中北大學(xué)概率統(tǒng)計練習(xí)冊答案詳解

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔第一章隨機事件與概率1、(1)。=3,4,川,18 , A=4,6,川,18;(2) C=(正，反)，(正，正)，(反，正)， (反，反), B=(正，反)，(正，正)。2、(1)表示三門炮中至少有一門炮擊中目標(biāo)(2)表示三門炮中至少有兩門炮擊中目標(biāo)(3)表示三門炮都擊不中目標(biāo)(4)表示三門炮中至少有一門擊不中目標(biāo)或表示三門炮中至多有兩門炮擊中目標(biāo)(5) ABC + ABC + ABC(6) ABC + abc+AbcABC(8) A + B+C9、0.2510、(1) 0.2;(2)0.4;(3)0.8;(4)0.7。11、(1) 0.85 0.9411712、8013、C2Cm

2、C2 或。cmeC1 C1C2CmCM mCmC2 一 C2CMCM m14、 (1) 23;22P p 1；(3) 3p 22 _P_ 一 215、(1)5 ,、 8(2)122516、0.042;0.02317、設(shè) A="甲機床需要看管”；B =“乙機精彩文案3、(1)(2)(3)(4)7244、5、6、mn(1) 0.00539 (2) 0.03795(1)p =c6c2c2c2c2/c1；=33(2)17337、1n_ n n8 _5_4_9n9n9n8、1725床需要看管" ；C= "丙機床需要看管”；A B、C相互獨立，(1) 0.003 ;(2) 0

3、.38818、獨立19、0.99420、(1) D ; (2) D ; (3) C ; (4) B21、(提示：先求出擊不沉的概率)1283/129622、1 0.9981500 定 0.95第二章隨機變量及其概率分布X0123p1/32/94/278/271、,、八 1,、62、(1) C =一；(2)一。770, x<11/3, 1 <x<43、(1) F(x) =41/2, 4Mx<65/6, 6<x<101, x.10,、1(2) P2：Xe6；2,、1PX <4=;3,、1P1 <X <5 =-o k 1k 14、(1)PX=k=

4、q p=(1p) p k=1,2,3,|(2) PX =k =C：；prqk+ k=r,r+1"|qqOQ(3) 2 PX =2k =£ 0.45(0.55)27=11 k 1k 1315、(1) k = 4 ；(2) PX >0.8 =0.1296。6、(1) A=1/n(2) 13'0x < -1_1，n- F(x)= (arcsin x )-1 - x -1二21x 11 1 x三e7、(1) f (x) = <x(2) ln5 2ln 20 else8-80816 )8、(1)©2 0.3 0.1 0.4 71 125)(2)03

5、 0.3 0.4 y_i_(2)fY( y) = 2y 0,2<y<1；其他0 : y ： 1其他10、(1)在放回抽樣的情況下,(X,Y)的聯(lián)合分布列為:2(a b)X01paba+ba +b隨機變量X的邊緣分布律為:X01paba+ba +b隨機變量Y的邊緣分布律為:X與Y是相互獨立的(2)在不放回抽樣的情況下,1ab2(a b)2b(a ' b)2(3)X、Y010a(a -1)ab(a +b)(a +b -1)(a +b)(a +b -1)1abb(b-1)(a +b)(a +b -1)(a +b)(a +b -1)（X,Y）的聯(lián)合分布列為:X01paba +ba

6、+b隨機變量X的邊緣分布律為:X01Paba+ba+b隨機變量Y的邊緣分布律為:因為 PX =0,Y =0 #PX =0PY =0,所以X與Y是不獨立的。11、x7123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1612、（1) k =1一 ；8（2）3一;8(4)13、(3)(4)14、15、16、*17、27一;322-o3(1) A = 6 ；F5(e產(chǎn),x：,y00,其它fX (x)=fY(y)=,2ex,x >0i 0,x <0y,y > 01 0,y <017e”定 0.983。l2x, 0 : x 1 &q

7、uot;0,1 y, fY(y) = 1 -y, 0,11a b =五(2)1 -其它-1 二 y _ 0;0 : y m 1其它aAb=3一8:二 z ：二 1fz (z) = (e 1)e",00.250.75,0,z 一 1其它*18、PQ 之 0 = PX2-4Y 之 01 一，3J l(4) D(X)=-O9l <412第三章隨機變量的數(shù)字特征1、易知X的分布列為40.180.2100.7所以E(X)=9; D(X)=3.42、3、PX =2 = P1P2 (1 -P1)(1-P2)PX =3 = (1-p2)p1 (1-pi)piP2PX =4 =(1-p1)p1(

8、1-p2)E(X)=(2-6)1 +«(2心2)。4、5、6、7、8、E(X)9、(1) E(5X -2 = -12 ；(2) D(2X +5) =20 。10、(1) E(Y)=0；(2) D(Y) =1。11、12、13、14、=0 D(X)=2。k =4 , a =3。(1) c = 1;2一 一 1(2) P-1<x<1=_;4“、4(3)E(X)=一 ；389(1) 9.6 14.1 。(1) E(X)=2, E(Y)=1; 3311D(X)一，D(Y)=一;1818(3)(4)15、1-cov(x，y)f PxyE(XY)=1, E(X2+Y2) 4設(shè)進貨量為

9、a,利潤為Y_ 500a 300(X - a), 30 - X a一 500X -100(a -X) 10 MX < a1 E(Y)= 20a,(0l500x-100(a-x)】dx301.500a 300(X -a) Idx - 9280 20 a二 302 Wa£26,a最少為 213z 2 116、(1) 一 ,一 ，3 182 1三,瓦（3）d（X）3 18*17、 PX =11 1 PX =2=-2 3,、1PX =3 =22 1'一'一, 3 41 2PX=k=2 36、 (1) PX<10=0.5(2) P0 <X <10 = 0

10、.3(3) PX <0 =0.27、 (1) E(Z)=2E(X) =" kk=4D(Z) =97故x的數(shù)學(xué)期望不存在。第四章 幾類重要的概率分布1、設(shè)X表示提出正確意見的顧問人數(shù)，則 X u B(3,0.8)PX _2 =PX =2 PX =3 =0.8962、設(shè)X表示同時開動機床數(shù)的臺數(shù),一 ,2則 X B(5,2)3(1)(2)(3)PX =4=80243,、17PX <2 1 812 10E(X) = np = 5 =不33(4)3、0.959574、(1)九=4則 E(X)=九=4；8(2) PX =2 = 7 之0.1465。 e5、 a =162797(2)

11、 Cov(X,Y)=2.4E(Z) = 2 D(Z) =82.68、最多裝39袋水泥9、(1)10.2231(2)1上0.0111。10、(1) PX <0.2 =0.4;(2) E(X) = 0。111、(1) f(x,y)=3 0(2) P(X <Y)=56(3)0<x<1,0<y<3其他0105/6011/121/121122、23、2,，+。2U+V012p5/61/121/12第五章基本極限定理4、設(shè)X表示晚間同時去圖書館上自習(xí)的人數(shù)，P650 <X <750之 0.916。5、設(shè) 也表示擲n次銅幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則P0.4<0.

12、6 _0.9= n . 250n6、0.68267、(1) 0.5436。(2) 0.98169。8、(1) 0.1802(2)最多只能有443個9、0.706210、(1) 0.0003。(2) 0.511、因為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，故:lim PrX E(XJniimn'、D(Xi) <xi 1n= lim P Xi n 二 yEx =6(x).第六章樣本及抽樣分布(1) （1）PXi =X,X2 =X1,|",Xn = XnJnx=pi (1-P) i-。(2)nPXi =k =C：pk(1-p)J k =0,1,|l|,n i 4(3) E(X)=p, D(X)

13、= p(1-p), nE(S2) = p(1p)。2、樣本均值：X &13.42(mm)樣本方差：s2 ： 0.01221(mm2)2、B2 球 0.01215( mm )。3、 (1)n >40； (2) n>1537； (3) n 2 255；4、證：略5、0.95446、 (1)E(X) = p,D(X)= p(1p) n(2)E(S2) = p(1-p)X X7、提示：U =廠 N(0,1)Jn1，222=in4)SL 2(n-1) 二28、(1) 72(2n) , (2) 72(1), (3) F(n, n),(4) t(n), (5) t(2)9、C, A, D

14、10、豆1 =10.932 ,儀2 =62.082211、 2.706na(3) 193.0,247.0。1 , I-12、a=，b=;2 20100*13、2n 1fz(Z)= nz0 < z< 10,其它，、,、 1、(2)PminX1,X2，川,X10”2(4) 258.1,3985.6。9、(1) -0.3545, 2.5545(2) 0.1767, 1.613610、(1)日的極大似然估計量為e=minX1,X2,|",Xn。-11 .= PX1 ,X2 一, ,X10223=min Xi, X2,111, Xn的概率密度函數(shù)為第七章參數(shù)估計fZ (z)=.n(

15、z _-) ne0,z»z ； ?1、 ？=x=1147 W2 =s2 =7578.9。2、 (1) (?="夕=528(2) LC)=2i5(1-i)33 = 53、(1)，? = 1/ X n(2)?=n/< Xi =1/ Xi 111 _n o4、?=乙Xi ,無偏估計n i 15、443.5,448.5。6、68.2,71.8。7、12.49,118.34 o 18、(1 ? = x =-(221 +191+111+245)=220(2)H2=s2 =662.4。E(因-二 1 E(M) = u n(2)日的矩估計量為另=X -1。E(岑)= E(X 1)=E

16、(X)1 = e , (3)D(g) =D(X -1) = D(X) =-D(X)=- n nD(彳) n當(dāng)n>1時,D(耳)<D遙)，故里比與有效。11、證略，國是u的最有效估計量.12、證略，a = -n- , b = n n2n11第八章假設(shè)檢驗1、按題意，要檢驗的假設(shè)是 Ho：N=32.0, Hi：N=32.0。因為仃2 =1.21已知，所以選取統(tǒng)計量10.1-10M0.1,5-2.24U =X 飛1N(0,1)二 / , n拒絕域為：W=u|>u J一2當(dāng) a =0.05時，U a =u0.975 1.96 ，1 _2落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)。即可以認為這批 新摩托

17、車的平均壽命 N有顯著提高。3、仃2未知時，對N的假設(shè)檢驗X所選用的統(tǒng)計量為T=X 0 L t(n-1)S/ . n故拒絕域為 W = u| >1.96計算樣本均值_ 1 _，一x = (32.6 30.0 I 31.6) =31.66統(tǒng)計量的觀測值為X坊| 31.6-32.0u =lxV6 =0.89二/ . n 1.1沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認為N=32.0。拒絕域為： W = t >t q(n1) 一2當(dāng) a =0.05時，t1§(n-1)=t0.975(19) = 2.093,一2 故拒絕域為 W=t .2.093樣本均值X= 0.6605,樣本均方差

18、s=0.0925于是統(tǒng)計量的觀測值為0.6605-0.618720 = 2.0550.0925沒有落入拒絕域，故在顯著性水平口=0.05下接受原假設(shè)卜=0.618。2、按題意，要檢驗的假設(shè)是H0：Y10, H1 : >10o因為=0.12已知，所以選取統(tǒng)計量X - J0 1U -0 L N(0,1)二 / ,n拒絕域為：W =u u1 _：當(dāng) a =0.05時， uy = u0.95 =1.645 ,故拒絕域為 W =u 1.645統(tǒng)計量的觀測值為4、(1)按題意，要檢驗的假設(shè)是Ho：N=30, H1 30。這是仃2未知時，對N的假設(shè)檢驗所選用的統(tǒng)計量為T =X -,0|_ t(n-1)

19、S/ . n拒絕域為： W=t t -.(n-1)一2當(dāng) a =0.05時，t1§(n-1)=t0.975(6) =2.447,一2：1.06故拒絕域為W =t >2.447樣本均值X =29,樣本方差s 二(n-1)= 20.025(6)=1.2372故拒絕域為W = 2 14.449 or 2 ：二 1.237統(tǒng)計量的觀測值為2 (n -1)S2 6 3 «=2 = = 4.5二 04沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認為。2 =4。 =3于是統(tǒng)計量的觀測值為x-1 29 -301 廠t =.=. 7 =1.528s/ . n 3沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即

20、可以認為3 =30。(2)按題意，要檢驗的假設(shè)是22Ho :仃=4 , Hi :仃 ¥4。這是N未知時，對1的假設(shè)檢驗所選用的統(tǒng)計量22 =In4)S_1 2(n-1) 二 0拒絕域為：W = 2 :二 2.(n -1)or2222 -Xn-1)1;2當(dāng) a =0.05時，：.(n-1)= 20.975 (6) =14.4491 _25、設(shè)第一批電子元件的電阻XL N(H,a2),第二批電子元件的電阻yL N(N2,。；)。由已給數(shù)據(jù)分別計算兩批電子元件電阻的樣本均 值與樣本方差的觀測值，得X =0.1405(0), S12 =7.5X10-(Q2).y=0.1385(Q), S2

21、=7.1父10"(。2)。(1) 按題意，要檢驗的假設(shè)是, 22. .22H 0 :1 = '- 2 , H 1 ：1-1 2。因為因，匕均未知，所以選取統(tǒng)計量S2f =看鼻(叫-1，叫-1)拒絕域為： W =F :二 F-.(n1 -1,n2 -1) or2F F1 ：.(n1 -1,n2-1)一2當(dāng) a =0.05時，F(xiàn)一.(» -1,n2-1)=F0.975(5,5) = 7.15一21F-.(n1 -1,n2 -1)-F0.025(5,5) = -2F0.975(5,5)10.1407.15故拒絕域為 W=F 7.15 or F < 0.14統(tǒng)計量的觀

22、測值為S2 7.5 爐F =:二TS27.1 10沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認為 兩批電子元件電阻的方差無顯著差異。(2) 按題意，要檢驗的假設(shè)是一：片=芯,Hi： 2；葉/。因為仃；,222均未知，由(1)的結(jié)論知O: =02 , 所以選取統(tǒng)計量T =X -丫口面1 1 -1) -1)§2 仙 -1慮 ni n2L t(n1 n2 -2)拒絕域為： W = t >t a(n1 +n2 2)1 士2當(dāng) a =0.05時，t(n1 n2 -2) = to.975(10) =2.23,1故拒絕域為W =t >2.23統(tǒng)計量的觀測值為t _|x y|n1n2(n1 +

23、n2 7)(ni -1)S2 (n2 -1)S2 n1 n20.1405-0.13851,33 1.345 (7.5 106 7.1 10，)沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認為 兩批電子元件電阻的均值無顯著差異。故接受原假設(shè)。即可以認為兩批電子元件電阻 的方差無顯著差異。4、26(2) -1 ; 5、-0.2542, 1.2542三、(本題滿分12分)解：設(shè)D=電路不能正常工作,A = 電池A損壞, B = 電池B損壞, C =電池C損壞;(1) P(D) = P(AU BUC)= 1-P(AB C) =1 - P(A B C)=1 -P(A)P(B)P(C) =0.552(2) P(D

24、)=P(A (B C)=P(A) P(B C) - P(A B C) =P(A) P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C)=0.328四、(本題滿分12分)k解：(1) . f(x)dx=1,，=dx=1,“1000 x2從而k =1000(2)當(dāng) xM 1000時，F(xiàn)(x) = 0,當(dāng) x>1000 時,x 10001000F(x)2 dt -1 -10002tx概率統(tǒng)計模擬題一設(shè)隨機變量 Y表示任取 5只中壽命大于1500小時的電子管的只數(shù)。又設(shè)事件、單項選擇題(本題滿分 15分，每題3分)1、B; 2、A; 3、D; 4、口 5、C、填空題(本題滿分15分，每空3分)1、4/

25、7 ; 2、0.1 ;A =電子管壽命大于1500小時。令p = P(A),則所求概率歸結(jié)為計算服從二項分布的隨機變量丫之2的概率5P( Y- 2Cqkk支3、一、戶ln(y/3)fY(y)=0y 0y <0如能求出p ,即可求得上面的概率。p = P(A) = P(1500 :二 X :二二)= 1500 f(x)dx = 1:學(xué)dx = 2500 x23-bofY(y”二”會必故 P(Y _2) =1 - P(Y =0) P(Y =1)h-c；%)5%1%4e2 1dx, 1 20 M y m e：e? < y E1,、=1-(13)5 -10(13)5232243五、（本題滿

26、分14分）解：（1）區(qū)域D的面積c,e2 1 ,. e2 CSD = dx = ln x=2L 1 x1、0 ,1(e2-1),211« 一 , 2y 2其它0 _ y _ee 2 二 y 三 1(X,Y)的概率密度為0 , 其它因 f(x,y)# fx(x) -fY(y)，所以 X,Y 不獨(3) P(X +Y 至2)= 1-P(X Y ：二2尸1 -f(x, y)dxdyx» 21, (x, y) D f(x,y) =2' '''0,其它.(2)fx(x) = J f(x, y)dy112二.0x2dy,1 - x-e,、0 ,其它.,1

27、MxMe2,=2x0 ,其它.=113二1 一一 二 = 0.75 .4 4六、（本題滿分12分）解:43c因為 EX =. xf (x)dx =廣(t +8)e*dt =1 + gxe"x-%x u令ex = X ,得e?=X -1是日的矩估計量。e（X -1） = e（x）-1 =e（2）作似然函數(shù),nine'x 一5 exi 二LC)二 y1I0其它n取對數(shù)得 ln LC) - -、： Xinui 1檢驗用的統(tǒng)計量2 = S二 0拒絕域為212.(n-1)= 0.95(3)=7.81520 = 40/4=10 7.815，洛在拒絕域內(nèi),求導(dǎo)得 dln L(u)/d i

28、- n所以似然函數(shù)關(guān)于e是單調(diào)遞增函數(shù)，要使似 然函數(shù)取最大值，e只能在其參數(shù)空間中取最大，故？=min x是0的極大似然估計量。七、(本題滿分12分)解：由樣本得 X =1267 ,S = 1 (Xi -X)2 = 40/3 =3.65.3y(1)要檢驗的假設(shè)為H0 :=1260, Hi :1260檢驗用的統(tǒng)計量XT - t (n - 1),S/、n拒絕域為T| 訓(xùn)1口1) =M.975(3) =3.1824。故拒絕原假設(shè)H0 ,即不能認為測定值的方差不超過4。八、(本題滿分8分)解：設(shè)預(yù)備組織貨源y噸，國家收入為Y萬元，國際市場的需求量為 X噸，則丫.3y ,3X -(y-X) y X令

29、丫 =g(X)40001E(Y) = .二 g(x)f(x)dx= 2000 g(x)贏dxy 140001(3x - y x)dx(3y) dx2000 2000y 2000126=-y2 7000y - 4 1061000所以當(dāng)y= 3500時，E(Y)取到最大值。1267 -12603.65/、4= 3.836 >3.1824 ,落在拒絕域內(nèi)，故拒絕原假設(shè)H0 ,即不能認為結(jié)果符合公布的數(shù)字12600C。(2)要檢驗的假設(shè)為H0:二2 三4 , H1 :二2 4概率統(tǒng)計模擬題二一、填空題(本題滿分15分，每小題3分)c c '012 ' c -11、0.3； 2、；

30、 3、2; 4、一;5、4.775,5.225;二、單項選擇題 (滿分15分，每小題3分)1、D; 2、A; 3、C; 4、B; 5、B三、(本題滿分12分)解：設(shè)A= "被調(diào)查的客戶信用確實可靠”B = "被調(diào)查的客戶被評為信用可靠”，由題 設(shè)知P(A =0.95,P(A) =0.05,P(B A) =0.05,P(B： A) =0.03,P(B A) =1 -P(B A) =0.97,P(B,. A) =1 -P(B A) =0.95.問題(1)要求P(B),由全概率公式，有P(B) -P(B A)P(A) P(B A)P(A)= 0.95 0.05 0.05 0.97

31、= 0.0960, x < 023F（x） = <3x2 -2x3, 0<x<11, x 1五、（本題滿分10分）解：（1）由于誤差X服從均勻分布，因此只要確定誤差 X的取值區(qū)間，就可以得到它的概率密度函數(shù)f （x）。當(dāng)小數(shù)點后第三位數(shù)字小于等于4時，要舍去，這時產(chǎn)生的誤差 X > -0.005;當(dāng)小數(shù)點 后第三位數(shù)字大于等于5時，要入，這時產(chǎn)生的誤差X M 0.005.這說明誤差 X的取值區(qū)間為（0.005, 0.005,所以誤差 X的概率密度函數(shù)為問題（2）要求P（AB）,由貝葉斯公式，有P(AB)=P(B A)P(A)P(B A)P(A) P(B A)P(A

32、)100, f(x) =/,0,x (-0.005,0.005其它45c(2) E(x) = f xf(x)dx = f0.005100xdx = 0.0.005_0.95 0.95- 0.95 0.95 0.05 0.03-0.998.六、（本題滿分10分）解：將兩封信投到3個信箱的總投法四、（本題滿分14分） 解：由1 = p(x)dx = kx(1 一 x)dx 012= k(x-x )dx=k/6 得 k=6。因此密度函數(shù)為6x(1 -x) f(x)=')所以F1PX 0.3= 03 f (x)dx= 036x(1 x)dx =0.784分布函數(shù)為2n=3 =9 ,而X和Y的可

33、能取值均為0,1,2于是1P(X =0,Y =0)=一，9hl 2P(X =0,Y=1)=C2C11/9=9 ,1P(X =0,Y =2)=P(X =2,Y =0)= 。9同理可得22P(X=1,Y=0)=g P(X=1,Y=1尸gP(X =1,Y =2)=P(X =2,Y=1尸P(X =2,Y =2)=0故（X,Y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為01201/92/91/94/912/92/904/921/9001/9P，4/94/91/91七、（本題滿分12分）由樣本值可得 X -125, S2 =2.712因為方差未知，所以構(gòu)造統(tǒng)計量X - JT 二Sx - 則 t =xS.n t(n 1)1

34、25-124 - cc” n = 6 = 0.976,2.71且拒絕域為 W=t t >1.943,則t的值不在拒絕域內(nèi)，所以接受原假設(shè)，即這塊土地的面積N顯著為124m2是成立的。（二：；1）x"dx、填空題（本題滿分15分，每小題3分）而樣本的一階原點矩為二 2- 1X = Xi ,n i 11、0.18 ; 2、0.8單項選擇題；3、2;（本題滿分4、 6; 5、 215分，每小題3A:2一1由矩估計得-1Aa 22.1 -2X所以：,=L2XX -1似然函數(shù)為分）2、解:D; 2、A; 3、C; 4、 B;5、A（本題滿分12分）設(shè)a = 中靶;B = 取出的槍較正過；L(:)=j(a +1)nx1°X2x|xnx, 0<xi <10, 其它B2= 取出的槍未較正過取對數(shù)似然函數(shù)nln L( - ) = n ln(三二 1) 一 .二 ln xi ,d ln L n ,n ,則有= ln x = 0 ,d- :工 r i因此參數(shù)a的似然估計量為2(1) P(A) =E P(Bi)P(A Bi)-八5-3 49=0.8 +0.3 -=8 80n-1nIn Xii 1P(BJP(AB)(2) P(B A)=IP(A)八、