第三章 二維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 二維隨機(jī)變量及其分布2009考試內(nèi)容多維隨機(jī)變量及其分布 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性 常用二維隨機(jī)變量的分布兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布2009考試要求1 理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。2 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件。3 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布N（的概率密度

2、，理解其中參數(shù)的概率意義。4. 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。本章構(gòu)架 本章的核心內(nèi)容是離散3分布（聯(lián)合、邊緣和條件）；連續(xù)3密度（聯(lián)合、邊緣和 條件）；均勻與正態(tài)。介紹了作者原創(chuàng)的3個(gè)秘技（直角分割法、平移法和旋轉(zhuǎn)法） 求分布問題。本章是教育部關(guān)于概率論大題命題的重點(diǎn)。 一、二維隨機(jī)變量（向量）的分布函數(shù)1.1 二維隨機(jī)變量（向量）的分布函數(shù)的一般定義是二維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)和，稱 為的分布函數(shù)，又稱聯(lián)合分布函數(shù)。具有一維隨機(jī)變量分布類似的性質(zhì)。 ； 對(duì)和都是單調(diào)非減的，如； 對(duì)和都是右連續(xù)； 幾何意義：表示在的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)在左側(cè)和下方的無窮矩

3、形內(nèi)的概率。對(duì)有限矩形域有：1.2 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律與條件分布律 聯(lián)合分布律設(shè)的一切可能取值為，且取各對(duì)可能值的概率為 ， 則稱為聯(lián)合分布律。1.2.2 邊緣分布律設(shè)事件，根據(jù)全概率公式有所以我們定義： 及 分別稱為，的邊緣分布律評(píng) 注 已知聯(lián)合分布，可求出全部邊緣分布，反之不然。如已知 反之則卻確定不了，還必須另給條件。【例1】根據(jù)下表求 及 和。XY12310.10.302000.230.10.10400.20解： （邊緣分布）； （邊緣分布）。1.2.3 條件分布律 =1,2【例2】 已知的聯(lián)合分布律表，求條件下的分布律。XY12341203001解：先求出所有

4、的邊緣分布，如上表，于是12341.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣概率密度與條件概率密度1.3.1 聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度連續(xù)型聯(lián)合分布函數(shù)：區(qū)域按照陳氏直角分割法確定。且有 聯(lián)合概率密度: 1.3.2 邊緣分布的概率密度評(píng) 注 二維連續(xù)型的兩個(gè)分量還是連續(xù)型，但兩個(gè)分量都是連續(xù)型的隨機(jī)變量的二維隨機(jī)變量卻不一定是連續(xù)型，即可能成為既非連續(xù)型，又非離散型?！纠?】已知二維隨機(jī)變量，求邊緣分布概率密度。 解：由于 令 同理，可見二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然是正態(tài)分布。1.3.3 條件概率密度 證明：同理： 【例4】 設(shè)，求。解： 因?yàn)?， 又， 可見正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然是

5、正態(tài)分布。評(píng) 注 一般地 而且，從上式可以看出，當(dāng)，即獨(dú)立或不相關(guān)時(shí)，兩個(gè)正態(tài)邊緣分布和條件分布相同。評(píng) 注 如何寫出條件概率密度、條件分布函數(shù)和條件分布率中變量的范圍是一個(gè)重點(diǎn)。 是的條件下隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，是在的條件下的函數(shù)。因此，書寫條件概率密度時(shí)，應(yīng)先書寫的范圍作為大前提，再書寫用表示的的范圍作為概率密度函數(shù)的定義域，表明此函數(shù)是的函數(shù)。的范圍不能含有，從聯(lián)合概率密度直接得到；而對(duì)應(yīng)得定義域需使用分割法來確定。重要例題：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求。解：繪出取值范圍示意圖。 1.4 三分三密與隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 二元分布有聯(lián)合、邊緣和條件分布律形式共3種分布函數(shù)和3種密度函數(shù)，簡(jiǎn)

6、稱：3分3密。 一般型： 任意的聯(lián)合分布函數(shù)滿足時(shí)，稱相互獨(dú)立。 注意，可以證明，這個(gè)定義與前面的用事件的概率來定義事件之間的獨(dú)立性是完全等價(jià)的。 二維離散型： 相互獨(dú)立的充要條件是 二維連續(xù)型： 相互獨(dú)立的充要條件是 二維連續(xù)密度函數(shù)具有下列重要結(jié)論：如果在規(guī)則區(qū)域，如矩形區(qū)間等，具有分離變量形式，即，則一定相互獨(dú)立。 如中就一定獨(dú)立。 如，存在不規(guī)則區(qū)間，故不獨(dú)立。如果上述兩個(gè)條件規(guī)則區(qū)域或分離變量形式一個(gè)都不滿足，則一般不獨(dú)立。注意 二維正態(tài)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件是 相關(guān)系數(shù)，即不相關(guān)。 如果，且相互獨(dú)立，則 設(shè)隨機(jī)向量和及滿足 則稱與相互獨(dú)立；此時(shí)， 與必相互獨(dú)立；并且，任意函數(shù)

7、分布與也相互獨(dú)立， 如隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量的函數(shù)與必相互獨(dú)立，但 與卻不一定獨(dú)立。 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合分布函數(shù)為，則 相互獨(dú)立，如的聯(lián)合密度函數(shù)為 ，則 形象記憶掌握法： 這個(gè)公式特別有規(guī)律，在形式上，只要從中解出代換 中的， 或者從中解出代換中的即可。具體求法如下： 4類可加性分布（其余分布不可加） 相互獨(dú)立，則 相互獨(dú)立， 則 但泊松分布不存在線性性，即不再是泊松分布。 獨(dú)立，則 如果不獨(dú)立，則 相互獨(dú)立，則 模球模型的獨(dú)立性質(zhì) 在有若干個(gè)紅球和黑球的箱中逐次隨機(jī)取一球，令，則不管放回與否，和同分布；但放回抽樣時(shí)和獨(dú)立，不放回抽樣時(shí)和不獨(dú)立。1.5離散型與連續(xù)型分布函數(shù)

8、的關(guān)系證明: 1.6 連續(xù)型分布的概率密度、邊緣密度和條件密度函數(shù)的關(guān)系 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布唯一地確定兩個(gè)邊緣分布、條件分布；但反之不然。若獨(dú)立，由兩個(gè)邊緣分布可以確定聯(lián)合分布；若不獨(dú)立，則由一個(gè)邊緣分布再加上一個(gè)對(duì)應(yīng)的條件分布才能確定聯(lián)合分布（參看上述乘法公式）。二、 2大二維連續(xù)型分布函數(shù)（其它的多維分布函數(shù)不是考點(diǎn)）1 二維均勻分布 評(píng) 注 設(shè)服從非矩形區(qū)域、圓形區(qū)域等上的均勻分布，則兩個(gè)邊緣分布都不是均勻分布，但兩個(gè)條件分布都是均勻分布。 設(shè)服從上的均勻分布，則兩個(gè)邊緣分布和兩個(gè)條件分布都是對(duì)應(yīng)的一維均勻分布，而且獨(dú)立。2 二維正態(tài)分布評(píng)注 設(shè)二維

9、隨機(jī)變量，則線性組合仍然是正態(tài)分布；但任意兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合卻不一定是正態(tài)分布；兩個(gè)邊緣分布都是正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量也不一定是正態(tài)分布。三、 6大二維函數(shù)的分布函數(shù)及其模型（簡(jiǎn)稱函數(shù)分布）1 備用模型1.1 離散型直接計(jì)算的分布律?！纠?】 12112 求和。 解： 先列出的分布律，如下表201134112224從表中看出：2，0，1，3，4于是的分布律如下20134同理可得到的分布律如下201341.2 連續(xù)型設(shè)的概率密度為，則分布函數(shù) 是及其左下方的半平面，則 由于的輪換對(duì)稱性，易知 即得備用模型的連續(xù)型公式 如果獨(dú)立，則可寫成下述卷積形式即得備用模型的連續(xù)型公式 評(píng) 注 備用模

10、型是常年考點(diǎn)，它的一般形式為更重要，在獨(dú)立性結(jié)論中已經(jīng)列舉過，希望讀者仿照上訴方法務(wù)必反復(fù)推導(dǎo)三次，領(lǐng)會(huì)其一般思想，切不可硬背。如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積分區(qū)域不能用一項(xiàng)表示出來），則需要使用平移法劃分為若干個(gè)正規(guī)區(qū)域。2 并聯(lián)模型和串聯(lián)模型，獨(dú)立一般地：如為同分布，則有評(píng) 注 等價(jià)表示：； 。3 商積模型 一般來說，如果存在唯一的反函數(shù)：，利用雅可比微元變換 ， 可得 3.1 商模型 求的概率密度，方法如下 令 如獨(dú)立，則 。這也是一個(gè)常用公式?！纠?】設(shè)相互獨(dú)立，都服從，求的分布密度函數(shù)。解： 評(píng) 注 商模型是重要考點(diǎn)。如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積分區(qū)域不能用一項(xiàng)表示出來），則需要使用旋轉(zhuǎn)法

11、劃分為若干個(gè)正規(guī)區(qū)域。3.2 積模型 求的概率密度。只要改寫成，然后 令 評(píng) 注 積模型本質(zhì)上就是二維聯(lián)合分布。4 模 型 為獨(dú)立同分布5 模 型 6 模 型 ，獨(dú)立 四、 典型題型與求解秘訣【例7】 把一硬幣連擲三次，表示正面次數(shù)， 求的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。解：應(yīng)符合二項(xiàng)式分布本題中 其它的組合的概率全為0。的聯(lián)合分布律如下：0123100300的邊緣分布如下：012313【例8】設(shè)，求邊長(zhǎng)為和的矩形面積為的概率密度。解：顯然，曲線與正概率區(qū)域的右邊交點(diǎn)為，于是 【例9】設(shè)離散型的分布列為 12123問，取什么值時(shí)獨(dú)立。解：邊緣分布為 121231由歸一性知， 要使獨(dú)立，顯然要求 再驗(yàn)證

12、每一項(xiàng)是否滿足獨(dú)立：經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，獨(dú)立?！纠?0】獨(dú)立，且， ，問當(dāng)為何值時(shí)，與獨(dú)立？解：如果與獨(dú)立，又與都是二值變量，故只需要求任意組數(shù)獨(dú)立即可（另一組自動(dòng)滿 足獨(dú)立性要求），則 【例11】設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 求； 求的概率密度。解： 如果已知的聯(lián)合概率密度為，則的概率密度可以直 接用公式求解。 由于被積函數(shù)只有在即時(shí)不為0（正概率區(qū)域），由于積分存在非正規(guī)區(qū)域，則分兩個(gè)區(qū)間分別計(jì)算如下當(dāng)時(shí)，如右圖的下三角形區(qū)域（視為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，如右圖的上三角形區(qū)域（視為常數(shù)）于是的概率密度為 【例12】設(shè)相互獨(dú)立，且都服從，求函數(shù)分布。解當(dāng)當(dāng)時(shí)【例13】 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從（0，1）上的均

13、勻分布 求的分布函數(shù)和密度函數(shù)； 設(shè)，求的密度函數(shù)； 求關(guān)于U與V的邊緣密度函數(shù)。解： 均勻分布為： 和的聯(lián)合密度函數(shù) 又 令根據(jù) 商積模型 公式，得的密度函數(shù) 關(guān)于的邊緣密度函數(shù)求法是：把看成常數(shù)，對(duì)進(jìn)行全區(qū)域積分，得邊緣分布由 ， 畫圖可知所圍區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2，旋轉(zhuǎn)了的正方形。由圖形立即可得： 。則【例14】設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且同分布，密度函數(shù) 試證明也相互獨(dú)立。證明：的聯(lián)合密度函數(shù) 令 故得的密度函數(shù)為 的邊緣密度函數(shù)為 于是 ，命題得證。陳氏第5技 【二維直角分割法】。秘訣如下 在某局部區(qū)域中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量不為零的分布密度（這個(gè)局部區(qū)域又稱為正概率點(diǎn)區(qū)域），求全部區(qū)域的分布函數(shù)

14、問題是一個(gè)難點(diǎn)。作者創(chuàng)立的直角分割法可以方便清晰地解決這類題型。二維直角分割法秘訣如下， 如果正概率點(diǎn)區(qū)域在和兩個(gè)方向都有界，則需要將全平面區(qū)域劃分為5類積分區(qū)域，在每類區(qū)域中求時(shí)，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率點(diǎn)區(qū)域的交集。第1類積分區(qū)域 點(diǎn)的直角分割區(qū)域與正概率點(diǎn)區(qū)域無交集，顯然這時(shí) ；第2類積分區(qū)域 點(diǎn)的直角分割區(qū)域畫在與正概率點(diǎn)區(qū)域方向的外邊，積分 區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分，顯然這時(shí)相當(dāng)于求的邊 緣分布函數(shù)；第3類積分區(qū)域 點(diǎn)的直角分割區(qū)域畫在與正概率點(diǎn)區(qū)域方向的外邊，積分 區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分，顯然這時(shí)相當(dāng)于求的邊 緣分布函數(shù)；第4類積分區(qū)域 點(diǎn)的

15、直角分割區(qū)域畫在正概率點(diǎn)區(qū)域的內(nèi)部，積分區(qū)域?yàn)橹?角分割區(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分；第5類積分區(qū)域 點(diǎn)的直角分割區(qū)域包含整個(gè)正概率點(diǎn)區(qū)域的全部，積分區(qū)域是正概率 點(diǎn)區(qū)域本身，顯然此時(shí)有。如果正概率點(diǎn)區(qū)域在和兩個(gè)方向有一個(gè)區(qū)間無界，由于直角分割區(qū)域頂點(diǎn)無法畫在該無界區(qū)間的外部，則只需將全部區(qū)域劃分為3類積分區(qū)域，即沒有第2類和第5類，或者沒有第3類和第5類。在每類區(qū)域中積分區(qū)域仍為直角分割區(qū)域和正概率點(diǎn)區(qū)域的交集。參閱【例16】【例15】已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為， 求的的聯(lián)合分布函數(shù)。 解：采用直角分割法。 第 1 類：； 第2類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)（即在正概率點(diǎn)區(qū)域的方向的外部），積

16、分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。 第3類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)（即在正概率點(diǎn)區(qū)域的方向的外部），積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。 第 4 類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)在正概率點(diǎn)區(qū)域的內(nèi)部，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。 第 5 類：直角分割區(qū)域頂點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部，直角分割區(qū)域包含正概率點(diǎn)區(qū)域的全部，積分區(qū)域?yàn)槎x區(qū)域（即正概率區(qū)域）的本身。 綜上所述，得 【例16】設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)， 試求分布函數(shù) 。解：利用【直角分割法】計(jì)算，先畫圖確定正概率區(qū)域，由于區(qū)域邊界不是常數(shù)，易知全平面只

17、有3類直角分割區(qū)域。 第1類：，因?yàn)橹苯菂^(qū)域與正概率區(qū)域無公共部分； 第2類：不存在； 第3類：直角區(qū)域頂點(diǎn)在內(nèi)（即正概率區(qū)域的方向外部），積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與定義區(qū)域（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。 第4類： 三角區(qū)域頂點(diǎn)在內(nèi)，積分區(qū)域?yàn)槿菂^(qū)域與定義區(qū)域的公共部分。 第5類：不存在。綜上所述，得 評(píng) 注 由于所以當(dāng)密度函數(shù)為零，分布函數(shù)卻不一定為零。如本題 在區(qū)域?yàn)榱?，而在概率分布函?shù)中等于?！纠?7】的概率密度，求。解：由于條件分布和聯(lián)合分布及其邊緣分布有關(guān)，故首先求邊緣分布 ； 陳氏第6技 【備選模型平移法】。精妙絕倫 秘訣如下備選模型中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量的分布密度，求它們線

18、性組合的分布函數(shù)密度，如果積分區(qū)間是分段的，我們必須將分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或備選模型公式。問題關(guān)鍵和難點(diǎn)就是如何確定積分區(qū)間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。平移法秘訣如下 首先畫出基準(zhǔn)直線； 把基準(zhǔn)直線平移到正概率區(qū)域的全部邊界點(diǎn)上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線， 該直線與軸的交點(diǎn)就是方向的積分區(qū)間分段點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)就是方向的積分區(qū) 間分段點(diǎn)?！纠?8】設(shè)獨(dú)立，求的。解： 但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，的積分區(qū)間必須依照的不同范圍分段進(jìn)行。按照平移法，先作基準(zhǔn)直線，然后將該基準(zhǔn)直線平移到邊界點(diǎn)得直線方程，從而得到在軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的兩個(gè)分界點(diǎn)。

19、其中當(dāng)時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移到該區(qū)間，得方程，該直線與軸的交點(diǎn)為，即為此區(qū)間的積分上限。由圖形立即看出為零概率區(qū)間，所以分三段分別計(jì)算如下 【例19】的概率密度，求 ； 的。解：；但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，的積分區(qū)間必須依照的不同范圍分段進(jìn)行。按照平移法，先作基準(zhǔn)直線，然后將該基準(zhǔn)直線平移到邊界點(diǎn)得直線方程，再平移到邊界點(diǎn)得直線方程，從而得到在軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的三個(gè)分界點(diǎn)。其中，當(dāng)時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移，得方程，該直線與軸的交點(diǎn)為，即為此區(qū)間的積分上限，當(dāng)時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移到該區(qū)間，得方程，但該直線與軸的上限交點(diǎn)已經(jīng)超出正概率區(qū)間，當(dāng)與直線的下限交點(diǎn)為，即為此區(qū)間的積分下限

20、。由圖形立即看出為零概率區(qū)間，為全概率區(qū)間，。所以分四段分別計(jì)算如下 【例20】的概率密度，求的。解： 但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，的積分區(qū)間必須依照的不同范圍分段進(jìn)行。按照平移法，先作基準(zhǔn)直線，然后將該基準(zhǔn)直線平移到邊界點(diǎn)得直線方程，從而得到在軸上的關(guān)于正概率區(qū)間的二個(gè)分界點(diǎn)。其中，當(dāng)時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意平移到該區(qū)間，得方程，該直線與軸的交點(diǎn)為，即為此區(qū)間的積分下限（上限為1），因?yàn)榇藭r(shí)為變區(qū)間，即。由圖形立即看出為零概率區(qū)間，為全概率區(qū)間，。所以分三段分別計(jì)算如下 陳氏第7技 【商模型旋轉(zhuǎn)法】。 秘訣如下商模型中，已知兩個(gè)隨機(jī)變量的分布密度求它們的商函數(shù)的分布函數(shù)密度，如果積分區(qū)間是分

21、段的，我們必須將分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或商模型公式。問題關(guān)鍵和難點(diǎn)就是如何確定積分區(qū)間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。旋轉(zhuǎn)法秘訣如下 首先畫出基準(zhǔn)直線； 把基準(zhǔn)直線旋轉(zhuǎn)到正概率區(qū)域的全部邊界點(diǎn)上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線， 該直線與軸的交點(diǎn)就是方向的積分區(qū)間分段點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)就是方向的積分區(qū) 間分段點(diǎn)?！纠?1】設(shè)獨(dú)立，都服從，求的。解： 如直接得出 是錯(cuò)誤的。因?yàn)橛捎谏鲜龇e分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，的積分區(qū)間必須依照的不同范圍分段進(jìn)行。按照旋轉(zhuǎn)法，先作基準(zhǔn)直線，它剛好與過邊界點(diǎn)的邊界線重合，對(duì)應(yīng)。然后將該基準(zhǔn)直線分別旋轉(zhuǎn)到邊界線和，從而得到關(guān)于正概率區(qū)

22、間的二個(gè)分界點(diǎn)。其中，當(dāng)時(shí)（對(duì)應(yīng)直線的上部），又把基準(zhǔn)直線任意旋轉(zhuǎn)到該區(qū)域，得方程，得的變化范圍為，即積分區(qū)間；當(dāng)時(shí)，又把基準(zhǔn)直線任意旋轉(zhuǎn)到該區(qū)域，也得方程，得的變化范圍為，即積分區(qū)間。由圖立即得出，。所以分三段分別計(jì)算如下 評(píng) 注 為便于比較，下面提供【例17】的一般解法，請(qǐng)讀者反復(fù)琢磨。 解法二： 故 【例22】設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為， 試求 ; 解： 由密度函數(shù)的歸一化性質(zhì)得 ； 屬于聯(lián)合分布。 ； 屬于邊緣分布。 。 屬于函數(shù)分布?！纠?3】設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，服從區(qū)間0，1上的均勻分布，記，試分別求和的概率密度。解： 的密度函數(shù) ； 的密度函數(shù) 所以的分布

23、函數(shù)為 ； 的分布函數(shù)為， （注意：求兩個(gè)分段函數(shù)的乘積函數(shù)畫數(shù)軸即可）求導(dǎo)得（注意到） （注意：在點(diǎn)，連續(xù)，而不連續(xù)）而 同理得 。 【例24】設(shè)，求的分布律。解：設(shè)事件，則，則【例25】相互獨(dú)立的具有同一分布律，求的分布律。解： 則的分布律為 ?！纠?6】的分布律為01234500.000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求 ； 求和的分布律； 求的分布律。解：邊緣分布求出后的的分布律為01234500.000.010.030.050.0

24、70.090.2510.010.020.040.050.060.080.2620.010.030.050.050.050.060.2530.010.020.040.060.060.050.240.030.080.160.210.240.281 依次類推得的分布律為01234500.040.160.280.240.28 依次類推得的分布律為01230280.300.250.17的分布律為01234567800.020.060.130.190.240.190.120.05評(píng) 注 由于不一定獨(dú)立，故如使用計(jì)算反而麻煩?！纠?7】設(shè)相互獨(dú)立，且都服從幾何分布，求的分布。解: 【例28】設(shè)相互獨(dú)立，分布

25、列都為，其中，求，和的函數(shù)分布。 解： 由于相互獨(dú)立， 同理又由于可能取值為，而 【例29】具有同一分布，且，求。解：已知邊緣分布， 又已知，則 則的聯(lián)合分布律具有下列形式010001001于是可以根據(jù)表格中已有的數(shù)據(jù)推出括弧內(nèi)的值 故 ?！纠?0】設(shè)獨(dú)立，的概率密度為，求的。解：離散和連續(xù)混合類題型一般使用全概率公式，把的分布律中可能的取值作為一個(gè)劃分。 【例31】設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的概率分布為，的概率分布為，記。求；求。解： 解法一：全概率法。把的分布律中全部取值作為一個(gè)劃分，使用全概率公式 解法二：陳氏平移法。 建立二維直角坐標(biāo)系，在軸上畫出三點(diǎn)，在軸上畫出直線，作基準(zhǔn)直線，再把基準(zhǔn)直

26、線分別平移到三點(diǎn)，分別得到邊界直線?？梢姡ㄗ⒁庠邳c(diǎn)時(shí)，處于零概率區(qū)域，故，這也符合概率右連續(xù)的原則）。當(dāng)，由圖易知，完全處于零概率區(qū)域，當(dāng)，由圖易知，的區(qū)域的概率為 當(dāng)，由圖易知，的區(qū)域的概率為，的概率為 當(dāng)，由圖知的區(qū)域的概率為，的概率為，的概率為 當(dāng)，由圖易知，包含了全部正概率區(qū)域，。 ?！纠?2】設(shè)隨機(jī)變量，求的聯(lián)合分布和邊緣分布。解：的可能取值為， 0101又，顯然，服從分布，則邊緣分布為 ?！纠?3】試證明：如果的聯(lián)合密度函數(shù)具有可分離變量形式，且正概率區(qū)域?yàn)榫匦?，則和一定獨(dú)立。證明：設(shè) 所以，和獨(dú)立。評(píng) 注 這是一個(gè)重要結(jié)論，在下一章的相關(guān)性質(zhì)中具有很好的指導(dǎo)意義。因?yàn)?，?dú)立必不相

27、關(guān)，但不相關(guān)不一定獨(dú)立。讀者如遇到此類選擇題，可以直接使用該結(jié)論。【例34】設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，定義：試證。 證明：先化為標(biāo)準(zhǔn)的變量，令 ，則 則，得不相關(guān)，又 故，原命題得證。評(píng) 注 這也是一個(gè)重要結(jié)論：事件獨(dú)立等價(jià)于它們相應(yīng)的二值變量獨(dú)立。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布模擬題一 填空題1 若（X，Y）的聯(lián)合密度， 2 設(shè)相互獨(dú)立，則 =_。3 設(shè)4 設(shè)X服從參數(shù)為1的泊松分布，Y服從參數(shù)為2的泊松分布，而且X與Y相互獨(dú)立，則5 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，均服從1，3上的均勻分布，記 ，則a=_.6 二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為 則兩個(gè)邊緣密度為_.二 選擇題1 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為的01分布，Y服從參數(shù)為的01分布，則方程中t有相同實(shí)根的概率為（A） （B） （C） （D） 2設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 則k的值必為 （A） （B） （C） （D） 3設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 為（A） （B） （C） （D） 4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，而且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）