自然之謎---斐氏的幽靈

1、2.4 斐氏的幽靈斐波納契在計算之書(1202)中提出如下問題：“一對兔子，出生后第三個月可以繁殖出一對小兔子。問一對兔子一年中可繁殖出多少對兔子？”如果時間不限于一年，這個問題導(dǎo)致如下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，今稱斐波納契數(shù)列。它有這樣的特點：從第三項開始，每一項都是它前面兩項的和，即其通項公式為斐波納契數(shù)列有許多性質(zhì)，如 1° ； 2° ；3° 。 斐波納契 兔子問題對于斐波納契而言，兔子問題不過是一個算術(shù)問題而已，他萬萬不會想到，后人會發(fā)現(xiàn)該問題所導(dǎo)致的數(shù)列竟如此有用。自然界中一些植物的花、葉包含著這個數(shù)列。向日葵上

2、的方向相反的兩族等角螺線的數(shù)目是斐波納契數(shù)列中的兩個相鄰項通常逆時針方向21條，順時針方向34條，或逆時針方向34條，逆順時針方向55條，更大的向日葵的螺線數(shù)則有89和144，甚至144和233。 2134型向日葵 3455型向日葵 5589型向日葵 89144型向日葵雛菊花蕊的排列也成方向相反的兩族等角螺線形，大部份雛菊的逆時針方向螺線數(shù)和順順時針方向螺線數(shù)是21和34；松果和菠蘿的鱗片也有類似的規(guī)律：前者的兩族螺線數(shù)目分別是5和8；后者的螺線數(shù)目分別是8和13，都是斐波納契數(shù)列的相鄰兩項。很多花的瓣數(shù)恰為斐波納契數(shù)列的某一項。如： 馬蹄蓮花（1瓣） 大戟屬（2瓣） 延齡草（3瓣） 耬斗菜（

3、5瓣） 毛茛科（5瓣） 報春花（5瓣） 翠雀（5瓣） 大波斯菊（8瓣） 血根草（8瓣） 珍珠菊（13瓣） 金光菊（13瓣） 金盞花（13瓣） 大濱菊（21瓣） 菊花（34瓣）在植物學(xué)上，一種植物的葉子在莖上的排列特征叫葉序。莖上兩片相鄰葉子之間的角度稱為“趨異”（divergence），它刻畫了植物的特征。從選定的某第一片葉子開始，往上作經(jīng)過各片葉子的螺旋線，直到與選定葉子同在一條直線上的那片葉子為止。設(shè)p為螺旋線轉(zhuǎn)過的周數(shù)，q為螺旋線經(jīng)過的葉片數(shù)（不包括第一片）。那么分?jǐn)?shù)p/q就刻畫了葉的趨異性。令人驚奇的是，許多植物的p和q都是斐波納契數(shù)！如：植 物pqp/q谷類、蘆葦、竹121/2薹屬植

4、物（sedges）131/3果樹（如蘋果樹）252/5車前草（plantains）383/8韭蔥（leeks）5135/13 葉序 斐波納契型樹木 利用一點分?jǐn)?shù)知識，就能知道，所有這樣的分?jǐn)?shù)都安分守己地介于1/3和1/2之間，不敢越雷池一步。也就是說，在螺旋線走過的一周內(nèi)，莖上的葉子決不會超過三片。明媚的陽光、滋潤的雨露、清新的空氣：葉子大家庭中的每一成員都能公平地、充分地享受自然的這些“福利”，我們?nèi)祟愐苍S只能望其項背而已。如果你再觀察一些樹木，從根部往上的分枝情況恰恰符合斐波納契數(shù)列的模式。讓我把目光轉(zhuǎn)向動物界。我們知道，雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，而受了精的卵只能孵化出雌蜂蜂王或工蜂來

5、。因此，每一只雄蜂都只有母親而沒有父親，根據(jù)這一事實，我們可以繪出雄蜂的譜系：每一只雄峰的上一代、再上一代，各代雄蜂、雌蜂、以及雌雄蜂總數(shù)均構(gòu)成斐波納契數(shù)列！雄蜂譜系 滿足斐波納契數(shù)列性質(zhì)、但最初兩項不是1、1的數(shù)列（亦稱盧卡斯數(shù)列）也有著奇妙的應(yīng)用。天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，日、月食每隔6、41、47、88、135、223、358年重復(fù)出現(xiàn)某種相同的模式。請注意，這些年數(shù)構(gòu)成了盧卡斯數(shù)列！斐波納契數(shù)列揭示了自然界中的增長模式。意大利藝術(shù)家Mario Merz（1925）可謂三十年“情系”斐波納契數(shù)列。他把這個數(shù)列用于裝飾法國巴黎Salpetriere的圣路易斯教堂，意大利圖靈國家電影博物館大樓穹頂（19

6、84）、德國烏納國際光藝術(shù)中心、芬蘭Turku一家核電廠的煙囪（1994）。 圖靈國家電影博物館 Turku核電廠 德國烏納國際光藝術(shù)中心20世紀(jì)60年代，數(shù)學(xué)家們對斐波納契數(shù)列和有關(guān)現(xiàn)象的興趣達到了一個高峰，不但成立了斐波納契學(xué)會，而且還創(chuàng)辦了斐波納契季刊，專門發(fā)表與斐波納契數(shù)列相關(guān)的研究成果。只要你的心中有數(shù)，隨處可見斐波納契數(shù)列：它在姹紫嫣紅的花叢里，它在葳蕤蔥蘢的草木間，它在一個八度音之間鋼琴琴鍵上，它在羅馬詩人韋吉爾（Vergil）的作品中，它還在19世紀(jì)風(fēng)行一時的拚圖“魔術(shù)”里！如下圖，將邊長為8的正方形分割為四塊，重新拼合成邊長為5和13的矩形。由此得到64=65！你能解釋這個謬論嗎？ 不妨再試試：將邊長為8+13的正方形分割為四塊，拼成邊長為13和13+21的長方形；將邊長為21+34的正方形分割為四塊，拼成邊長為34和34+55的長方形；將邊長為55+89的正方形分割為四塊，拼成邊長為8