一元二次方程全章教學(xué)案

1、2.1 一元二次方程【重點(diǎn)難點(diǎn)】1經(jīng)歷抽象一元二次 方程的過程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，理解一元二次方程及相互概念。2經(jīng)歷方程的解的探索過程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，發(fā)展估算能力及意識(shí)，能列出方程來刻畫實(shí)際問題。【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】從前有一天，一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)屋橫拿豎拿都拿不進(jìn)去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，這時(shí)一道的另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角線斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試不多不少剛好把竹竿拿進(jìn)去了，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？請(qǐng)你根據(jù)這一問題列出方程，并把自己所列的方程與以前學(xué)習(xí)過的一元一次方程，二元一次方程比較有什么不同之處，并與其它的同伴交流自己的看法。點(diǎn)拔:本例中，設(shè)竹竿長(zhǎng)

2、為x尺，則門框?qū)挒?x4)尺，門框高為(x2)尺，門框的對(duì)角線長(zhǎng)為x尺，根據(jù)“寬2+高2=對(duì)角線2”可列方程，（x4）2+(x2)2=x2,即x212x+20=0,這個(gè)方程與以前學(xué)習(xí)過的方程相比較有（1）只含一個(gè)未知數(shù)，（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2，這兩個(gè)特點(diǎn)，從本例中逐步體會(huì)一元二次方程的概念，本例實(shí)則是一個(gè)笑話，實(shí)際上不必這么麻煩，只須將竹竿垂直于門所在的平面就很方便地進(jìn)去了，但我們還應(yīng)在談笑之后，明白其中的數(shù)學(xué)知識(shí)?！局R(shí)分析】1一元二次方程的引入在前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過通過列一元一次方程，二元一次方程組來解決實(shí)際問題，但有些問題，如課本中的“花邊有多寬”，“五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)平方和等于

3、后面兩個(gè)數(shù)的平方和”，“梯子的底端滑動(dòng)了多少米”等所列出的方程：（82x）(52x)=18,x2+(x+1)+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,它們是一元一次方程嗎？是二元一次方程嗎？它們又有什么特點(diǎn)呢？把上述三個(gè)方程化簡(jiǎn)：2x213x+11=0,x27x+10=0,x2+12x15=0,這三個(gè)方程都能化成ax2+bx+c=0的形式，并且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，這就是我們要學(xué)習(xí)的一元二次方程。2一元二次方程的概念方程中只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是二次，這樣的整式方程叫一元二次方程。下列方程是一元二次方程嗎？為什么？2x23x+1=0

4、x2+y+2=3x (2x+1)2(4x+1)(x+1)=2任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可化為ax2+bx+c=0的形式（a，b，c為常數(shù)，且a0）。因此我們把這種形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2,bx，c分別叫二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)。a,b分別為二次項(xiàng)系數(shù)和一次系數(shù)。如4x23x2=0中，4x2是二次項(xiàng)，3x是一次項(xiàng)，2為常數(shù)項(xiàng)，而4,3分別是二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)。一元二次方程的項(xiàng)以及系數(shù)是針對(duì)方程的一般形式而言的，因此，我們?cè)诖_定一元二次方程的項(xiàng)或系數(shù)時(shí)必須先把方程化為一般形式，然后再確定，另外，這類問題的答案并不唯一，如方程2x24x6=0,x22x3=0都是同一個(gè)方程的一般形

5、式，因而依據(jù)不同形式確定的項(xiàng)及系數(shù)也是不同的。3一元二次方程的解能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，這與一元一次方程，二元一次方程的解的意義一樣。檢驗(yàn)一個(gè)未知數(shù)的值是否是一元二次方程的解的方法：將未知數(shù)的值代入方程的左，右兩邊，分別計(jì)算結(jié)果，再比較左右兩邊是否相等，如果左右兩邊相等，則未知數(shù)的值是原方程的解，否則就不是原方程的解。判斷方程后面的數(shù)是否是方程的解：（1）2x23x+1=0 (,1) (2)x2=0 ()(3)(2x1)2=3 ()(1)x=,x=1是此方程的解。（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。（3）x=,x=均是此方程的解。)4求實(shí)際問題中一元二次方程的近

6、似解。對(duì)于實(shí)際問題列出的一元二次方程，我們可先根據(jù)實(shí)際問題確定其解的大致范圍，再通過具體計(jì)算進(jìn)行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解。【例題講解】例1判斷下列式子是不是關(guān)于x的一元二次方程:下列關(guān)于x的方程:（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);(4)(m2+3)x2+2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序號(hào)）.解析 所謂關(guān)于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x為未知數(shù)，而其它的字母均理解為已知數(shù)。（1）不一定是一次方程，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，它不是一元二次方程；（2）中不含未知數(shù)x;(3)中x的最高指數(shù)為3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一個(gè)未知數(shù)x，且其最

7、高次數(shù)為2，其系數(shù)(m2+2)>0,故它是關(guān)于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。解：應(yīng)填（4）思路探究 判斷一個(gè)方程是否一元二次方程，看方程是否滿足以下三個(gè)條件：（1）是整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)為2。三個(gè)條件缺一不可才是一元二次方程。例2求出下列方程二次項(xiàng)，一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)：（1）6x2=5x+2,(2)(3x1)(x+2)=. 解析 （1）通過移項(xiàng)方程化成一般形式：6x25x2=0,從而確定其二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別為 6x2,5x,2。（2）先把方程變形整理為一般形式：3x2+5x=0.故二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別為3x2,5

8、x, .解：（1）把方程化成一般形式為：6x25x2=0 這個(gè)方程的二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別為6x2,5x,2。（2）把方程化成一般形式為：3x2+5x=0 這個(gè)方程的二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別為3x2,5x, 思路探究 一元二次方程的二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)這三個(gè)概念都是相對(duì)一般形式而言的，求解時(shí)必須先把一元二次方程化為一般形式；此外還應(yīng)注意，確定一元二次方程的項(xiàng)還應(yīng)包括前面的符號(hào)。例3如圖 所示，要建一個(gè)面積為130平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長(zhǎng)16米）并在與墻平行的一邊開一道1米寬的門，現(xiàn)有能圍成32米長(zhǎng)的木板，求倉庫的長(zhǎng)和寬，對(duì)于這個(gè)問題，你能列出方程嗎？試著求其解來，并與同伴交流

9、一下自己的心得。解析 本例中要求倉庫的長(zhǎng)與寬兩個(gè)未知量，但這兩個(gè)量之間有著相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)就為（322x）米，根據(jù)長(zhǎng)方形面積為130平方米，可列出方程。解:設(shè)倉庫的寬為x米,則長(zhǎng)應(yīng)為(322x)米,根據(jù)題意可列方程:x(332x)=130 方程整理得:2x233x+130=0 (2x13)(x10)=0 ,x2=10 . 當(dāng)時(shí)，332x=20>16（墻長(zhǎng)16米）， 不合題意應(yīng)舍去，當(dāng)x=10時(shí)，332x=13 倉庫的寬為10米，長(zhǎng)為13米。點(diǎn)拔 題中“墻長(zhǎng)16米”這一實(shí)際條件易被忽視，從而導(dǎo)致長(zhǎng)寬分別為13米，10米和20米，米的錯(cuò)誤，因而在作答前必須檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問題

10、的條件，不符合實(shí)際的應(yīng)舍去。對(duì)實(shí)際問題，求出的方程的解要檢驗(yàn)其是否符合題意，從而作出取舍?！局锌兼溄印坷?關(guān)于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0有一根為0,則a的值應(yīng)為 .A1 B.1 C.1或1 D. 解析 根據(jù)方程根的定義,將x=0代入原方程中,則原方程變?yōu)殛P(guān)于a的一元二次方程,求得a的值,再根據(jù)一元二次方程中,其二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,從而確定a的值.解:（a1）x2+x+a21=0有一根為0 把x=0代入方程中得:a21=0 a=±1 又此方程為一元二次方程 a10 a1 a=1 故選B 思路探究 本題易忽視二次項(xiàng)的系數(shù)a10這一隱含條件,容易錯(cuò)選C,因此在本章解有關(guān)一

11、元二次方程的題目中,若二次項(xiàng)系數(shù)中有字母已知數(shù)時(shí),一定要注意到二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇：1.下列方程不是整式方程的是( )A.20.4x3=0 C. D.2.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是( )3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x3)=x21,x2+4=0,x2(+1)x+=0,3x2+6=0A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是( )A.3,5,2 B.3,5x,2 C.3,5x,2 D.3,5,24.一元二次方程5x2+x3=0,把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),且使方程的根不變

12、的是( )A.5x2x+3=0 B.5x2x3=0 C.5x2+x3=0 D.5x2+x+3=05.已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0的一個(gè)根為0,則m的值為( )A.1 B.3 C.1和3 D.不等于1的任何數(shù)6.已知2y2+y2的值為3，則4y2+2y+1值為（ ）A10 B.11 C.10或11 D.3或17.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)之和為0,則方程必有一根是( )A.0 B.1 C.1 D.±18.若b(b0)是方程x2+cx+b=0的根,則b+c的值為( )A.1 B.1 C.2 D.29.如圖所示,在正方

13、形的鐵片上,截去2cm寬的一個(gè)長(zhǎng)方形,余下的面積是48cm2,則原來的正方形鐵片的面積是( )A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm210.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )A.m=±2 B.m=2 C.m=2 D.m±2二、填空：11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次項(xiàng), 是一次項(xiàng), 是常數(shù)項(xiàng).12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是 .13.方程4x2=3x+1的二次項(xiàng)是 ,一次項(xiàng)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 .14.已知關(guān)于x的方程是一元二次方程,則m= .15.已知關(guān)于x的方程x2(2m1)x(2m

14、1)=0有一根為0,則m= .16.關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0有一根為0,則a= .17.已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1,一根為1,則a+b+c= ,ab+c= .18.小王在超市用24元買了某種品牌的牛奶若干盆,過一段時(shí)間再去超市,發(fā)現(xiàn)這種牛奶進(jìn)行讓利銷售,每盒讓利0.4元,他用24元錢比上次多買2盒,若設(shè)這種牛奶原價(jià)為每盒x元,則可列方程為 ,若設(shè)后來買了y盒,則依題意可列方程為 .19.某農(nóng)場(chǎng)的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸,若設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x,則所列方程為 .20.已知方程(x+a)(x3)=0和方程x22x3=0的解完全相同,則a

15、= .21.已知x2+7xy60y2=0,則= .22.若分式的值為0,則x= .三、解答題：23.關(guān)于x的方程(ab)x2+ax+b=0在什么條件下是一元一次方程?在什么條件下是一元二次方程?24.關(guān)于x的方程(2m2+m3)xm+1+5x=13能是一元二次方程嗎?為什么?25.當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程 (m29)x2+(m3)x+2m=0:(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?26.已知關(guān)于x的方程(n2)+3nx+3=0是一元二次方程,試求n的值并寫出這個(gè)一元二次方程.27.已知a、b、c均為有理數(shù),試判定關(guān)于x的方程ax2x+b=c是不是一元二次方程,如果是,請(qǐng)寫出二次項(xiàng)系數(shù)

16、,一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根為1,且a、b滿足等式b=3,求方程c=0的根.29.一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示,要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠,如果水渠的寬度相等,而且要保證余下的耕地面積為9600米2,那么水渠應(yīng)挖多寬?30.已知x23x+2=0,試求的值.2.2 配方法【重點(diǎn)難點(diǎn)】1.會(huì)用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法,會(huì)用配方法解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.2.能夠建立一元二次方程刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力.3.體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.4.能根據(jù)具體實(shí)際問題檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.【

17、預(yù)習(xí)導(dǎo)引】在學(xué)習(xí)了一元二次方程后,數(shù)學(xué)課王老師出示了一道解方程的題目:解方程:(4x3)2=(12x)2小明是這樣解答的:(4x3)2=(12x)2 ,4x3=12x,6x=4,x=你覺得小明的解方程的過程正確嗎?如果不正確,你覺得應(yīng)如何修正?不妨大膽談?wù)勛约旱南敕ㄅc同伴交流.點(diǎn)拔 由(4x3)2=(12x)2可知:4x3與12x相等若互為相反數(shù),所以4x3=12x或(4x3)+(12x)=0解這兩個(gè)一元一次方程可得:x=或x=1,小明的解法遺漏4x3與12x還能互為相反數(shù)的情況,從本例中我們體會(huì)到解一元二次方程可以把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解.【知能互動(dòng)】1.直接開平方法解一元二次方

18、程對(duì)于形如x2=m或(ax+n)2=m(a0,m0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方,而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),可用直接開平方法求解.x2=m的解為x=,即(ax+n)2=m轉(zhuǎn)化為ax+n=,即ax+n=,或ax+n=,這兩個(gè)一元一次方程來解.因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根,所以當(dāng)m<0時(shí),x2=m或(ax+n)2=m無解你能解下列方程嗎?并結(jié)合自己解方程的過程與結(jié)果探索方程的解的情況. (3x1)2=0 答案：; ; 無實(shí)根2.運(yùn)用配方法解一元二次方程通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化成形如(ax+b)2=m的形式,再運(yùn)用直接開平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步

19、驟如下:(1)把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊.(2)根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1.(3)把方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,使左邊配成一個(gè)完全平方式.這時(shí),方程右邊如果是一個(gè)非負(fù)數(shù),就可直接用開平方的方法求出它的解,如果方程右邊是負(fù)數(shù),則這個(gè)方程無解.用配方法解一元二次方程比較麻煩,在解一元二次方程時(shí)一般不用配方法,這是為公式法作準(zhǔn)備的一種方法.但在今后的學(xué)習(xí)中,配方法經(jīng)常用到,因而必須正確掌握配方法的方法.3.建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題回顧以前學(xué)習(xí)過的列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟.你能說說如何列一元二次方程解應(yīng)用題嗎?與同伴交流自己的想法.列一

20、元二次方程解應(yīng)用題步驟:(1)審題:弄清題意,找出已知量和未知量,并分清數(shù)量關(guān)系,明確所求的量.(2)設(shè)出未知數(shù),根據(jù)題意,設(shè)出合適的未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù),列出有關(guān)的代數(shù)式.(3)分析等量關(guān)系:即找到能反映全部意義的相等關(guān)系.(4)列方程:根據(jù)等量關(guān)系列出方程。(5)解方程(6)檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求得的解是否符合題意,正確取舍。(7)寫出答案在解一元一次方程時(shí),只要題目,方程及解法正確,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解應(yīng)用題的解,而一元二次方程有兩個(gè)根,這些根雖然滿足所列一元二次方程,但未必符合題意,因此在解完一元二次方程之后,要按題意檢驗(yàn)這些根是否符合實(shí)際問題,作出正確取舍.【名題探

21、究】例1.解下列方程:(1)4(2x1)29=0 (2)9(3x2)2=(12x)2 解析 (1)方程可化為,直接開平方法即可求解.(2)中方程可化為3(3x2)2=(12x)2因而方程化轉(zhuǎn)化為3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0兩個(gè)一元一次方程求解.解:（1)原方程化為 , 開平方得:2x1=±, 即2x1=或2x1=, 所以:.(2)原方程化為: 3(3x2)2=(12x)2 所以3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0.思路探究 形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接開平方法解較簡(jiǎn)單.注意兩邊開平方時(shí)不要漏掉負(fù)號(hào)的情況.例2.用配方法解下列方程(1

22、)2x2+4x9=0; (2)3x2=6+8 解析 運(yùn)用配方法解一元二次方程,先移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程中的右邊,再在方程左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù),把二次項(xiàng)的系數(shù)化為”1”的形式,然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把方程化為(ax+b)2=c的形式,再用直接開平方的方法求解.解 (1)方程兩邊都除以2得,移項(xiàng)得:x2+2x= 配方得:x2+2x+1=+1 即(x+1)2=. (2)方程兩邊都除以3,得: 移項(xiàng)得:配方得: , .即所以此方程的根為:.思路探究 配方的關(guān)鍵是在二次項(xiàng)系數(shù)為1的形式下,方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.例3 閱讀材料

23、解答問題為解方程(x21)25(x21)+4=0我們可以將x21視為一個(gè)整體,設(shè)x21=y,則(x21)2=y2,原方程化為y25y+4=0(1)解得y1=4,y2=1當(dāng)y=4時(shí),x21=4, x2=5 , .當(dāng)y=1時(shí),x21=1, x2=2, x=.原方程的解為:.解答問題:(1)填空:在由原方程得到方程(1)的過程 ,利用 方法達(dá)到降次的目地,體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想.(2)解方程:x4x26=0 解析閱讀理解,并運(yùn)用材料中所反映的方法,結(jié)論解決問題,這是近年中考中熱點(diǎn)題型,解答此例問題的關(guān)鍵是弄懂材料內(nèi)容.發(fā)現(xiàn)材料所揭示的方法或結(jié)論.解 (1)換元, 轉(zhuǎn)化, (2)設(shè)x2=y,則此方程化為:

24、y2y6=0 解得:y1=3,y2=2又x20 y=3 , 即x2=3 . . 原方程的根是x1=3, x2=. 思路探究 換元,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在很多時(shí)候是我們解決問題的有效途徑.【中考鏈接】例4 某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品每件10元售出,每天可銷售200件,通過一段時(shí)間的摸索,該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價(jià)0.5元,其銷售量就減少10件,每降價(jià)0.5元,其銷售量就增加10件.(1)你能幫助店主設(shè)計(jì)一種方案,使每天的利潤達(dá)到700元嗎?(2)將售價(jià)定為每?jī)r(jià)多少元時(shí),能使這天所獲利潤最大?最大利潤是多少? 解析 本例中售價(jià)與銷量之間互相關(guān)聯(lián),設(shè)每件銷售價(jià)提高了x元,則每件利潤為(10+x8)=(

25、x+2)元,每天銷量減少到(20020x)件,則每一天的利潤可用代數(shù)式(x+2)(20020x)表示,再據(jù)此建立方程或函數(shù)模型解答.解: (1)設(shè)每件商品提高x元,則每件利潤為(10+x8)=(x+2)元,每天銷售量為(20020x)件,根據(jù)題意可列方程(x+2)(20020x)=700. 整理得:x28x+15=0.解得:x1=3,x2=5. 檢驗(yàn)知: x1=3,x2=5均符合題意. 把售價(jià)定為每件13元或15元能使每天利潤達(dá)到700元.(2)設(shè)每天利潤為y元,由(1)中可知:y=(x+2)(20020x)=20(x28x20)=20(x28x+1636)=20(x4)2+72020(x4)

26、20 當(dāng)x=4時(shí),20(x4)2+720最大,最大值為720.即每件售價(jià)為14元時(shí),每天所獲利潤最大,最大利潤為720元.思路探究 通過配方的方法,可以求得一個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值或最小值.【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇：1.方程x20.36=0的解是( ) B.0.6 C.±6 D.±0.62.解方程:4x2+8=0的解為( )A.x1=2 x2=2 B. C.x1=4 x2=4 D.此方程無實(shí)根3.關(guān)于x的一元二次方程2mx2x+m2=0有一根為1,則m的值應(yīng)為( )A.1,1 B.1 C.1 D.4.方程(x+1)22=0的根是( )A. B. C. D. 5.將方程5x2=2x

27、+10化為二次項(xiàng)系數(shù)為1的一般形式是( )A. B. C. D.x22x10=06.方程x2a2=(xa)2(a0)的根是( )A.a B.0 C.1或a D.0或a7.已知關(guān)于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m3=0一根為0,另一根不為0,則m的值為( )A.1 B.3 C.1或3 D.以上均不對(duì)8.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是( )A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根 B.方程的根是C.當(dāng)c0時(shí),方程可化為:D.當(dāng)c=0時(shí),9.若x2mx+是一個(gè)完全平方式,則m=( )A.1 B.1 C.±1 D.以上均不對(duì)10.方程(x2)2=(32x)2可化為( )A.x2=3

28、2x B.x2=2x3C.x2=32x或x2=2x3 D.以上均不對(duì)11.對(duì)于二次三項(xiàng)式2x2+4x+5的值,下列敘述正確的是( )A.一定為正數(shù) B.可為正數(shù),也可能為負(fù)數(shù)C.一定為負(fù)數(shù) D.其值的符號(hào)與x值有關(guān)二、填空：12.方程x2=5的解是 ,方程(x1)2=5的解是 ,方程(3x1)2=5的解是 。13. =(x )2 =(x+ )214.若(2x1)2=1m有實(shí)數(shù)解,則m1= 。15.一小球以15米/秒的速度豎直向上彈出,它在空中的高度h(米)與時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系式:h=15t5t2,當(dāng)t= 秒時(shí),小球高度為10米,小球所能達(dá)到的最大高度為 米.16.已知(x2+y22)(x2+

29、y2)=3,則x2+y2= .17.若a2+b2+a2b+=0 ,則=_.18.將方程化成二次項(xiàng)系數(shù)為1的一般形式,則一次項(xiàng)系數(shù)是_,常數(shù)項(xiàng)是_.19.方程(3x1)2=(2x)2的根是_.20.某種手表的成本在兩年內(nèi)以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_.三、解答題:21.解下列方程:5x240=0 (x+1)29=0 (2x+4)216=09(x3)249=0 (3x)2=27 x24x+4=022.把下列方程化為(x+m)2=n的形式.x2+4x=21 t22=2t2x2+3x=1 4y216y=723.你能用配方法解下列方程嗎?試試看:x22=4x x2+x+=03x

30、22=4x 2x24x+1=024.在矩形的場(chǎng)地的中央修建一個(gè)正方形花壇,花壇四周的面積與花壇面積相等,如果場(chǎng)地的長(zhǎng)比花壇的邊長(zhǎng)多6米,場(chǎng)地的寬比花壇多4米,求矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)與寬及正方形花壇的邊長(zhǎng).25.一建筑工地要用木欄圍出一片長(zhǎng)方形的安全地帶,如圖所示,安全區(qū)一邊靠著建筑物,現(xiàn)有木欄長(zhǎng)400米.(1)圍出的安全區(qū)面積能到達(dá)19200平方米嗎?能達(dá)到20000平方米嗎?如果能請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案;如果不能請(qǐng)說明理由.(2)你能設(shè)計(jì)出一種方案,使圍出的安全區(qū)面積最大嗎?與同伴交流一下自己的設(shè)計(jì)方案.26.若方程(2x1)2=a有兩不等的實(shí)數(shù)根,(2x1)2=b有兩相等的實(shí)根，(2x1)2=c 無實(shí)根.

31、試比較a、b、c三數(shù)的大小.27.設(shè)a、b為實(shí)數(shù),求a2+2ab+b24b+5的最小值,并求此時(shí)a與b的值.28.如圖,一個(gè)長(zhǎng)為15米的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的距離為12米,如果 梯子的頂端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑動(dòng)1米嗎?試列出方程解答此問題,并論證前面的結(jié)論.3.3 公式法【重點(diǎn)難點(diǎn)】1能夠推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式。2會(huì)用公式法解簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程?！绢A(yù)習(xí)導(dǎo)引】方華在學(xué)習(xí)了一元二次方程及其解法就思考：一個(gè)一元二次方程是由其各項(xiàng)的系數(shù)確定的，那么它們的解肯定與其系數(shù)有關(guān)系，于是他寫出了二個(gè)一元二次方程:（1）x23x4=0;（2）3x24x+1=0.并分別求出它們

32、的解：方程（1）的解為x1=4,x2=1,方程（2）的解為x1=,x2=1.通過嘗試他發(fā)現(xiàn)：方程（1）中，x1+x2=3=,x1x2=4=;在方程（2）中也有：x1+x2=,x1x2=于是他就猜測(cè):對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1,x2,則，你認(rèn)為方華的對(duì)于一元二次方程兩個(gè)根與方程系數(shù)關(guān)系的猜測(cè)正確嗎？能運(yùn)用前面學(xué)習(xí)過的有關(guān)一元二次方程知識(shí)幫助方華證明嗎？不妨與同伴交流一下。點(diǎn)拔 方華同學(xué)從兩個(gè)特殊的方程猜測(cè)歸納出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，這種思考問題的方法是數(shù)學(xué)中一種常見的方法。至于方華的這種猜想是否正確，通過后面學(xué)習(xí)，大家自然就知道了。【知能互動(dòng)】1求根公式的推導(dǎo)推導(dǎo)求

33、根公式的過程，實(shí)際上就是運(yùn)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的過程。a0 可以把方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)a，得： 移項(xiàng)得： 配方得：即a0 4a2>0 當(dāng)b24ac0時(shí)，兩邊開方得：即 這樣就得到了一元二次方程的求根公式:對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),當(dāng)b24ac0時(shí)，它的根為。2運(yùn)用求根公式解一元二次方程因?yàn)槿魏我粋€(gè)一元二次方程都可以寫成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系數(shù)a,b,c確定，因此求根時(shí)，只需將方程各項(xiàng)的系數(shù)分別代入公式即可求出方程的解。對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程并不是都有實(shí)數(shù)根。因此在運(yùn)用求根公式之前，應(yīng)先求b2

34、4ac，當(dāng)b24ac0時(shí)可繼續(xù)把根求出；當(dāng)b24ac<0時(shí)，由于負(fù)數(shù)沒有平方根，所以方程無解，這時(shí)不必代入公式求解了。運(yùn)用公式解一元二次方程的步驟：（1）將方程化為一元二次方程一般形式。（2）確定a、b、c的值。（3）求出b24ac的值,確定方程是否有實(shí)根.（4）代入求根公式求根。3選擇合適的方法解一元二次方程前面學(xué)習(xí)了用直接開平方法，配方法，公式法解一元二次方程。直接開平方法只能解左邊是含未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的方程;而公式法是由配方法推導(dǎo)出來的，它比配方法簡(jiǎn)單，所以選用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?，首先要看方程是含符合直接開平方法的條件，符合條件的就用直接開平方法來解，其它的時(shí)候用公式

35、法。例如：方程(2x+1)25=0宜用 求解; 方程2x2+5(2x+1)=0 求解.答案:直接開平方法，公式法.【名題探究】例1運(yùn)用求根公式解下列方程：（1）5x2=3x (2)x2+2=0 (3)(y1)(y+3)+5=0 解析 運(yùn)用公式法解一元二次方程應(yīng)先把一元二次方程化為一般形式，正確確定a、b、c的值；計(jì)算出b24ac的值再代入公式求解。（1）中應(yīng)注意到常數(shù)項(xiàng) c=0.解：（1）移項(xiàng)得：5x23x=0, a=5,b=3,c=0, b24ac=(3)24×5×0=9>0.。 , x2=0。(2)這里a=1,b=,c=2 b24ac=（）24×1

36、15;2=0。 。（3）方程化為一般形式為：y2+2y+2=0. a=1,b=2,c=2, b24ac=224×1×2=4<0。此方程無實(shí)根。思路探究 一元二次方程的根可以會(huì)出現(xiàn)三種情況：有兩不等實(shí)根，有兩相等實(shí)根，無實(shí)根。例2選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?（1）4(3x2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0 解析 方程（1）變形為(3x2)2=9,根據(jù)其特點(diǎn)選擇用直接開平方法解。方程無其它這特殊性，故選擇用公式法解。解：（1）將原方程化為(3x2)2=9，兩邊直接開平方得：3x2=±3, 。(2)將原方程整理得：3x2+10x+5=0, a=3,b=1

37、0,c=5, b24ac=1024×3×5=40>0。 。思路探究 結(jié)合不同問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，是煅煉思維靈活性的有效途徑，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是使解答過程簡(jiǎn)便。例3已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)恰當(dāng)方程2x28x+7=0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 .A. B.3 C.6 D.9 解析 解答本題,關(guān)鍵是正確求出方程的兩根,即得直角三角形的兩直角邊,然后利用勾股定理求解.解：a=2,b=8,c=7 b24ac=(8)24×2×7=8>0 斜邊長(zhǎng)為 故選B 思路探究 通過解方程求解是本例的一種解法,在以后的學(xué)習(xí)中,我們還可以運(yùn)用根與

38、系數(shù)的關(guān)系求解.【中考鏈接】例4 先從括號(hào)內(nèi)備選項(xiàng)中選出合適的一項(xiàng),填在橫線上,將題目補(bǔ)充完整后再解答.(1)如果a是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a0,求 的值.(ab a+b ab)(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy0,求 的值.(xy x+y xy 解析 (1)把x=a代入方程x2+bx+a=0中,得到a2+ab+a=0,因?yàn)閍0,所以a+b+1=0,即a+b=1因此可以求出a+b的值;(2)7x2+5y2=12xy可變?yōu)?x212xy+5y2=0,因而可求得x與y之間的關(guān)系,從而能確定求出哪一個(gè)式子的值. 思路探究 留空回填，完善試題，是近年中考試題的創(chuàng)新亮點(diǎn)處。解

39、答這類問題應(yīng)著眼于題設(shè)條件，通過推導(dǎo)分析等，看從中能推出何種結(jié)果。【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、選擇:1方程2x(x3)=5(x3)的根為( )A. B.x=3 C. D.2.若代數(shù)式4x22x5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為( )A.1或 B.1或 C.1或 D.1或3.利用求根公式求的根時(shí),a,b,c的值分別是( )A.5, ,6 B.5,6, C.5,6, D.5,6, 4.方程(x1)(x5)=1的兩個(gè)根等于( )A.x1=5,x21 B.x1=6,x2=2C.x1= D.5.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是( )A.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 B.只有當(dāng)b24ac0時(shí),才有兩

40、實(shí)根C.當(dāng)b24ac<0時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根; D.當(dāng)b24ac=0時(shí),方程無實(shí)根6.如果分式的值為0,則x值為( )A.3或1 B.3 C.1 D.1或37.一個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的偶數(shù),則這個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)分別是( )A.2、4、6 B.4、6、8 C.6、8、10 D.3、4、58.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0,則m的值為( )A. B. C. D.不能求出9.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別是1和2,第三邊的長(zhǎng)為2x25x+3=0的根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是( )A.4 B. C.4或 D.不存在10.已知x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則=b24ac與M=（

41、2ax0+b2）的關(guān)系是( )A.>M B.=M C.<M D.不能確定二、填空：11.把化成ax2+bx+c=0(a0)的形式后,則a= ,b= ,c= .12.當(dāng)x= 時(shí),既是最簡(jiǎn)根式又是同類根式.13.請(qǐng)寫出一個(gè)一元二次方程,使其一根為1,你寫的方程是 .14.若分式的值為0,則x= .15.已知(x2+y2+1)2=4,則x2+y2= .16.方程x2=|x|的根是 .三、解答題:17.解方程,有一位同學(xué)解答如下:解:這里a=,b=,c= b24ac=(請(qǐng)你分析以上解答有無錯(cuò)誤,如有錯(cuò)誤,指出錯(cuò)誤的地方,并寫出正確的結(jié)果.18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1) (2) (3)

42、(y3)218=0 (4)19.一次會(huì)議上,每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握了一次手,有人統(tǒng)計(jì)一共握了210次手,你能根據(jù)上述提供的信息求出參加此次會(huì)議的有多少人嗎?20.要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)豬場(chǎng),為了節(jié)約材料,雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一堵墻,墻長(zhǎng)為a米,另三邊用竹籬笆圍成,如果籬笆長(zhǎng)為35米(1)你能求出雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬嗎?試試看;(2)題中的墻的長(zhǎng)度a對(duì)解題有什么作用.2.4 分解因式法【本節(jié)必學(xué)】1.能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性.2.會(huì)用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程.【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】對(duì)于方程3(x2)2=2x,張

43、明的解法如下:解:方程整理得:3(x2)2=(x2) 方程兩邊同時(shí)除以(x2)得:3(x2)=1 去括號(hào)得:3x6=1 移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得,3x=5 你認(rèn)為張明解方程的過程有錯(cuò)誤嗎?如果有,請(qǐng)指出錯(cuò)在哪一步?并說明錯(cuò)誤的原因.你能解這個(gè)方程嗎?并與同伴交流自己的心得.點(diǎn)拔 張明在解方程的過程中,在方程兩邊同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的代數(shù)式(x2),這樣得到的方程與原方程不一定是同解方程.因?yàn)楹形粗獢?shù)的代數(shù)式的值可能是0,這時(shí)變形的過程就是在方程左右兩邊同時(shí)除以0了,正確的解法應(yīng)是:3(x2)2+(x2)=0,(x2)3(x2)+1=0 (x2)(3x5)=0 x2=0或3x5=0 x1=2,x2

44、=.這也就是本節(jié)學(xué)習(xí)的一元二次方程的一種解法分解因式法.知能互動(dòng)1.因式分解法解一元二次方程的根據(jù)如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0,反過來,如果兩個(gè)因式中有一個(gè)因式為0那么它們之積為0.例如:(2x1)(3x)=0,則2x1=0或3x=0 (27x)(5x3)=0,則 _ 或 _ (答案：27x=0 5x3=0)2.因式分解法解一元二次方程的方法及步驟:解方程或方程組的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的問題,而是需要降次,將二次轉(zhuǎn)化為一次,因式分解法能幫助我們實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化為右邊為0,而左邊為兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的一次因式

45、之積的形式.例如:一元二次方程(2x1)(3x)=0可轉(zhuǎn)化為 , 兩個(gè)一元一次方程.如方程(2x1)(3x)=2化為2x1=1或是錯(cuò)誤的.分解因式法解一元二次方程的步驟為:(1)將方程的右邊化為0;(2)把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積;(3)令每個(gè)因式為0,得到兩個(gè)一元一次方程;(4)解這兩個(gè)一元一次方程得原方程的解.(2x1=0,3x=0)3.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?根據(jù)方程的不同特點(diǎn),選擇合適的方法解方程,可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,效率提高.選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法因式分解法公式法或配方法.配方法是普遍適用的方法,但不夠簡(jiǎn)便,一般不常用.不過對(duì)于二次項(xiàng)

46、系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡(jiǎn)單些.【名題探究】例1.用因式分解法解下列方程:(1)(2x1)2+3(12x)=0 (2)(13x)2=16(2x+3)2 (3)x2+6x7=0 解析 (1)經(jīng)過變形可以用提取公因式法;(2)經(jīng)過變形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程為一般形式,嘗試用十字相乘法.解: (1)原方程變形為：(2x1)23(2x1)=0 (2x1)(2x1)3=0 ， 2x1=0或(2x1)3=0。 x1= x2=2。(2)原方程變形為(13x)24(2x+3)2=0， (13x)+4(2x+3)(13x)4(2x3)=0即(13+5x)

47、(11x+11)=0 x2=1(3)原方程化為（x7）(x+1)=0 x1=7 x2=1思路探究 用因式分解法解一元二次方程,關(guān)鍵是把方程化為左邊為關(guān)于未知數(shù)的一次因式之積,右邊為0的形式.例2:用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)(2x3)2=9(2x+3)2 (2)x28x+6=0(3)(x+2)(x1)=10 (4)2x25x2=0 解析 (1)方程兩邊為完全平方式,可以移項(xiàng)使方程一邊為0,另一邊用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法來解,但運(yùn)用直接開平方法解更簡(jiǎn)便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考慮用公式法解,但此題的二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù),用配方法解更簡(jiǎn)便.

48、(3)不經(jīng)過變形,無”法”可解,先將其化為一般形式,再觀察其特征選擇解法.(4)不宜用直接開平方法,因式分解法,就用公式法求解.解 (1)方程兩邊開平方,得:2x3=±3(2x+3) 2x3=3(2x+3)或2x3=3(2x+3)解這兩個(gè)一元一次方程得,x1=3,x2=。(2)移項(xiàng)得:x28x=6 配方得:x28x+16=6+16 (x4)2=10 x4=±x4=± 或x4= x1= x2= (3)將原方程化為一般形式,得x2+x12=0， (x3)(x+4)=0， x3+0或x+4=0，x1=3或x2=4。(4)將方程化為一般形式,得:2x25x2=0 b24ac=(5)24×2×(2)=41。x= 。思路探究 在解一元二次