基本不等式教案

1、3.4基本不等式宿州市泗縣第二中學(xué) 周樹三維目標(biāo)知識(shí)與技能：1.掌握基本不等式，（a>0,b>0）； 2.能利用基本不等式，（a>0,b>0）求簡(jiǎn)單的最大值與最小值。方法與過程：1.通過多種途徑得到基本不等式，（a>0,b>0）提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和分析推理能力。 2.通過利用基本不等式，（a>0,b>0）求最大值與最小值提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀： 1.在數(shù)形結(jié)合過程中，由“形”的不等關(guān)系，抽象出“數(shù)”的不等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系、變化的眼光觀察事物； 2.通過引例對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感。教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)

2、合思想理解基本不等式，（a>0,b>0），并用分析法證明。教學(xué)難點(diǎn)：利用基本不等式，（a>0,b>0）求最值。課型：新授課教具準(zhǔn)備：多媒體。教學(xué)過程一、新課引入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”是詩人蘇軾的名句。所寫的是廬山的景色。廬山未變而從不同的角度觀察可以得到不同的感受。今天，我們就用蘇軾看廬山的方法，多角度來研究基本不等式，下面請(qǐng)大家討論導(dǎo)學(xué)案的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)其中的問題。設(shè)計(jì)意圖：從詩句所反映的景色入手，讓學(xué)生明白本節(jié)課研究問題的方法。師生互動(dòng)： 學(xué)生討論導(dǎo)學(xué)案的內(nèi)容，老師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生導(dǎo)學(xué)案中存在的問題，便于點(diǎn)評(píng)。二、探究新課問題1 如圖1是在北京召開的第24屆數(shù)

3、學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。你能從中找出一些相等或不等關(guān)系嗎？圖中4個(gè)直角三角形面積相等，且其和不大于大正方形的面積，當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形時(shí)，它們相等。由圖2知：.設(shè)計(jì)意圖：本問題讓學(xué)生從圖形中抽象出不等關(guān)系，提高學(xué)生抽象概括能力和數(shù)形結(jié)合能力。師生互動(dòng)：學(xué)生展示，老師給予引導(dǎo)，如圖中4個(gè)直角三角形面積和與大正方形面積之間大小關(guān)系是怎樣的？在老師引導(dǎo)下由學(xué)生總結(jié)出不等式.并由國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國召開，說明我國國力強(qiáng)盛對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。問題2.說說問題1中不等式所含字母的取值范圍，等號(hào)何時(shí)成立？設(shè)計(jì)意圖：本問題加深學(xué)生對(duì)不等式的理解，強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件。師生互動(dòng)：學(xué)生展示，老師點(diǎn)撥。問題3.

4、證明 證: 設(shè)計(jì)意圖：“有數(shù)無形不直觀，有形無數(shù)難入微”，通過證明讓學(xué)生對(duì)這個(gè)不等式的理解由感性上升到理性。師生互動(dòng)：學(xué)生展示，老師引導(dǎo)學(xué)生使用多種方法證明。問題4.不等式中，當(dāng)a>0,b>o時(shí)把式中的a換成，b換成你可以得到什么結(jié)果？并給出證明過程。 又可以寫成，（a>0,b>0） 證：要證即證即證即證又顯然成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。設(shè)計(jì)意圖：由不等式得出基本不等式，（a>0,b>0），提高學(xué)生歸納類比能力。師生互動(dòng)：學(xué)生展示，老師強(qiáng)調(diào)本問題是從數(shù)的角度對(duì)基本不等式，（a>0,b>0）進(jìn)行了探討，其實(shí)式中a=0或b=0時(shí)不等式也成立，但我們不

5、研究。問題5.如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD.DC和圓的半徑能用a,b表示嗎？你能利用本圖形得出式的幾何解釋嗎？可使用相似形ACDBCD,而CD=，由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為，（a>0,b>0）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)圓心與C點(diǎn)重合。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生再次從圖形角度認(rèn)識(shí)不等式，通過“形”中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成“數(shù)”間的不等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)系、變化的眼光看待事物。師生互動(dòng)：學(xué)生展示，老師強(qiáng)調(diào)叫正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，可敘述為：兩正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)或兩正數(shù)

6、的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。在此老師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)a>0,b>0,等號(hào)成立的條件是a=b.設(shè)計(jì)問題，當(dāng)正數(shù)a、b滿足什么條件時(shí)有最大值？正數(shù)a、b滿足什么條件時(shí)有最小值？同時(shí)加上三個(gè)例子：1、求的最小值，2、求的最小值3、求的最小值。通過三個(gè)例子引導(dǎo)學(xué)生理解用基本不等式求最值時(shí)的注意事項(xiàng)。三、例題分析：例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短、最短的籬笆是多少？ （2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大、最大面積是多少？解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym，則xy=100,籬笆長(zhǎng)

7、為2（x+y）m. 由可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10.因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬都是10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40m。設(shè)計(jì)意圖：老師指出本題可設(shè)為二元，也可以設(shè)為一元，并借助本問引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：x,y為正數(shù)，xy為定值，x+y有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)。 （2）設(shè)矩形菜園長(zhǎng)為xm,寬為ym,則2（x+y）=36,x+y=18,矩形菜園面積為xy.由 可得當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即x=y=9時(shí)等號(hào)成立。所以矩形長(zhǎng)、寬都是9m時(shí)面積最大，最大面積是81.設(shè)計(jì)意圖：本題也可設(shè)成一元，用配方法求最值，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：x,y為正數(shù)，x+y為定值，xy有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立。師生互動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生分析第（1）問，第（2）問分析留給學(xué)生。老師強(qiáng)調(diào)解題步驟。四、課堂練習(xí)1.x>0,當(dāng)x取什么值時(shí)，的值最?。孔钚≈凳嵌嗌伲?.已知直角三角形面積等于50，兩條直角邊各為多少時(shí)，兩直角邊和最?。孔钚≈凳嵌嗌?？3.用20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？4.做一個(gè)體積為32，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒，底面長(zhǎng)、寬取什么值時(shí)用紙最少？五、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了基本不等式及該基本