初三數(shù)學(xué)幾何定理的運用

1、.初三數(shù)學(xué)幾何定理的運用：老師在教學(xué)時經(jīng)常需要面對不同的學(xué)生，如何根據(jù)不同的情況采取相應(yīng)的措施顯得非常必要。一些學(xué)生到了初三仍對幾何證明題書寫感到困難，考慮時沒有明確的目的。本文針對這些情況，充分重視了“定理教學(xué)，采取了先集中講授再平時浸透的方法，提出了從定理的根本要求出發(fā)，通過建立表象、組合定理、聯(lián)想定理等教學(xué)對策，從而使學(xué)生具備“用定理的意識。：建立表象、組合定理、聯(lián)想定理老師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)，有時由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會出現(xiàn)面對陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了為難：幾何證明題學(xué)生會證的，卻不會書寫或書寫不完好；知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容；

2、更多的學(xué)生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番苦思冥想，針對學(xué)生根底差、底子薄，決定狠抓“定理教學(xué)。通過一段時間的復(fù)習，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠，也發(fā)現(xiàn)了定理的價值，根本樹立了“用定理的意識。那么，學(xué)生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：不理解定理是進展推理的根據(jù)。其實假如我們把一道完好的幾何證明題的過程進展分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個一個定理組成的。而學(xué)生書寫的不完好、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法詳細運用到習題中去。找不到運用定理所需的條件，或者在

3、幾何圖形中找不出定理所對應(yīng)的根本圖形。詳細表如今不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)絡(luò)，考慮時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變或不是標準形，學(xué)生就難以考慮。推理過程因果關(guān)系模糊不清。針對以上的原因，我們在教學(xué)中采取了一些自救對策。一、教學(xué)環(huán)節(jié)對幾何定理的教學(xué)，我們在集中講授時分5個環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的根本要求；第3環(huán)節(jié)是根本推理形式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“形式定理的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析時的導(dǎo)向作用，提出了“圖形定理的考慮方法。程序圖設(shè)計如下：根本要求重新建立表象推理形式組合定理聯(lián)想定理二、操作分析和說明定理的根本要求我們認為，能

4、正確書寫證明過程的前提是學(xué)會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的根本單位。因此在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個定理的根本要求，并重新整理了初中階段的定理見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理，集中展示給學(xué)生。例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié)論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質(zhì)部分。如：“直角三角形和“高線、“相似。二畫：就是根據(jù)定理的內(nèi)容，能畫出所對應(yīng)的根本圖形。如：三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的根底上，能用符號語言表達，允許采用等同條件。如：ABC是Rt，CDAB于D

5、條件也可寫成：ACB90°,CDB90°等ACDBCDABC。學(xué)生在書寫時果然出現(xiàn)了一些問題：不理解每個定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時往往漏掉條件如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等；對條件太簡單的不會寫如定理3；或者把條件當成結(jié)論如定理12把三線都當成結(jié)論。還表如今思維偏向。我們的要求是會用定理，而有些學(xué)生把定理重新證明一遍如定理5、6；或者在一個定理中出現(xiàn)××，又××，××的錯誤。更多的是沒有抓住本質(zhì)。詳細表如今把非本質(zhì)的條件當本錢質(zhì)條件如定理7出現(xiàn)1和2是同位角，ABCD；條件重復(fù)如定理49，結(jié)論APO

6、BPO已經(jīng)包括過圓心O，學(xué)生在條件中還加以說明；圖形過于特殊如把定理1的圖畫成射影定理的根本圖形；文字過多一些定理譯不出符號語言，用文字代替等。重新建立表象從詳細到抽象，由感性到理性已成為廣闊數(shù)學(xué)老師傳授知識的重要原那么?！氨硐缶褪侨藗儗^去感知過的客觀世界中的對象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象，具有一定的鮮明性、詳細性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應(yīng)著一個圖形，這給我們在教學(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學(xué)生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對于理解、穩(wěn)固和記憶幾何定理起著重大的作用。教給學(xué)生想形象的根本

7、方法后，我們接下去的步驟是用實例引導(dǎo)學(xué)生，下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容：問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現(xiàn)出垂徑定理。目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。繼續(xù)問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦目的：通過表象，進展聯(lián)想，使學(xué)生理解定理間的聯(lián)絡(luò)。問：從定理21開場，你能找出和它有聯(lián)絡(luò)的定理嗎？答：有定理22擦短使平行直線變成線段，定理25

8、特殊化成菱形，定理27目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化，加深定理間的聯(lián)絡(luò)。下面的步驟，我們讓學(xué)生自主考慮。學(xué)生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯(lián)絡(luò)和區(qū)別。從學(xué)生考慮的角度看，他們主要是在尋找根本圖形，由于定理之間有一定的聯(lián)絡(luò)，在一個根本圖形中往往存在著另一個殘缺的根本圖形，所以學(xué)生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段，也有通過特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)絡(luò)起來。下面摘錄的是學(xué)生自主考慮后，得到的富有創(chuàng)意性的結(jié)論。定理16延長中線成矩形定理24作矩形的外接圓定理34。定理51一線過圓心，且兩線垂直定理36一線平移成切線定理4

9、7、48繞切點旋轉(zhuǎn)定理50。如以下圖，把EF向下平移或繞A點旋轉(zhuǎn)，使定理37和50聯(lián)絡(luò)起來有同結(jié)論D：推理形式從學(xué)生各方面的反響情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的根底上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三種根本推理形式。詳細教學(xué)分三個步驟施行：精心設(shè)計三個簡單的例題，讓學(xué)生歸納出三種根本推理形式。條件結(jié)論新結(jié)論結(jié)論推新結(jié)論式新結(jié)論多個結(jié)論推新結(jié)論式新結(jié)論結(jié)論和條件推新結(jié)論式通過已詳細書寫證明過程的題目讓學(xué)生識別不同的推理形式。通過詳細習題，學(xué)生有

10、意識、有預(yù)見性地練習書寫。這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架，在詳細書寫時有一定的形式，有效地抑制了學(xué)生書寫的盲目性。但教學(xué)說明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結(jié)為對推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的根據(jù)和單位不明白。因此我們根據(jù)需要，又設(shè)計了以下一個環(huán)節(jié)。組合定理根本推理形式中的骨干部分還是定理的符號語言。因此在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個定理的因果關(guān)系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構(gòu)造圖形，進一步強化學(xué)生“用定理的意識。下面通過一例來說明這一步驟的施行。例1：如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對角線AC與BD相交于E，且ABA

11、E·AC，BD8。求BAD的面積。2019年嘉興市質(zhì)量評估卷六證明：連結(jié)OB，連結(jié)OA交BD于F。學(xué)生從每一個推測符號中找出所對應(yīng)的定理和隱含的主要定理：比例根本性質(zhì)S/AS/證相似相似三角形性質(zhì)垂徑定理勾股定理三角形面積公式由于學(xué)生自己主動找定理，因此印象深化。在證明過程中確實是由一個一個定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會到把定理不排除概念、公式等鑲嵌在根本形式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務(wù)：給出勾股定理，你能再結(jié)合一個或多個定理，構(gòu)造圖形，并編出證明題或計算題嗎？理論說明：經(jīng)過“形式定理書寫方法的熏陶后，學(xué)生根本具備了完好書寫的意識。聯(lián)想定理分析圖形是證明的根底

12、，幾何問題給出的圖形有時是某些根本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的根本圖形，為運用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想這也是老師分析幾何證明題、學(xué)生證題的根本方法之一，但對于識圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出根本圖形呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的根本圖形呢？因此我們從另一側(cè)面，即證明題的“、求證上給學(xué)生以支招，即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形想象。例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點，AB是O1的直徑，AB、AC的延長線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BFDE。討論此題時，啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“AB是O

13、的直徑聯(lián)想定理“直徑所對的圓周角是90°，因此連結(jié)BC；“過B作O的切線交AE于F聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)，得出ABF90°。從而構(gòu)造出根本圖形。由命題的結(jié)論“BFDE聯(lián)想起“同位角相等，兩直線平行定理，構(gòu)造出根本圖形。將上述根本圖形的性質(zhì)結(jié)合在一起，學(xué)生就易于考慮了。這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語有：“由中的哪一個條件，你能聯(lián)想起什么定理？、“條件組合后能構(gòu)成哪個定理？、“有無對應(yīng)的根本圖形？、“能否構(gòu)造出根本圖形？等。目的是讓學(xué)生樹立起“圖形定理的考慮方法，把以前的無意識考慮變成有目的、有意識的考慮。三、幾點認識復(fù)習的效果最終要表達在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的自身理論和領(lǐng)悟才是最正確復(fù)

14、習途徑，因此在復(fù)習時，我們始終堅持主體性原那么。在組織復(fù)習的各個環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性和積極性：提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會，創(chuàng)造性的解答共同完善?！皼]有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個程度升華到更高的程度弗賴登塔爾。我們認為傳授方法或解答后讓學(xué)生進展反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們在教學(xué)時總留出足夠的時間來讓學(xué)生進展反思，使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。集中講授能使學(xué)生對幾何定理的應(yīng)用有一定的認識，但假如不加以穩(wěn)固，也會造成遺忘。因此我們也堅持了浸透性原那么，在平時的解題分析中時常有意識地引導(dǎo)、反復(fù)浸透。參考資料：高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習的理論和理論孟祥東

15、等?中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)?2019、3全國初中數(shù)學(xué)教育第十屆年會論文集P380、P470附錄：初中數(shù)學(xué)幾何定理集錦摘錄1.同角或等角的余角相等。3.對頂角相等。5.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。6.在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。7.同位角相等，兩直線平行。12.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。16.直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。19.在角平分線上的點到這個角的兩邊間隔 相等。及其逆定理。21.夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。22.一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行

16、四邊形。24.有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。25.菱形性質(zhì)：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。27.正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。34.在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等。36.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。43.直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。46.相似三角形對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似

17、三角形面積的比等于相似比的平方。37.圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角等于它的內(nèi)對角。47.切線的斷定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。48.切線的性質(zhì)定理經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。49.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結(jié)圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。50.弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準就難以說得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴大幼兒的認知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中，積累詞匯、理解詞義、開展語言。在運用觀察法組織活動時，我著眼觀察于觀察對象的選擇，著力于觀察過程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才能和語言表達才能的進步。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語