二次根式考點(diǎn)易錯(cuò)整理

1、第12章二次根式考點(diǎn)+易錯(cuò)整理知識(shí)梳理重難點(diǎn)分類解析考點(diǎn)1 二次根式的概念和性質(zhì)【考點(diǎn)解讀】一般地，式子叫做二次根式，叫做被開方數(shù)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).這是中考重要考點(diǎn)之一.二次根式的性質(zhì)是二次根式化簡(jiǎn)計(jì)算的依據(jù)，其性質(zhì)有兩個(gè):一是當(dāng)時(shí)，;二是.在中考中多以計(jì)算的形式出現(xiàn)在選擇題或填空題中.例1 (2018蘇州)若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是( )分析:由題意，得，解得.在數(shù)軸上表示是在點(diǎn)-2處取向右的方向，-2處用實(shí)心點(diǎn)圓.答案:D【規(guī)律技法】要使一個(gè)代數(shù)式有意義，在確定字母的取值范圍時(shí)，若含有分式，則分母不為0;若含有二次根式，則被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).【反饋練習(xí)】1.若有

2、意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 點(diǎn)撥:二次根式的被開方數(shù)大于或等于0，且分母不為零.2.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是( )A. B. C. 3 D.-3點(diǎn)撥:由數(shù)軸可知與的符號(hào)，從而進(jìn)行化簡(jiǎn).考點(diǎn)2 二次根式的乘除【考點(diǎn)解讀】二次根式的乘除主要運(yùn)算公式有，這兩個(gè)公式是將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算的依據(jù)，二次根式化簡(jiǎn)后要求化為最簡(jiǎn)二次根式，即被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，分母中不含根式.中考中本知識(shí)點(diǎn)常以選擇題形式出現(xiàn).例2 下列式子為最簡(jiǎn)二次根式的是( )A. B. C. D. 分析:A.被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得

3、盡方的因數(shù)或因式，故A符合題意;B.被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故B不符合題意;C.被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故C不符合題意;D。被開方數(shù)含分母，故D不符合題意.答案:A【規(guī)律技法】最簡(jiǎn)二次根式必須滿足三個(gè)條件:被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式;被開方數(shù)中不含分母;分母中不含有根號(hào).【反饋練習(xí)】3. (2018鎮(zhèn)江) = .點(diǎn)撥:利用二次根式的乘法法則可得.4.下列各式中，錯(cuò)誤的是( )A. B. C. D. 點(diǎn)撥:利用二次根式的性質(zhì)和乘除法則求解.考點(diǎn)3 二次根式的加減【考點(diǎn)解讀】二次根式的加減運(yùn)算的本質(zhì)即為二次根式的化簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式.進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算時(shí)，整式運(yùn)算的法則、

4、公式和運(yùn)算律仍然適用.中考主要以簡(jiǎn)單的計(jì)算題為主，屬于簡(jiǎn)單題型.例3 計(jì)算: = .分析:原式=.答案: 【規(guī)律技法】二次根式的混合運(yùn)算，先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，最后合并同類二次根式.【反饋練習(xí)】5.計(jì)算:(1) ; (2) .點(diǎn)撥:利用二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算法則求解.6.計(jì)算:(1) ; (2) .點(diǎn)撥:利用二次根式的運(yùn)算法則求解.考點(diǎn)4 二次根式的化簡(jiǎn)求值【考點(diǎn)解讀】二次根式的化簡(jiǎn)求值，主要利用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則.中考要求較低，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).例4 已知，則的值為( )A.2 B. 4 C. 5 D. 7分析: 答案:B【規(guī)律技法】

5、二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.【反饋練習(xí)】7.如果為有理數(shù))，那么等于( ) A. B. 8 C. D. 10點(diǎn)撥:由二次根式的乘法運(yùn)算求解.8.已知，求代數(shù)式的值.點(diǎn)撥:先分別對(duì)分母有理化，再代入求解.考點(diǎn)5 二次根式的應(yīng)用【考點(diǎn)解讀】二次根式的應(yīng)用比較廣泛，有關(guān)數(shù)學(xué)類計(jì)算均可涉及，應(yīng)用過程主要體現(xiàn)二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算過程，難度比較低，屬于簡(jiǎn)單的計(jì)算題.例5 已知的兩邊長(zhǎng)和分別為2和，且第三邊上的高等于，則的面積是( )A. B. 2 C. 或2 D.不能確定分析:由題意，得.所以.如圖，;如圖, 的面積是2或.答案:C【規(guī)律技法】二次根式的應(yīng)用是初中階段數(shù)

6、學(xué)重要的計(jì)算題型之一，常滲透于勻股定理計(jì)算、面積計(jì)算和化簡(jiǎn)求值題中，計(jì)算的主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì).【反饋練習(xí)】9. (2018無錫模擬)現(xiàn)將某一長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)增加cm，寬增加cm，就成為一個(gè)面積為128 cm2的正方形紙片，則原來長(zhǎng)方形紙片的面積是( ) A. 18 cm2 B. 20 cm2 C. 36 cm2 D. 48 cm2點(diǎn)撥:由正方形紙片的面積求得正方形紙片的邊長(zhǎng)，再通過二次根式的加減運(yùn)算，求出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而求出長(zhǎng)方形紙片的面積.10. (2018威海)如圖，將矩形 (紙片)折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，為折痕;點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，為折痕，已知，求的長(zhǎng).點(diǎn)撥:由折疊的性質(zhì)，得

7、折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.易錯(cuò)題辨析易錯(cuò)點(diǎn)1 的化簡(jiǎn)忽視的范圍例1 化簡(jiǎn): .錯(cuò)誤解答: .錯(cuò)因分析:此題錯(cuò)解的原因是忽略了的前提條件是，即沒有考慮的取值對(duì)的符號(hào)的影響.正確解答: =.易錯(cuò)辨析:在對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，由于的取值為任意實(shí)數(shù)，先得到，再根據(jù)的取值情況進(jìn)行討論，而不能誤認(rèn)為.易錯(cuò)點(diǎn)2 運(yùn)算順序不正確例2 計(jì)算:(1) ；(2) ;(3).錯(cuò)誤解答:(1) .(2) .(3) .錯(cuò)因分析:本題錯(cuò)在沒有正確掌握二次根式混合運(yùn)算的順序.正確解答:(1). (2) . (3) .易錯(cuò)辨析:二次根式混合運(yùn)算的順序與有理數(shù)混合運(yùn)算的順序相同，都是先乘方，再乘除，最后

8、加減，有括號(hào)則先算括號(hào)內(nèi)的.【反饋練習(xí)】1.化簡(jiǎn):(1) ； (2).點(diǎn)撥:不能忽視算術(shù)平方根的非負(fù)性2.計(jì)算: (1) ; (2) .點(diǎn)撥:利用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)看清運(yùn)算順序.探究與應(yīng)用探究1 整體代換求值例1 已知，求的值.點(diǎn)撥:由求值式變形: ，需先將分母有理化，再求出的值，然后整體代入就可以計(jì)算了.解答:因?yàn)?，所?所以.【規(guī)律提示】先分母有理化，再代入計(jì)算即可.【舉一反三】1.已知，求代數(shù)式的值.探究2 值的估算例2 已知實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值.點(diǎn)撥:對(duì)于實(shí)數(shù)，可寫為，其中表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分，且，如.由此知識(shí)先確定的整數(shù)部分和小數(shù)部分，再代入求值.解答:

9、由題意，得.因?yàn)椋?，所以整部分，即，所以小?shù)部分.所以.【規(guī)律提示】先分別表示出的值，再代入求值.例3 不用計(jì)算器，試比較和的大小.點(diǎn)撥: 與互為倒數(shù)，與為倒數(shù)，通過變形，使之成為同分子的分?jǐn)?shù)相比較.解答:方法一:因?yàn)?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所? 方法二:(作差比較)因?yàn)椋?，所以，所?【規(guī)律提示】“數(shù)感”是課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)，實(shí)數(shù)作為二次根式運(yùn)算的一部分內(nèi)容，在培養(yǎng)運(yùn)算能力中成為一個(gè)重要的載體.【舉一反三】2. (1)化簡(jiǎn):； (2)設(shè)為的小數(shù)部分，為的小數(shù)部分，求的值.3.公元三世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式得到的近似值.他的算法是:先看成，由近似公式得到；再看成了，由近似公式得到，依此算法，所得的近似值會(huì)越來越精確.當(dāng)取得近似值時(shí)，試確定近似公式中的與的值參考答案知