一級(jí)倒立擺的建模與控制分析

1、 控制工程與仿真課程設(shè)計(jì)報(bào)告報(bào)告題目 直線一級(jí)倒立擺建模、分析及控制器的設(shè)計(jì) 組員1專業(yè)、班級(jí) 14自動(dòng)化1 班 姓名 朱永遠(yuǎn) 學(xué)號(hào) 1405031009 組員1專業(yè)、班級(jí) 14自動(dòng)化1 班 姓名 王憲孺 學(xué)號(hào) 1405031011 組員1專業(yè)、班級(jí) 14自動(dòng)化1 班 姓名 孫金紅 學(xué)號(hào) 1405031013 報(bào)告評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分項(xiàng)目權(quán)重評(píng)價(jià)內(nèi)容評(píng)價(jià)結(jié)果項(xiàng)目得分內(nèi)容70設(shè)計(jì)方案較合理、正確，內(nèi)容較完整70-50分設(shè)計(jì)方案基本合理、正確，內(nèi)容基本完整50-30分設(shè)計(jì)方案基本不合理、正確，內(nèi)容不完整0-30分語言組織15語言較流順，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)較正確10-15分語言基本通順，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)基本正確5-10分語言

2、不通順，有錯(cuò)別字，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)混亂5分以下格式15報(bào)告格式較正確，排版較規(guī)范美觀10-15分報(bào)告格式基本正確，排版不規(guī)范5-10分報(bào)告格式不正確，排版混亂5分以下總 分 直線一級(jí)倒立擺建模、分析及控制器的設(shè)計(jì)一 狀態(tài)空間模型的建立1.1直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 圖1.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) 本文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號(hào)、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表1.1所示。 圖1.2是系統(tǒng)中小車的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖1.2 系統(tǒng)中小車的受力分析圖圖1.3是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力, Fh是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向

3、夾角為的干擾力Fg。圖1.3 擺桿受力分析圖 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為 的干擾力Fg，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力FS、垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力矩。 對(duì)擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 即： 對(duì)圖1.3擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 即 力矩平衡方程如下： 代入P和N，得到方程： 設(shè)，（是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設(shè)<<1，則可進(jìn)行近似處理： 由于：方程化為： 令：，則可化為： 即是化簡后的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入

4、實(shí)際數(shù)據(jù)后，微分方程為： 當(dāng)忽略了Ff時(shí)，系統(tǒng)的微分方程如式（1-12）所示 忽略干擾力后，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的4個(gè)狀態(tài)量分別是小車的位移x、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測(cè)量為小車的位移x、擺桿的角度。其控制量為小車的加速度將微分方程（1-12）化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)： 1.2 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程 實(shí)驗(yàn)所使用的直線一級(jí)倒立擺系系統(tǒng)是加速度作為系統(tǒng)的控制輸入，所以根據(jù)式（1-12）建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程： 將實(shí)際參數(shù)代入得到一級(jí)倒立

5、擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 二 運(yùn)動(dòng)分析、能控性及能觀性分析2.1 運(yùn)動(dòng)分析線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為：則其解為： 系統(tǒng)的輸出方程為： 則運(yùn)動(dòng)分析可以借助計(jì)算機(jī)的 MATLAB 進(jìn)行。用 MATLAB 仿真求線性非齊次狀態(tài)方程的解實(shí)例如例 1 所示。 例1 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為 用以下 MATLAB 程序求系統(tǒng)方程的解。其中，collect( )函數(shù)的作用是合并同類項(xiàng)，而 ilaplace( )函數(shù)的作用是求取拉普拉斯逆變換， 函數(shù) det( )的作用是求方陣的行列式， 語句 phi=subs(phi0,t ,(t-tao)表示將符號(hào)變量 phi0 中的自變量 t 用(t-tao)代換就構(gòu)成了符

6、號(hào)變量 phi， 而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號(hào)變量 F 對(duì) tao 在 0 到 t 的積分區(qū)間上求積分， 運(yùn)算結(jié)果返回到 x2。 程序執(zhí)行結(jié)果為 這表示 2.2 系統(tǒng)能控性分析 系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：，其中n為系統(tǒng)矩陣A的階次，為系統(tǒng)的可控性矩陣。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> T=ctrb(A,B);>> rank(T)ans = 4由于rank（Ic）=

7、4，可見該系統(tǒng)是完全可控的。2.3 系統(tǒng)能觀測(cè)性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：或其中n為系數(shù)矩陣A的階次。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;>> T0=obsv(A,C);rank(T0)ans = 4由于rank（T0）=4，故該系統(tǒng)是可觀測(cè)的。 三 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)3.1狀態(tài)反饋原理設(shè)維線性定常系統(tǒng)： 其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A、B、C分別是n*n維，n*

8、p維，n*q維實(shí)數(shù)矩陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的線性函數(shù)：其中，v為p參考輸入向量，K為p*n維實(shí)反饋增益矩陣。 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.1所示：圖3.1 系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖 則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動(dòng)態(tài)方程為： 3.2狀態(tài)反饋觀測(cè)器和simulink仿真狀態(tài)反饋的的實(shí)現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置。而狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是可控的。 設(shè)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為=，則系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為： 列寫狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式： 令兩個(gè)特征多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣K，編程如下： A

9、=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K = -5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系統(tǒng)加入0.1m/s2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真，編程如下：A=0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0;B1=0 1 0 3;C=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=0.005;ieof=801;f

10、or i=1:ieof; U(:,i)=0.1; T(i)=i*dt;end; %離散化op=-2 %期望極點(diǎn) -3 -4+3i -4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0 0 0 0'dt=0.005;%離散時(shí)dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);%經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('

11、Cart','VCart','single','Vs');圖3.2 極點(diǎn)配置為-2 -3 -4+3i -4-3i時(shí)的全狀態(tài)反饋仿真圖 橫軸時(shí)間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。四 總結(jié) 通過對(duì)一級(jí)倒立擺的分析可知，在開環(huán)情況下，倒立擺的平衡系統(tǒng)是不穩(wěn)定的的；通過秩判據(jù)可知，其系統(tǒng)是可控可觀測(cè)的；以上都是利用MATLAB對(duì)其進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，對(duì)其系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性、可控性、可觀測(cè)性分析，以及極點(diǎn)配置和最優(yōu)控制設(shè)計(jì)，從中我們可以看出，MATLAB作為一種交互式計(jì)算分析軟件，其強(qiáng)大的運(yùn)算分析功能，集科學(xué)計(jì)算、程序設(shè)計(jì)和可視化于一體的高度集成化軟件環(huán)

12、境，為控制系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)，特別是高階系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)，提供了一種方便可靠的途徑。參考文獻(xiàn)1 李國勇，控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與CADM，北京：電子工業(yè)出版社，2003，92 王丹力，MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)仿真應(yīng)用M，北京：中國電力出版社，2007，93 薛定宇，控制系統(tǒng)仿真與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)M，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005，14 金以慧，過程控制M，北京：清華大學(xué)出版社，2003，65 劉金琨. 先進(jìn)PID控制及其MATLAB仿真M . 北京：電子工業(yè)出版社，2003，6 薛定宇. 控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)MATLAB語言及應(yīng)用M. 北京：清華大學(xué)出版社，19967 易繼鍇. 智能控制技術(shù)M. 北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2