Morlet小波分析方法介紹

1、小波分析的要點(diǎn)：1. 目的小波分析是一個(gè)強(qiáng)有力的統(tǒng)計(jì)工具，最早使用在信號(hào)處理與分析領(lǐng)域中，通過(guò)對(duì)聲音、圖像、地震等信號(hào)進(jìn)行降噪、重建、提取，從而確定不同信號(hào)的震動(dòng)周期出現(xiàn)在哪個(gè)時(shí)間或頻域上?，F(xiàn)在廣泛的應(yīng)用于很多領(lǐng)域。在地學(xué)中，各種氣象因子、水文過(guò)程、以及生態(tài)系統(tǒng)與大氣之間的物質(zhì)交換過(guò)程都可以看作是隨時(shí)間有周期性變化的信號(hào)，因此小波分析方法同樣適用于地學(xué)領(lǐng)域，從而對(duì)各種地學(xué)過(guò)程復(fù)雜的時(shí)間格局進(jìn)行分析。如，溫度的日變化周期、年變化周期出現(xiàn)在哪些事件段上，在近100年中，厄爾尼諾-拉尼娜現(xiàn)象的變化周期及其出現(xiàn)的時(shí)間段，等等。2. 方法小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)，并且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特

2、征的能力。小波變換通過(guò)將時(shí)間系列分解到時(shí)間頻率域內(nèi)，從而得出時(shí)間系列的顯著的波動(dòng)模式，即周期變化動(dòng)態(tài)，以及周期變化動(dòng)態(tài)的時(shí)間格局（Torrence and Compo, 1998）。小波（Wavelet），即小區(qū)域的波，是一種特殊的、長(zhǎng)度有限，平均值為零的波形。它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是“小”，二是具有正負(fù)交替的“波動(dòng)性”，即直流分量為零。小波分析是時(shí)間（空間）頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)。小波分析將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波（mother wavelet）函數(shù)經(jīng)過(guò)平移與尺

3、度伸縮得來(lái)的。用這種不規(guī)則的小波函數(shù)可以逼近那些非穩(wěn)態(tài)信號(hào)中尖銳變化的部分，也可以去逼近離散不連續(xù)具有局部特性的信號(hào)，從而更為真實(shí)的反映原信號(hào)在某一時(shí)間尺度上的變化。小波分析這種局部分析的特性使其成為對(duì)非穩(wěn)態(tài)、不連續(xù)時(shí)間序列進(jìn)行量化的一個(gè)有效工具（Stoy et al., 2005）。小波是一個(gè)具有零均值且可以在頻率域與時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行局部化的數(shù)學(xué)函數(shù)（Grinsted et al., 2004）。一個(gè)小波被稱為母小波（mother wavelet），母小波可沿著時(shí)間指數(shù)經(jīng)過(guò)平移與尺度伸縮得到一系列子小波。子小波可以通過(guò)尺度（s，頻率的反函數(shù)）函數(shù)和時(shí)間（n）位置或平移來(lái)描述。利用一系列子小波，一

4、個(gè)信號(hào)可以在不同的時(shí)間尺度上進(jìn)行計(jì)算并顯示出詳細(xì)的特征尺度。拉伸更大的小波窗口，使其寬度更大便可以分析時(shí)間系列中波動(dòng)較大的部分并捕捉大尺度（低頻）事件的特征。相反，壓縮較小的窗口將包含小尺度（高頻）的事件信息。當(dāng)信號(hào)被子小波相乘，被s與n唯一的表達(dá)，我們可以計(jì)算出信號(hào)在時(shí)間頻率域一個(gè)具體位置的系數(shù)。如果信號(hào)在時(shí)間n上的譜成分可以與小波s比較，那么計(jì)算的小波系數(shù)具有相對(duì)較大的值。在其它n與s的組合（如其它的子小波）上都進(jìn)行這樣的計(jì)算，那么將會(huì)產(chǎn)生一系列系數(shù)（小波變化）來(lái)表達(dá)信號(hào)在時(shí)間頻率域內(nèi)的分解。通過(guò)這樣的變化便可得到時(shí)間系列的波動(dòng)模式（周期變化模式）以及這些模式隨時(shí)間的變化（Furon et

5、 al., 2008; Jevrejeva et al., 2003）。小波變化可以分為連續(xù)小波變化（the Continuous Wavelet Transform, CWT）與離散小波變換（Discrete Wavelet Transform, DWT）。離散小波變化DWT是數(shù)據(jù)的緊湊表示，長(zhǎng)用于降噪與數(shù)據(jù)壓縮。連續(xù)小波變化CWT更適合于信號(hào)特征的提?。℅rinsted et al., 2004）。CWT作為時(shí)間系列間歇式波動(dòng)特征提取的工具被廣泛的應(yīng)用的地球物理學(xué)研究中（Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。（1）連續(xù)小波變換CWT可以將具有

6、等時(shí)間步長(zhǎng)t的離散時(shí)間系列xn (n=1, N)的連續(xù)小波變換定義為小波函數(shù)0尺度化以及轉(zhuǎn)換下的xn的卷積： （1）式中*表示共軛復(fù)數(shù)，N是時(shí)間系列的總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，(t/s)1/2是一個(gè)用于小波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化的因子從而使得小波函數(shù)在每個(gè)小波尺度s上具有單位能量。通過(guò)轉(zhuǎn)換小波尺度s并沿著時(shí)間指數(shù)n進(jìn)行局部化，最終可得到一幅展示時(shí)間系列在某一尺度上波動(dòng)特征及其隨時(shí)間變化的圖譜，即小波功率譜（Torrence and Compo, 1998; Torrence and Webster, 1999; Grinsted et al., 2004）。對(duì)一個(gè)時(shí)間系列進(jìn)行小波轉(zhuǎn)換時(shí)，母小波的選擇顯得尤為重要，F(xiàn)ar

7、ge（1992）曾經(jīng)討論過(guò)母小波選擇時(shí)需要考慮的因素，例如正交與非正交、負(fù)值與實(shí)值、母小波的寬度與圖形等等。正交小波函數(shù)一般用于離散小波變換，非正交小波函數(shù)即可用于離散小波變換也可用于連續(xù)小波變換（Torrence and Compo, 1998）。通常在對(duì)時(shí)間系列進(jìn)行分析時(shí)，希望能夠得到平滑連續(xù)的小波振幅，因此非正交小波函數(shù)較為合適。此外，要得到時(shí)間系列振幅和相位兩方面的信息，就要選擇復(fù)值小波，因?yàn)閺?fù)值小波具有虛部，可以對(duì)相位進(jìn)行很好的表達(dá)（Torrence and Compo, 1998）。Morlet小波不但具有非正交性而且還是由Gaussian調(diào)節(jié)的指數(shù)復(fù)值小波。 （2）式中t為時(shí)間，

8、0是無(wú)量綱頻率。當(dāng)0=6，小波尺度s與傅里葉周期（period）基本相等（, = 1.03s）（Torrence and Webster, 1999），所以尺度項(xiàng)與周期項(xiàng)可以相互替代。由此可見(jiàn)，Morlet小波在時(shí)間與頻率的局部化之間有著很好的平衡（Grinsted et al., 2004）。此外，Morlet小波中還包含著更多的振動(dòng)信息，小波功率可以將正、負(fù)峰值包含在一個(gè)寬峰之中（Torrence and Compo, 1998）。（2）小波功率譜為使計(jì)算更為快捷，公式5-1的卷積在傅里葉域內(nèi)執(zhí)行（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 200

9、4）。定義為小波功率譜(wavelet power spectrum)，該功率譜表達(dá)了時(shí)間系列在給定小波尺度和時(shí)間域內(nèi)的波動(dòng)量級(jí)（Lafrenière and Sharp, 2003）。由于我們采用的Morlet母小波為復(fù)值小波，因此也為復(fù)數(shù)，其復(fù)值部分可以解釋為局部相位（Torrence and Compo, 1998）。將小波功率譜在某一周期上進(jìn)行時(shí)間平均，我們可以得到小波全譜（global wavelet spectrum）， （3）小波全譜能夠表明時(shí)間系列真實(shí)功率譜的無(wú)偏、一致估計(jì)（Torrence and Compo, 1998）。由于小波全譜可以顯示出背景譜量度，所以局部

10、小波譜的峰值可以得到驗(yàn)證。因?yàn)樵撎匦?，通過(guò)小波全譜圖中可以清晰的辨別時(shí)間系列的周期波動(dòng)特征及其強(qiáng)度。（3）小波功率譜邊緣效應(yīng)及影響錐由于小波變換假設(shè)數(shù)據(jù)是循環(huán)的，所以當(dāng)我們處理有限長(zhǎng)度的時(shí)間系列時(shí)，在小波功率譜中會(huì)出現(xiàn)邊緣效應(yīng)，即在功率譜的起始及末端部分出現(xiàn)誤差。由于該原因，需要我們?cè)跁r(shí)間系列的末尾補(bǔ)零從而使得分析的時(shí)間系列的總長(zhǎng)度N大于2m而小于2m+1。但是，當(dāng)我們采取這樣的措施時(shí)會(huì)在小波功率圖譜邊緣引起端點(diǎn)不連續(xù)以及譜振幅下降的現(xiàn)象。在這種情況下，需要明確一個(gè)概念，即影響錐（Cone of Influence, COI），影響錐COI表示小波譜區(qū)域以及相應(yīng)的邊緣效應(yīng)。在COI的邊緣小波譜

11、值會(huì)下降e-2（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。（4）小波功率譜的顯著性檢驗(yàn)小波功率譜的統(tǒng)計(jì)顯著性可以對(duì)照一個(gè)原假設(shè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，該原假設(shè)為假設(shè)信號(hào)由一個(gè)給定背景功率譜（Pk）的穩(wěn)定過(guò)程產(chǎn)生，通常背景功率譜為白噪聲或紅噪聲（Torrence and Compo, 1998; Lafrenière and Sharp, 2003）。由于許多地球物理時(shí)間系列具有紅噪聲特征（即方差隨著尺度的增加或頻率的下降而增加），所以常采用紅噪聲作為背景譜對(duì)小波譜進(jìn)行檢驗(yàn)。紅噪聲過(guò)程可以很好的由一階自回

12、歸過(guò)程（AR1）來(lái)模擬（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004）。一個(gè)由lag-1自相關(guān)處理的AR1的傅里葉功率譜可以定義為： （4）式中k為傅里葉頻率指數(shù)。通常在研究中，每個(gè)尺度上用COI以外的值以5%的顯著水平進(jìn)行估計(jì)。（5）尺度選擇在進(jìn)行小波變換時(shí)，還需要選擇一系列尺度s。本研究使用非正交小波變換，我們可以使用任意一組的尺度來(lái)構(gòu)建較完整的圖像。一系列尺度可以用2的分?jǐn)?shù)冪來(lái)表達(dá)：，j = 0, 1, J （5） （6）式中，s0為可分辨的最小尺度，J為確定的最大尺度。s0應(yīng)該被選擇恰當(dāng)以便使相等的傅里葉周期近似于2t。 一個(gè)足夠小的j

13、的選擇依賴于小波方程譜空間的寬度。3. 具體步驟（1） 數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)時(shí)間系列必須是連續(xù)等時(shí)間步長(zhǎng)。進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（2） 母小波選擇可選擇Mexican hat 小波，或Morlet小波。通常在對(duì)時(shí)間系列進(jìn)行分析時(shí)，希望能夠得到平滑連續(xù)的小波振幅，因此非正交小波函數(shù)較為合適。此外，要得到時(shí)間系列振幅和相位兩方面的信息，就要選擇復(fù)值小波，因?yàn)閺?fù)值小波具有虛部，可以對(duì)相位進(jìn)行很好的表達(dá)（Torrence and Compo, 1998）。Morlet小波不但具有非正交性而且還是由Gaussian調(diào)節(jié)的指數(shù)復(fù)值小波。（3） 尺度選擇如時(shí)間序列為47年的年降水?dāng)?shù)據(jù)，時(shí)間系列長(zhǎng)度N=47，為了減小功率譜

14、的邊緣效應(yīng)，在進(jìn)行交互小波變換時(shí)選擇26個(gè)數(shù)據(jù)。時(shí)間步長(zhǎng)dt=1，即一年一個(gè)數(shù)據(jù)。j可選擇0.125。（4） 顯著性檢驗(yàn)由于許多地球物理時(shí)間系列具有紅噪聲特征（即方差隨著尺度的增加或頻率的下降而增加），所以常采用紅噪聲作為背景譜對(duì)小波譜進(jìn)行檢驗(yàn)（在程序中l(wèi)ag1=0.72）。在計(jì)算中，每個(gè)尺度上用COI以外的值以5%的顯著水平進(jìn)行估計(jì)。參考文獻(xiàn)（1） Farge M. Wavelet transforms and their applications to turbulence. Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. 24: 395-457.（2） F

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