2018人教B版選修(2-3)1.2.1《排列》教案

1、121 排列課標要求：知識與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。過程與方法：能運用所學的排列知識，正確地解決的實際問題情感、態(tài)度與價值觀：能運用所學的排列知識，正確地解決的實際問題.教學重點：排列、排列數(shù)的概念教學難點：排列數(shù)公式的推導 授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：分類計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分，依分類計數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標準，最后在確定的標準下進行分類.分類要注意不重復、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事

2、.分步計數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標準分成幾個步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計數(shù)原理更具有一般性，解決復雜問題時往往需要先分類，每類中再分成幾步.在排列、組合教學的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學生嚴格按原理去分析問題. 只有這樣才能使學生認識深刻、理解到位、思路清晰，才會做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學習奠定堅實的基礎分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理既是推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎，也是解決排列、組合問題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運用它們?nèi)ソ鉀Q

3、問題，這兩個原理貫穿排列、組合學習過程的始終.搞好排列、組合問題的教學從這兩個原理入手帶有根本性.排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關.與順序有關的是排列問題，與順序無關是組合問題，順序對排列、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關系. 教學過程：一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事

4、共有 種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟,只有各個步驟都完成才算做完這件事 應用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還

5、是分步完成,“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課：1問題：問題1從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素解決這一問題可分兩個步驟：第 1 步，確定參加上午活動的同學，從 3 人中任選 1 人，有 3 種方法；第 2 步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的

6、同學確定后，參加下午活動的同學只能從余下的 2 人中去選，于是有 2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在 3 名同學中選出 2 名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有 3×2=6 種，如圖 1.2一1 所示圖 1.2一1把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素 a , b ，。中任取 2 個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 種問題2從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？分析：解

7、決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取，有2種方法由分步計數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然，從 4 個數(shù)字中，每次取出 3 個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)可以分三個步驟來解決這個問題：第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個數(shù)字中任取 1 個，有 4 種方法；第 2 步，確定十

8、位上的數(shù)字，當百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個數(shù)字中去取，有 3 種方法；第 3 步，確定個位上的數(shù)字，當百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的 2 個數(shù)字中去取，有 2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個不同的數(shù)字中，每次取出 3 個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有4×3×2=24種不同的排法， 因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖1. 2一2 所示由此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312

9、，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。同樣，問題 2 可以歸結為：從4個不同的元素a, b, c，d中任取 3 個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.共有4×3×2=24種.樹形圖如下 a b 2排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這

10、里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4排列數(shù)公式及其推導：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取

11、2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個空位來考慮，=，求以按依次填個空位來考慮，排列數(shù)公式： （）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)；（2）全排列：當時即個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：（叫做n的階乘）另外，我們規(guī)定 0! =1 .例1用計算器計算： (1）； (2）; (3）.解：用計算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我們看到，那么，這個結果有沒有一般性呢？即

12、.排列數(shù)的另一個計算公式： =.即 = 例2解方程：3 解：由排列數(shù)公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解為例3解不等式：解：原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為例4求證：（1）；（2）證明：（1），原式成立（2）右邊 原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡例5化簡：；解：原式提示：由，得， 原式 說明：例7(課本例2)某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進

13、行多少場比賽？解：任意兩隊間進行1次主場比賽與 1 次客場比賽，對應于從14個元素中任取2個元素的一個排列因此，比賽的總場次是=14×13=182. 例8(課本例3)(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取 3 個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是=5×4×3=60. (2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學

14、每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是5×5×5=125. 例 8 中兩個問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進行計算例9(課本例4)用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法 1 ：由于在沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，百位

15、上的數(shù)字不能是O，因此可以分兩步完成排列第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9 這九個數(shù)字中任選 1 個，有種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中任選2個，有種選法（圖1.2一 5) 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有=9×9×8=648（個） .解法 2 ：如圖1.2 一6 所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3 類每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 A 母個，個位數(shù)字是 O 的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有=648個解法 3 ：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中 O 在百位上的排列數(shù)是，它們的差就

16、是用這10個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是-=10×9×8-9×8=648.對于例9 這類計數(shù)問題，可用適當?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選 3 個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標準，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從10個不同數(shù)字中選3個不重復數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到?jīng)]有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)

17、從上述問題的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素中取出 m (mn）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題 1.1節(jié)中的例 9 是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？四、課堂練習： 1若，則 （ ） 2與不等的是 （ ） 3若，則的值為 （ ） 4計算： ； 5若，則的解集是 6（1）已知，那么 ；（2）已知，那么= ；（3）已知，那么 ；（4）已知，那么 7一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？8一部紀錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序

18、？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 鞏固練習：書本20頁，,4,5,6課外作業(yè)：第27頁 習題1.2 A組1 , 2 , 3,4,5教學反思：排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列” ,“一定順序”就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同. 了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。對于較復雜的問題，一般都

19、有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。補充例題例1（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不

20、同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進行計算例2某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種；第二類用2面旗表示的信號有種第三類用3

21、面旗表示的信號有種，由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的信號例3將位司機、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案例4用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個數(shù)

22、是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，由分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是：解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是-說明：解決排列應用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進行恰當?shù)姆诸惡头植?，直接計算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3對于有限制條件的排列應用題，要恰當?shù)卮_定分類與分步的標準，防止重復與遺

23、漏例5（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列5040（2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×17！5040（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列=720（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學進行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站

24、在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮例6.從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊

25、位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）例7 7位同學站成一排，（1）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有720種（3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和

26、排尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法所以這樣的排法一共有960種方法解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學“松綁”，所以，這樣的排法一共有960種方法（4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個同學“捆綁”

27、在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，一共有排法種數(shù)：（種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）例87位同學站成一排，（1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個同學排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法（2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個同學排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有1440種說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”

28、（特殊元素后考慮）例95男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經(jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結論為（種）2007年高考題1（2007年天津卷）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有390種（用數(shù)字作答）2（2007年江蘇卷）某校開設9門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規(guī)定每位同學選修4門，共有75種不同選修方案。（用數(shù)值