Steklov特征值問題元后驗誤差估計

1、Steklov特征值問題元后驗誤差估計馬龍 劉杰 楊一都（貴州師范大學(xué)數(shù)計學(xué)院，貴陽 550001，中國）摘要：本文在Carstensen等對二階橢圓問題后驗誤差估計的基礎(chǔ)上利用楊一都分析特征值后驗誤差估計的方法，分析了Steklov特征值問題非協(xié)調(diào)元逼近的后驗誤差估計。關(guān)鍵詞：Steklov 元 后驗誤差估計1 引言Steklov特征值問題有著重要而深刻的物理背景，其特征參數(shù)出現(xiàn)在邊界條件上并導(dǎo)致了許多應(yīng)用。在2008年，Armentano和Padra9提出并分析了Steklov特征值問題線性有限元逼近的后驗誤差估計。他們的殘差型后驗誤差式可以利用近似特征對局部的進行計算得到。2010年，李

2、思銳討論了非協(xié)調(diào)元的后驗誤差估計（文）。本文參照Carstensen等3對二階橢圓問題非協(xié)調(diào)元后驗誤差估計的框架和楊一都2分析特征值后驗誤差估計的方法，分析了Steklov特征值問題非協(xié)調(diào)元逼近的后驗誤差估計。2 Steklov特征值問題元逼近考慮Steklov方程 . （1）這里是有界的凸多邊形區(qū)域，是沿著穿過邊界的外法向?qū)?shù)。問題（1）的變分形式是：求，且，滿足. （2）這里，。顯然，是上對稱，連續(xù),橢圓的雙線性。 元是林等在2006年提出的一種非協(xié)調(diào)元（文10）。設(shè)是的正則矩形剖分（見8），帶有網(wǎng)格直徑。是位于內(nèi)部的單元邊界，是位于邊界上的單元邊界。元空間定義為：.（2）的非協(xié)調(diào)有限元近

3、似為：求，且，使得. （3）這里，定義，易知是非協(xié)調(diào)有限元空間的范數(shù)，是一致橢圓的。事實上，。分別考慮（1）和（3）對應(yīng)的源問題：求，使得. （4）求，使得. （5）注意，是定義在區(qū)域上有實數(shù)階的Sobolev空間，是空間中的范數(shù)，規(guī)定。根據(jù)（2）對應(yīng)的源問題（4），定義算子,；,。這里的符號“”表示限制在邊界上。Bramble和Osborn7證明了（2）有算子形式：. （6）注意到關(guān)于是一致橢圓的，（3）對應(yīng)的邊值問題（5）有唯一的解。定義，；，.由1知，（3）有算子形式： . (7)和是自共軛全連續(xù)算子，并且.3 非協(xié)調(diào)元后驗誤差恒等式（1）和（3）分別有算子形式（6）和（7），對Stek

4、lov問題有下列結(jié)論成立：引理3.1 設(shè)是（3）的第個特征對，是（2）的第個特征值。則，且存在，使得, （8）, （9）. （10）其中是對應(yīng)的特征向量空間.(證明見文1)下面證明下列恒等式成立：定理3.1 設(shè)是（3）的第個特征對，是（2）的第個特征值. 則存在，使得. （11）這里.證明:參照文2的定理3.1的證明方法證明。由和的定義推出 （12）記.由三角不等式和（12），（8），（9）式推出 .顯然，是的高階小量。于是，（11）把非協(xié)調(diào)元特征函數(shù)的誤差估計轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的源問題（帶右端）非協(xié)調(diào)有限元解的誤差分析，于是原問題非協(xié)調(diào)有限元解的后驗誤差指示子可以作為非協(xié)調(diào)有限元特征函數(shù)的后驗誤差指

5、示子。為了討論非協(xié)調(diào)有限元特征值的后驗誤差指示子，下面給出一個引理(見1，2):引理3.2 設(shè)和分別是（1）和（3）的特征對，則有展開式. （13）4 Steklov問題的元特征函數(shù)的后驗誤差指示子定義，,，.考慮（1）對應(yīng)的邊值問題，求使得 in， on. （14）設(shè)是（14）的有限元解，作（14）的輔助問題：求使得 in， on. （15）設(shè)是（15）的元解，顯然.文3給出二階橢圓問題后驗誤差估計框架，文4指出元滿足該框架.對問題（15），定義誤差指示子：.滿足,.這里，對每一條單元的邊，用表示單位外法向量，表示沿方向穿過時的躍度，即.用表示沿方向穿過時的躍度，即.這里，表示沿方向的單位切

6、向量。對，定義：，及；.對（15），Carstensen等3證明了下面的后驗誤差估計：引理4.1 存在一個僅和的最小內(nèi)角有關(guān)的正常數(shù)使得, （16）. （17）基于（16），（17）和定理3.1有：定理4.1 令是（1）的第個非協(xié)調(diào)有限元特征對，；是（1）的第個準(zhǔn)確特征值。則存在，使得：. （18）. （19）其中是對應(yīng)的特征向量空間.證明：注意到，且由偏微先驗誤差估計知：所以，由（16）推出. （20）由（17）推出. （21）在源問題（4）和（5）中，取，則，.由（20）知. （22）把（22）代入（11）得（18）。由（21）知. （23）所以，. 即（19）得證。在定理4.1中，和比較

7、通常，都是高階小量，所以是的可靠和有效的誤差指示子。由定理4.1和引理3.2可推出是的可靠和有效的后驗誤差指示子。定理4.2 令是（1）的第個非協(xié)調(diào)有限元特征對，是（1）的第個準(zhǔn)確特征對。則 （24） （25）其中是比高階的小量：證明： 在本文的（14）中取，由文1的引理4.2知：（14）式中右端第4項為，；由（9）和（10），由文5,第3項，聯(lián)系（17）得（24），聯(lián)系（18）得（25）。參考文獻1 Y.D. Yang,Qin Li,Sirui Li.Nonconforming finite element approximations of The Steklov eigenvalue p

8、roblem.Applied Numerical Mathematics 59(2009)2388-24012 Y.D.Yang. A posteriori error analysis of conforming/nonconforming nite elements (in Chinese). Sci Sin Math, 2010,40(9): 843862, doi: 10.1360/012010-573 Carstensen,J. Hu, Orlando.Framework for the a posteriori error analysis of nonconforming fin

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