£ £ rj =n ( n =2, 3, ,11)i 3 j丑01變量約束我們可以把所有的景點(diǎn)連成一個(gè)圈，而把每一個(gè)景點(diǎn)看做圈上一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于每個(gè) 點(diǎn)來說，只允許最多一條邊進(jìn)入，同樣只允許最多一條邊出來，并且只要有一條邊進(jìn) 入就要有一條邊出去。因此可得約束：Z rj =2 rj W1(i , j =1, 2, ,11)ij當(dāng)i =1時(shí)，因?yàn)槌啥际浅霭l(fā)點(diǎn)，所以£=1；i Wj =1時(shí)，因?yàn)榇韨冏罱K要回到成都，所以 £ rj =1。j

15、1綜合以上可知，工 rj =£ rj <1(i , j=1, 2,，11)ij同樣，當(dāng)i , j之2時(shí)，根據(jù)題意不可能出現(xiàn)= q =1 ,即不可能出現(xiàn)游客在兩地間往返旅游，因?yàn)檫@樣顯然不滿足游覽景點(diǎn)盡量多的原則。因此我們可得約束：rj 2 =。(i , j=2, 3,，11)5.1.3模型建立：綜上所述，我們可以得到總的模型為：Min m = m1 + m211 11111 11=rj Cj + ：: rj Ci - Cji=1 j=12 i 3 j 3約束條件：11 11111 11/匚：rj tij + 二工 rij ti tj -120id： jd：2 i d： j 旦1

16、1 11工工 rj =n ( n=2, 3,，11)口 jmZ rjrj <1( i , j =1, 2, ,11)rj9=0(i , j=2, 3,11)5.1.4在型求解與結(jié)果分析：在這里我們引入以下符號(hào)：dj 第i個(gè)景點(diǎn)和第j個(gè)景點(diǎn)之間的路程；v代表們所乘坐的旅游大巴的平均時(shí)速，v =50km/h;m代表們所乘坐的旅游大巴的平均費(fèi)用，h =0.3元/h ;通過上網(wǎng)查詢資料，我們可以得到 dj的具體值，根據(jù)公式tj=dj/v可得到相應(yīng)的tj,同樣根據(jù)公式Cj =dj X m可以得到相應(yīng)的Cij (i, j =1, 2, , 11) 。 ( dj、tj和Cj的具體數(shù)值見附錄)同樣，通過

17、對(duì)四川的一些旅行社進(jìn)行咨詢，我們得出會(huì)議代表們在第i個(gè)景點(diǎn)的最佳逗留時(shí)間和他們在第i個(gè)景點(diǎn)總消費(fèi)：t1t 2t 3t4t 5t 6t 7t 8t 9t 10t 1172418123630129152417（單位：小時(shí)）CiC2C3C4C5C6C7C8C9CioC11120423P 300P13537839017590148303 24（單位：元）從而根據(jù)模型，使用Lingo編程，得出結(jié)果如下表:旅游景點(diǎn)數(shù)n234每人總花費(fèi) m （單位：元）250406623路線1 一 8一 11 一 9一 8一 11 一 4一 8一 9一 1旅游景點(diǎn)數(shù)n56每人總花費(fèi)m （單位：元）9491207路線1 一

18、8一 9一 7一 4一 11 一4一 11 一7一 9一 8一 1旅游景點(diǎn)數(shù)n7每人總花費(fèi) m （單位：元）1534路線1 一 4一 10- 11 7一 9 一 8一 1（其中數(shù)字1 11分別表示成都、九寨溝、黃龍、樂山、峨嵋、四姑娘山、丹巴、都江堰、青城山、海螺溝、康定）對(duì)于上述結(jié)果，我們的推薦為：路線一：成都一樂山一都江堰一青城山一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：4 人均費(fèi)用：623元；路線二：成都一都江堰一青城山一丹巴一樂山一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：5人均費(fèi)用：949元；路線三：成都一樂山一康定一丹巴一青城山一都江堰一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：6人均費(fèi)用：1207元。5.2問題二5.2.1 目標(biāo)函數(shù)的確立：此問與第一問大

19、同小異，不同的是代表們要完成所有景點(diǎn)的旅游，而目標(biāo)函數(shù)是求1111最少的交通費(fèi)。由第一問結(jié)論可知，交通費(fèi)用為：m1=2£ rjMCiji T j T因此，該問題的目標(biāo)函數(shù)為：1111Min m1 = " '、' rj cji g j T5.2.2約束條件：時(shí)間約束該問與上一問相比，放寬了對(duì)時(shí)間的要求，不妨可以假定限制的時(shí)間為一個(gè)月 （360個(gè)小時(shí)），同上一問可得：11 11111 11.匚二 rj tj + ： 2 2 rj ti tj <360 i £ j £2 i d j d旅游景點(diǎn)數(shù)約束由題目要求可知，因?yàn)榇韨儠r(shí)間充裕，因此

20、他們打算游覽完全部11個(gè)景點(diǎn)。由1111第一問知道工2 rj表示代表們游覽的景點(diǎn)總數(shù)，因此該約束為： i 4 j 411 11ZZ rij =11( i , j=1, 2,，11)1 4 j=101變量約束根據(jù)假設(shè)，整個(gè)旅游路線是環(huán)形，即最終代表們要回到成都，因此我們可以把整個(gè) 路線看做一個(gè)Hamilton圈，這樣該問題就歸結(jié)為貨郎擔(dān)(TSP問題，當(dāng)然前提是我們 已經(jīng)知道了要旅游所有的景點(diǎn)。因此，對(duì)于 Hamilton圈中的每個(gè)點(diǎn)來說，只允許有一條 邊進(jìn)入，同樣，也只允許有一條邊出去。用公式表示即為：£ rj =1£ rj =1(i , j=1, 2,11)同樣，當(dāng)i ,

21、j22時(shí)，根據(jù)題意不可能出現(xiàn)rj =% =1 ,即不可能出現(xiàn)游客在兩地間往返旅游，因?yàn)檫@樣顯然不滿足游覽景點(diǎn)盡量多的原則。因此我們可得 約束：=0(i, j=2, 3,，11)5.2.3模型建立：綜上所述，我們可以得到總的模型為：11 11Min mi 八 % rj 0i注j W約束條件：11 11111 11二匚 rij tj + 匚匚 rj ti , tj <360iV： j 32 i 凸 jd：1111££ rj =11(i , j=1, 2,11)一 t j arj -1 S rij - 1(i, j=1,2, ,11)<rj，=°(i, j=

22、2, 3,，11)5.2.4模型求解與結(jié)果分析：根據(jù)模型，使用Lingo編程，得出結(jié)果為:旅游景點(diǎn)數(shù)n11每人總花費(fèi)m (單位：元)3243路線成都一樂山一峨眉一海螺溝一康定一丹巴一四姑 娘山一月城山一都江堰一九寨溝一史龍一成都5.3問題三5.3.1目標(biāo)函數(shù)的確立5.3.1.1 問題的再次分析此問在第一問的基礎(chǔ)上增加了代表們意愿這一條件，通過對(duì)附件一的觀察，我們發(fā)現(xiàn) 代表們的意愿分為“去”、“不去”和“無所謂”三種。怎樣將這些文字轉(zhuǎn)換到公式中來表 達(dá)代表們的意愿就成為了解決該問的關(guān)鍵。在這里我們采用加權(quán)重的方式，將代表們的意 愿理解為對(duì)該線路上兩個(gè)景點(diǎn)的權(quán)重，又因?yàn)槲覀冏罱K的目標(biāo)是使旅游的費(fèi)用

23、最少，因此 越熱門的景點(diǎn)相應(yīng)的權(quán)重也應(yīng)該越低（這是因?yàn)闄?quán)重越低，其與該景點(diǎn)的費(fèi)用相乘后也越 低，從而增加了對(duì)該景點(diǎn)游覽的可能性）。5.3.1.2 數(shù)據(jù)處理將所有的“去”替換為0,所有的“不去”替換為1,所有的“無所謂”替換為0.5,從而得到一個(gè)100父5的矩陣（Aksh不 （見附錄）。我們定義：九一一第i個(gè)旅游景點(diǎn)的權(quán)重。由假設(shè)可知成都是代表們肯定要游覽的一個(gè)景點(diǎn)，因此 = 0對(duì)其他權(quán)重進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理可得:100'、Ak24 = '5 = 100，=0.217- - Aksk 1 s=1100'、' Ak12 = ' 3 = 100 *5=0.185-

24、- Aksk ：1 s 3100Ak3-=0.196- - Aks k m sm100 “ Ak48=9 = 10045=0.206- - Aksk T s m100一 Ak1110 -1 =喘告一0.196、Aksk 3 s z!5.3.1.3確定目標(biāo)函數(shù)本文我們的做法同樣是在滿足相應(yīng)的約束條件下，先確定游覽的景點(diǎn)數(shù)，然后計(jì)算 出在這種情況下的最小花費(fèi)。這樣最終會(huì)得出幾種最佳方案，而組織方可以根據(jù)自己的 實(shí)際情況進(jìn)行選擇。游覽的總費(fèi)用由2部分組成，分別為交通總費(fèi)用和在旅游景點(diǎn)的花費(fèi)。又根據(jù)假設(shè)，參觀景點(diǎn)的人數(shù)每增加一人，在景點(diǎn)的總費(fèi)用就減少原價(jià)的1%,由于共有100名代表，這就相當(dāng)于每人在旅

25、游景點(diǎn)的花費(fèi)打了 “九折”，因此得目標(biāo)函數(shù)為：111111 11Min m.=100：;二 " rj cj + 1 90：與 rj ci - cj i d j d2id j T而所得結(jié)果所對(duì)應(yīng)的每個(gè)代表的總花費(fèi)為:Ci Cj11 1119011 11m = H rj5 +rji £ j 42100i=1 j =15.3.2約束條件時(shí)間約束由題目可知，代表們在川的旅游時(shí)間應(yīng)該不多于10天(120小時(shí))，而這些時(shí)間包括在路途中的時(shí)間和在旅游景點(diǎn)逗留的時(shí)間。因?yàn)閠j表示從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)路1111途中所需時(shí)間，所以路途中所需總時(shí)間為££白父與；ti表示會(huì)

26、議代表們在第i個(gè)景1 1 j1111點(diǎn)的逗留時(shí)間，故代表們在旅游景點(diǎn)的總逗留時(shí)間為1Mzz rijM(ti+tj)。因此，總2 y j的時(shí)間約束為：111111 11rj tj +1 '、'、 rj ti tj <120i 4 j =12 i 4 j J旅游景點(diǎn)數(shù)約束11 11根據(jù)假設(shè)，整個(gè)旅游路線是環(huán)形，即最終代表們要回到成都，因此 ££ rj即 i 1 j 1表示代表們旅游的景點(diǎn)數(shù)，這里我們假定要旅游的景點(diǎn)數(shù)為n (n=2, 3,，11) o因此旅游景點(diǎn)數(shù)約束為：1111工工 rij = n( n =2, 3, ,11)i w j m01變量約束我

27、們可以把所有的景點(diǎn)連成一個(gè)圈，而把每一個(gè)景點(diǎn)看做圈上一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于每個(gè) 點(diǎn)來說，只允許最多一條邊進(jìn)入，同樣只允許最多一條邊出來，并且只要有一條邊進(jìn) 入就要有一條邊出去。因此可得約束：£ rj =£ rj E1(i , j =1, 2, ,11)ij當(dāng)i =1時(shí)，因?yàn)槌啥际浅霭l(fā)點(diǎn)，所以Z rj =1； i 1當(dāng)j =1時(shí)，因?yàn)榇韨冏罱K要回到成都，所以 工"=1。 j 1綜合以上可知，Z rj =£ rj W1(i , j =1, 2, ,11)ij同樣，當(dāng)i , j至2時(shí)，根據(jù)題意不可能出現(xiàn)用 =% =1 ,即不可能出現(xiàn)游客在兩地間往返旅游，因?yàn)檫@樣顯然不

28、滿足游覽景點(diǎn)盡量多的原則。因此我們 可得約束：rj 小=0(i , j=2, 3,11)5.3.3模型建立：綜上所述，我們可以得到總的模型為：11 11111 11Min m . = 100 ：.二'.二",；,，iqCj+90：.二'.二'r0： c ,CjfuJ J ojjI 4 j 42i 4 j 4約束條件：II 11111 11-、'、rij tij +- '、'、 rijti tj <120ig j2 i 二 j1111。=n (n=2, 3,11)j4 Z rij =£ 用 <1(i, j=1, 2,

29、，11)ijZ rj =1 Z rij =1(i , j=2, 3,11)i3j 1Irj9=0(i , j=2, 3,11)5.3.4模型求解與結(jié)果分析:旅游景點(diǎn)數(shù)n234每人總花費(fèi)C （單位：元）229370573路線1 一 8一 11 一 8一 9一 11 一 9一 8一 4一 1旅游景點(diǎn)數(shù)n56每人總花費(fèi)c （單位：元）9271160路線1 一 4一 8一 9一 7一 11 一 4一 8 一 9一 7一 11 一1旅游景點(diǎn)數(shù)n7每人總花費(fèi)c （單位：元）1412路線1 一 8一 9一 7一 11 -10 4 一 1（其中數(shù)字1 11分別表示成都、九寨溝、黃龍、樂山、峨嵋、四姑娘山、丹巴

30、、都江堰、青城山、海螺溝、康定）對(duì)于上述結(jié)果，我們的推薦為：路線一：成都一青城山一都江堰一樂山一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：4人均費(fèi)用：573元；路線二：成都一樂山一都江堰一青城山一丹巴一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：5人均費(fèi)用：927元；路線三：成都一樂山一都江堰一青城山一丹巴一康定一成都旅游景點(diǎn)數(shù)：6人均費(fèi)用：1160元。第四問：5.4.15.4.1.1 問題的再次分析：該問中，由于會(huì)議安排原因，前 50名（第一組）代表先行出發(fā)旅游，而后 50名代表 （第二組）則拖后4天。由假設(shè)可知，參觀景點(diǎn)的人數(shù)越多，每人承擔(dān)的費(fèi)用越少，因此 為了達(dá)到費(fèi)用最少的目標(biāo)，我們應(yīng)該盡量安排兩組代表在同時(shí)旅游的6天內(nèi)在同樣的景點(diǎn)旅游。5

31、.4.1.2 數(shù)據(jù)的處理類似上一問，我們定義：' . . 一兀一一第i個(gè)旅游景點(diǎn)對(duì)于第一組代表的權(quán)重;" 一一 . 一一 一兀一一第i個(gè)旅游景點(diǎn)對(duì)于第二組代表的權(quán)重C運(yùn)用與第一問同樣的方法，我們可以得到:'一%=0, ''=05.4.1.3目標(biāo)函數(shù)的確立：此問中，我們引入以下符號(hào):m旅游總花費(fèi)；mi 一一第一組每個(gè)代表的交通總費(fèi)用;" 一一 .一 . mi 一一第二組每個(gè)代表的交通總費(fèi)用;m2 一一第一組每個(gè)代表的旅游景點(diǎn)的花費(fèi);m2第二組每個(gè)代表的旅游景點(diǎn)的花費(fèi)。(上述四個(gè)量是假設(shè)兩個(gè)組分別旅游的費(fèi)用)m3 一一兩個(gè)組同時(shí)在一景點(diǎn)旅游比分別

32、旅游節(jié)約的費(fèi)用由以上的假設(shè)和符號(hào)，我們可以很容易的得到總的目標(biāo)函數(shù)為： ''''''Min m=mi + mi +m2 + m2 m3而所得結(jié)果所對(duì)應(yīng)的每個(gè)代表的總花費(fèi)為：ii iii90ii iim = - - rij 5 +rnCi - Cji m j m2 i00 id j定義：從而可以推得：又因?yàn)榧僭O(shè)參觀景點(diǎn)的人數(shù)每增加一人，每個(gè)代表在景點(diǎn)的費(fèi)用就減少原價(jià)的i%0,因此可得：ii ii'irjCi , Cj'''rjCi Cjm2 =- M50M0.95Mzz 42i ±i j T4ii iiiI

33、 m2 =一父50父0.95 Mz 工 Ki2i £ j f(2)節(jié)約的費(fèi)用定義：因?yàn)閮山M分別旅行時(shí)按照原價(jià)的 95%收費(fèi)，而兩組同時(shí)在同一景點(diǎn)旅游時(shí)按照原價(jià) 的90%收費(fèi)，因此后者比前者便宜了定價(jià)的5%,因此：5.4.2約束條件 時(shí)間約束 由題目可知，代表們在川的旅游時(shí)間應(yīng)該不多于10天(120小時(shí))，而這些時(shí)間包括在路途中的時(shí)間和在旅的景點(diǎn)逗留的時(shí)間。因?yàn)閠j表示從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)11 11 、.一 4-、一 一'路途中所需時(shí)間，所以兩組代表們在路途中所需總時(shí)間分別為££ rjMtj和y j11 11 " . . . . - -一 、一

34、 .ZZ rj Mtj ； ti表示會(huì)議代表們在第i個(gè)景點(diǎn)的逗留時(shí)間，故兩組代表們在旅游景點(diǎn) i 4 j=11 11 111 11 11的總逗留時(shí)間分別為 父££ rj'M(ti+tj師父££ r；'父也+tj )。因此，總的時(shí)間2 i 4 j 42 i w j約束為：11 11,111 11,.二.二 rij tj +- w rjti - tj < 120I 3 j T2 T jII 111 11 11_-"1 _ _"二二 rij tij + : "二 rijti tj _ 120i m j w2

35、i w j 工旅游景點(diǎn)數(shù)約束11 11根據(jù)假設(shè)，整個(gè)旅游路線是環(huán)形，即最終代表們要回到成都，因此 ZZ rij即 i勾j勾表示代表們旅游的景點(diǎn)數(shù)，這里我們假定兩組代表要旅游的景點(diǎn)數(shù)均為n (n=2,3, , 11)。因此旅游景點(diǎn)數(shù)約束為：111111 11 , rj =rij ' ni =1 j =1i =1 j m01變量約束我們可以把所有的景點(diǎn)連成一個(gè)圈，而把每一個(gè)景點(diǎn)看做圈上一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于每 個(gè)點(diǎn)來說，只允許最多一條邊進(jìn)入，同樣只允許最多一條邊出來，并且只要有一條邊 進(jìn)入就要有一條邊出去。因此可得約束：一''一''一£ rj =£

36、 rj W1(i , j =2, ,11)當(dāng)i=1時(shí)，因?yàn)槌啥际浅霭l(fā)點(diǎn)，所以 Z r； =1并且工=1； i 1i=1、 一 .一 . . "當(dāng)j =1時(shí)，因?yàn)榇韨冏罱K要回到成都，所以 £ rj =1并且£ rj =1。j 1j 1綜合以上可知，£ rj =E rj M1(i , j =2,，11).一.1、， .j._ _ r ，一一 ， 一一''""一同樣，當(dāng)i , j之2時(shí)，根據(jù)題息不可能出現(xiàn)rj=1和rj = % =1,即不可能出現(xiàn)游客在兩地見往返旅游，因?yàn)檫@樣顯然不滿足游覽景點(diǎn)盡量多的原則。因此 我們可得約

37、束：''''rj "ji =0(i , J =2, 3, ,11)5.4.3模型建立：綜上所述，我們可以得到總的模型為：''''''Minm 尸m + m +m2 + m2 m3/u其中：1111'1''m2 =50 0.95. Ai rijci - cj2i J j 411111''1''''m2 =50 0.95 ' ' i irijG cj2i 4 j約束條件:11 11,111 11,，.二二 rjtij +&

38、#39; .二.二 rj ti tj -120y jm2也 jT11 11111 11一一 "1 一 一 ",LZZ rj Mtj+ rj x(ti +tj )<12011 111111一一 ' 一一 '':一 .二rij =二.二 rij = ni a j a i w j a一 ' 一 '. 一“ rj 八rj£ 1'iji''''''rj rji - 0rjrjiid： jM2 i 4 j W(n=2, 3,，11)11)'' 一 '&

39、#39;.rj =L rj <1(i , j =1, 2,=0(i, J=2, 3,，11)5.4.4模型求解與結(jié)果分析：使用lingo編程，得到最佳結(jié)果:旅游景數(shù)n5每人總花費(fèi)c (單位：元)971路線第一組：成都一樂山一丹巴一都江堰一青城山一成都 弟一組：成都一都江壇月城山一峨眉一樂山一成都即第一組先行出發(fā)，在游覽了樂山和丹巴后前往都江堰，與第二組代表會(huì)合，兩組 代表共同游覽了都江堰和青城山，之后第一組返回成都，而第一組則前往峨眉和樂山游問題五：在問題三的基礎(chǔ)上我們引入以下符號(hào):l 陰雨天氣帶來的旅游損失;c(n) min代表們旅游n個(gè)景點(diǎn)需要的最小的花費(fèi);C(n)max代表們旅游n

40、個(gè)景點(diǎn)需要的最大的花費(fèi);l(n)min 代表們旅游n個(gè)景點(diǎn)陰雨天氣所帶大的最小損失;l(n)max 代表們旅游n個(gè)景點(diǎn)陰雨天氣所帶大的最大損失。5.5.1 目標(biāo)函數(shù)的確立5.5.1.1 問題的再次分析本問在問題三的基礎(chǔ)上考慮了天氣的因素，相應(yīng)的也就增加了一個(gè)目標(biāo)即：使因陰雨 天氣而帶來的旅游損失降到最低。對(duì)于旅游損失，我們定義為代表們在景點(diǎn)逗留時(shí)所對(duì)應(yīng) 的陰雨天氣概率的總和。5.5.1.2 數(shù)據(jù)處理(1)對(duì)附件二數(shù)據(jù)的處理1 .對(duì)于附件中超過100%的數(shù)據(jù)我們修定其為100%;H .對(duì)于附件中缺失的數(shù)據(jù)，我們使用SPS欹件進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測如下：對(duì)于丹巴的降水概率，最優(yōu)擬合曲線為二次曲線，擬合結(jié)

41、果為：丹巴第七天降雨的概率為10.33898%,我們?nèi)?0%.擬合曲線圖如下：對(duì)于康定的降水概率，最優(yōu)擬合曲線為三次曲線，擬合結(jié)果為：康定第九天降水的概 率為63.39119% ,我們?nèi)?3% .擬合曲線圖如下：綜上我們得到最終的矩陣：IPs L (見附錄)。11 5(2)數(shù)據(jù)的歸一化處理(原因)通過觀察數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)旅游總花費(fèi)和陰雨天氣帶來的旅游損失的數(shù)值差距較大, 在利用二者綜合確立目標(biāo)時(shí)，為了避免其的影響，采用數(shù)據(jù)常用處理方法一一極差變化 法，將數(shù)據(jù)做歸一化處理。即：l - l (n) m i nl(n)m aXl(n)m i nc - c( n) m i nc(n)m ax-c(n)(

42、3)確定目標(biāo)函數(shù)對(duì)于該問，沿用上幾問的思想，我們的做法是在滿足相應(yīng)的約束條件下，先確定游覽 的景點(diǎn)數(shù)，然后分別表示出相應(yīng)的旅游總費(fèi)用和陰雨天氣帶來的旅游損失，歸一化處理后 加權(quán)求最小值。這樣最終會(huì)得出幾種最佳方案，而組織方可以根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行選 擇。由此得到最終的目標(biāo)函數(shù)：Min Q = 1 C 2 L(其中C,L如上所述，為、為權(quán)重且丫1 +久=1)I .對(duì)于C:11 111111由第三問可知：C=100MZZ 九i Mij MCj + 1父100Mzz % "j M(ci +Cj),而相應(yīng)的i 注 j =12i=1 j =1,因止匕我們用可。八所與C(n)max也可以根據(jù)前

43、幾問的模型計(jì)算出(具體值見附錄表格)以已知的結(jié)果來表達(dá)C On .對(duì)于L：在L的表達(dá)式中，關(guān)鍵是表示出1,表示出l后l(n)min和l(n)max可以根據(jù)相應(yīng)的模型通過編程很容易的計(jì)算出來。因?yàn)?表示陰雨天氣帶來的旅游損失，而我們定義該損失為代 表們在景點(diǎn)逗留時(shí)所對(duì)應(yīng)的陰雨天氣概率的總和。這里我們設(shè)：Ps 第i個(gè)景點(diǎn)在第s大陰雨的概率；(s=1, 2,10)Ti 代表們到達(dá)第i個(gè)景點(diǎn)的時(shí)間；V 代表們游覽的景點(diǎn)的集合，如 V=1, 8, 5, 7表示代表們游覽了第1、8、5、7 個(gè)景點(diǎn)。因此代表們會(huì)從第Ti慶到第K +ti仄都留在第i個(gè)景點(diǎn)(口表示取整)。綜上，1T七1的可以表示為£

44、 £ Ps ,這樣我們也就可以表達(dá)出L。i - V s =Ti |5.5.2約束條件時(shí)間約束由題目可知，代表們在川的旅游時(shí)間應(yīng)該不多于10天，而這些時(shí)間包括在路途中的時(shí)間和在旅游景點(diǎn)逗留的時(shí)間。因?yàn)?tj表示從第i個(gè)景點(diǎn)到第j個(gè)景點(diǎn)路途中所需時(shí)ii ii問，所以路途中所需總時(shí)間為 ZZ父tj ； t表示會(huì)議代表們在第i個(gè)景點(diǎn)的逗留時(shí)1 =1 j=11111間，故代表們在旅游景點(diǎn)的總逗留時(shí)間為 1Mzz rjM(ti+tj )。因此，總的時(shí)間約束2 y j為：111111111、' rj tj +1 匚-二 rj ti tj <120i m j a2 id j旅游景點(diǎn)數(shù)約

45、束ii ii根據(jù)假設(shè)，整個(gè)旅游路線是環(huán)形，即最終代表們要回到成都，因此 ZZ rj即i T j T表示代表們旅游的景點(diǎn)數(shù)，這里我們假定要旅游的景點(diǎn)數(shù)為n (n=2, 3,，11) o因此旅游景點(diǎn)數(shù)約束為：11112 Z rj = n ( n =2, 3, , 11)i 3 j 301變量約束我們可以把所有的景點(diǎn)連成一個(gè)圈，而把每一個(gè)景點(diǎn)看做圈上一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于每個(gè)點(diǎn)來說，只允許最多一條邊進(jìn)入，同樣只允許最多一條邊出來，并且只要有一條邊進(jìn)入就要有一條邊出去。因此可得約束：Z rj =£ rj <1(i , j=1, 2,，11)ij當(dāng)i =1時(shí)，因?yàn)槌啥际浅霭l(fā)點(diǎn)，所以 z rj =1

46、；i=1當(dāng)j =1時(shí)，因?yàn)榇韨冏罱K要回到成都，所以 工rj =1。j 4綜合以上可知，£ rj =£ rj <1(i , j=1, 2,11)同樣，當(dāng)i ,上22時(shí)，根據(jù)題意不可能出現(xiàn)rj =* =1 ,即不可能出現(xiàn)游客在兩地間往返旅游，因?yàn)檫@樣顯然不滿足游覽景點(diǎn)盡量多的原則。因此我們可得約束：rj 2 =0(i , j=2, 3,，11)對(duì)Ti的約束因?yàn)門i表示代表們到達(dá)第i個(gè)景點(diǎn)的時(shí)間，因此I應(yīng)該等于到達(dá)第i-1個(gè)景點(diǎn)的時(shí)間與第i -1個(gè)景點(diǎn)到第i個(gè)景點(diǎn)途中時(shí)間的和。從而可得：T=T+ti,i(i=2, 3,11)5.5.3模型建立：綜上所述，我們可以得到總的模

47、型為：Min Q = 1 C 2 L約束條件：11 11111 11: 匚: rj tj + ： .二二 rj ti tj <120iV： jd：2 i 苴 j 凸z rj =£ rj <1(i , j =1, 2, ,11)ijrj 父仔=0( i , j >2)T=Ttui(i=2, 3,11)5.5.4模型求解與結(jié)果分析：由于結(jié)如數(shù)據(jù)龐大，我們在這里只列出 n =5的情形。當(dāng)乙=0.6, t2 =0.4時(shí)當(dāng)，=0.4, ；'2 =0.6時(shí)人均總費(fèi)用C (單位：元)損失9651.7路線：1 一 11 - 7一 4一 8一 1人均總費(fèi)用C （單位：元）損失

48、10281.6路線：1 一 7一 9一 8 一 4一 1當(dāng) Z =0.7,¥2 =0.3時(shí)當(dāng)人均總費(fèi)用C （單位：元）損失9461.8路線：1 10 - 11 7一 4一 11 =0.3, 2 =0.7時(shí)人均總費(fèi)用C （單位：元）損失12060.9路線：1 一 11 - 9一 8 一 4一 1當(dāng) 1 =0.5, 2 =0.5時(shí)人均總費(fèi)用C （單位：元）損失9871.6路線：1 一 11 - 9一 8 一 4一 1（其中數(shù)字111分別表示成都、九寨溝、黃龍、樂山、 峨嵋、四姑娘山、丹巴、都江堰、青城山、海螺溝、康定） 由以上結(jié)果，我們推薦路線為：成都一康定一青城山一都江堰一樂山一成都，

49、相應(yīng)人 均消費(fèi)987元，陰雨天氣帶來的損失為1.6。6模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)及推廣6.1 .模型的評(píng)價(jià)1 .本文思路清晰，模型恰當(dāng)，得出的方案合理；2 .本文成功的使用了 01變量，使模型的建立和編程得以順利進(jìn)行；3 .在第二問中采用了 TCPB法，簡化了模型的求解難度；4 .問題五由于數(shù)據(jù)龐大，對(duì)程序的要求很高，盡管經(jīng)過了檢驗(yàn)，但結(jié)果依然比較粗糙， 有待進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。6.2 .模型的改進(jìn)與推廣：1 .實(shí)際情況中，兩景點(diǎn)之間可能還有出公路外其他交通方式，如航班、鐵路，增加這 些考慮后，結(jié)果會(huì)更加合理。2.因數(shù)據(jù)資料搜集的不完整，準(zhǔn)確性也有待商榷，而且沒有對(duì)最終方案進(jìn)行更為細(xì)致 的討論研究，這些方

50、面有待改進(jìn)。7參考文獻(xiàn)1姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社， 2003。 2謝金星 薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005。 3周仁郁，SPSS13.0統(tǒng)計(jì)軟件，成都，西南交通大學(xué)出版社， 2005。4李慶揚(yáng) 王能超 易大義，數(shù)值分析，北京：清華大學(xué)出版社施普林格出版社，200108附錄附錄清單：附錄1為搜集的一些數(shù)據(jù)附錄2為相關(guān)程序及運(yùn)行結(jié)果附錄1:網(wǎng)上查詢到的一些數(shù)據(jù)及相應(yīng)的計(jì)算出的數(shù)據(jù)：小=ij 11 1108.544.742.823.445.088.41.321.546.146.68.5401.2211.5212.1410.9

51、13.18.848.9814.8415.544.741.22011.2211.829.3811.587.667.4613.4413.92.8211.5211.2200.887.788.084.024.245.846.33.4412.1411.820.8808.428.244.664.8866.465.0810.99.387.788.4202.184.244.045.986.748.413.111.588.088.242.1806.086.223.862.861.328.847.664.024.664.246.0800.36.286.741.548.987.464.244.884.046.220

52、.306.086.546.1414.8413.445.8465.983.866.286.0802.086.615.5413.96.36.466.742.866.746.542.080c .=ij 11 110128714252761262023929912801817318216419713313522323371180168177141174115112202209421731680131171216064889552182177130126124707390977616414111712603364619010112619717412112433091935843201331156070649105941012313511264736193509198922232028890905894910319923320995971014310198310Ip =is 1