西工大與西安交大期末復習考研備考自動控制原理3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2

1、123 3 線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法一一穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念二二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件三三穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)四四勞思判據(jù)的應用勞思判據(jù)的應用3根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義如下：根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義如下：線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定：若線性控制系統(tǒng)在：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動初始擾動的影響下，動態(tài)的影響下，動態(tài)過程隨時間的推移過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零逐漸衰減并趨于零（原平衡工作（原平衡工作點），則稱系統(tǒng)穩(wěn)定；點），則稱系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定：若

2、線性控制系統(tǒng)在：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動初始擾動的影響下，動的影響下，動態(tài)過程隨時間的推移而態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。0 回顧回顧0)(lim tct負實部的特負實部的特征根征根線性系統(tǒng)穩(wěn)線性系統(tǒng)穩(wěn)定定4線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件0 回顧回顧5HurwitzHurwitz穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 1352321024242213252302262411200000000nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa0)(1110 nnnnasasasasDHurwitz行列式行列式0 回顧回顧系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

3、必要條件：特征方程式特征方程式各項系數(shù)符號相同，且均不為零。各項系數(shù)符號相同，且均不為零。系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件充要條件：各階各階Hurwitz行列式行列式 全大于零。全大于零。(1,2,)iDinL6HurwitzHurwitz穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 0 回顧回顧7下列說法正確的有若控制系統(tǒng)的輸入不同，則穩(wěn)定性不同控制系統(tǒng)具有一個正實部復根，則不穩(wěn)定系統(tǒng)有0和其他全負實部根，則穩(wěn)定初始條件非零，則系統(tǒng)一定不穩(wěn)定ABCD提交多選題1分林納德奇帕特穩(wěn)定判據(jù)：林納德奇帕特穩(wěn)定判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件充要條件為：為：A:系統(tǒng)特征方程式各項系數(shù)系統(tǒng)特征方程式各項系數(shù)符號相同，符號相同，且且均

4、不為零；均不為零；B:奇數(shù)階（或偶數(shù)階）奇數(shù)階（或偶數(shù)階）Hurwitz 行列式行列式均均大于零大于零。特征方程的階次高特征方程的階次高Hurwitz判據(jù)工作量大；判據(jù)工作量大；林納德林納德-奇帕特（奇帕特（Lienard-Chipard）證明：）證明：若特征方程式所有系數(shù)若特征方程式所有系數(shù)同符號同符號且均不為零且均不為零如果如果所有奇次階所有奇次階Hurwitz行列式為行列式為正正則則所有偶次階所有偶次階Hurwitz行列式亦行列式亦必為正必為正。反之亦然。反之亦然。2 2、 Lienard-ChipardLienard-Chipard穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)8三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定

5、判據(jù)9 1877 1877年勞思年勞思(Routh,(Routh,18311907) )提出根據(jù)系統(tǒng)特征方程提出根據(jù)系統(tǒng)特征方程式的式的系數(shù)系數(shù)來確定系統(tǒng)的特征根在來確定系統(tǒng)的特征根在右半平面的個數(shù)右半平面的個數(shù)，從而判，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，被稱為被稱為勞思判據(jù)勞思判據(jù)。方法方法：根據(jù)特征方程的系數(shù)，以表：根據(jù)特征方程的系數(shù)，以表格形式，通過簡單計算，得出格形式，通過簡單計算，得出勞思勞思表表，由勞思表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。，由勞思表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Routh判據(jù)：大幅減小計算量。判據(jù)：大幅減小計算量。3 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)

6、定判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程式：設系統(tǒng)的特征方程式：0)(1110 nnnnasasasasD由此列出由此列出勞思表勞思表：103 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)1302113aaaaac 1504123aaaaac 1706133aaaaac 1323131314ccaacc 1333151324ccaacc O0a2a4a6a1a3a5a7aLLLLL1 nsns2 ns3 ns4 ns2s1s0sMMMM1343171334ccaacc 142413231415cccccc 143413331425cccccc 144413431435cc

7、cccc 1,1 nc1,2 ncnc,1nnac 1,143c44c45c110)(1110 nnnnasasasasD3 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件充要條件： 特征方程的全部系數(shù)均具有相同符號，且均不為零；特征方程的全部系數(shù)均具有相同符號，且均不為零； 勞思表中勞思表中第一列各元素第一列各元素的值都大于零。的值都大于零。說明說明： 若第一列元素值出現(xiàn)若第一列元素值出現(xiàn)小于零小于零的數(shù)值，系統(tǒng)的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定； 第一列元素第一列元素符號改變符號改變的次數(shù)，就是系統(tǒng)特征方程的的次數(shù)，就是系統(tǒng)特征方程的

8、正實正實部（右）根部（右）根的數(shù)目。的數(shù)目。123 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)13三個代數(shù)判據(jù)都有一個必要條件，這個必要條件包括：特征多項式的系數(shù)都為正數(shù)特征多項式的系數(shù)同號特征多項式不能出現(xiàn)0系數(shù)特征多項式的系數(shù)都為負數(shù)ABCD提交多選題1分【例例2 2】若系統(tǒng)特征方程為：若系統(tǒng)特征方程為： ，試用勞思判據(jù)分析其穩(wěn)定性。試用勞思判據(jù)分析其穩(wěn)定性。010532234 ssss解：解：(1)(1)特征方程各項系數(shù)特征方程各項系數(shù)均為正均為正； (2)(2)計算勞思表：計算勞思表：143 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性

9、系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)【例例2 2】 勞思表：勞思表：4s745710157 2s3s715231 101s0s10第一列有一個元素第一列有一個元素小于小于 0 0 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定第一列元素符號第一列元素符號改變兩次改變兩次 系統(tǒng)有系統(tǒng)有兩個右根兩個右根103251153 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)【例例3 3】系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：試用勞思判據(jù)分析其穩(wěn)定性。試用勞思判據(jù)分析其穩(wěn)定性。3019251)(234 ssssss解：解：(1)(1)特征方程特征方程: : (2)(2)計算勞思表：計算勞思表：

10、各項系數(shù)各項系數(shù)均為正均為正0301925234 ssss163 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)【例例3 3】 勞思表：勞思表：系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定3014630196306119251913025101234sssss 系統(tǒng)的所有特征根為：系統(tǒng)的所有特征根為：-0.1024 + 4.8532i-0.1024 - 4.8532i-0.3976 + 1.0559i-0.3976 - 1.0559i173 3、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)180233 ss【例例4 4】分析系統(tǒng)穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

11、, ,系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 勞思表勞思表為：為： 01232031ssss 第二行中第一個元素第二行中第一個元素為零為零，而其余，而其余不全為零不全為零，此時計，此時計算下一行時，將出現(xiàn)算下一行時，將出現(xiàn)，勞思判據(jù)，勞思判據(jù)無法使用無法使用。4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)?0043143147210123456sssssss 【例例5 5】分析系統(tǒng)穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性, ,系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 勞思表勞思表為：為： 第四行出現(xiàn)了第四行出現(xiàn)了全零行全零行，勞思判據(jù)，勞思判據(jù)無法使用無法使用

12、。04473223456 ssssss194 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù) 用因子用因子 乘以原特征方程（乘以原特征方程（ 為任意正數(shù)），為任意正數(shù)），然后對然后對新特征方程新特征方程用勞思判據(jù)判斷。用勞思判據(jù)判斷。 方法方法1 1：as a情形一：情形一：勞思表中某一行勞思表中某一行首元素為零首元素為零，而其余不全為零，而其余不全為零204 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)2106733)23)(3(2343 sssssss新新勞思表

13、：勞思表：對例對例4 4，用，用 去乘原特征方程，得去乘原特征方程，得新特征方程新特征方程： 3 s6206327363101234sssss 4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)新新勞思表：勞思表：所以所以：(1)(1)系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)不穩(wěn)定； (2)(2)系統(tǒng)有兩個右根。系統(tǒng)有兩個右根。( (原特征方程因式分解原特征方程因式分解得：得： ，有兩個右根，有兩個右根) ) 6206327363101234sssss 0)2()1(2323 ssss224 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種

14、特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù) 用一個小正數(shù)用一個小正數(shù) 代替代替0 0，繼續(xù)用勞思判據(jù)判斷。，繼續(xù)用勞思判據(jù)判斷。 方法方法2 2：情形一：情形一：勞思表中某一行勞思表中某一行首元素為零首元素為零，而其余不全為零，而其余不全為零 234 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù) 所以所以：(1)(1)第三行第一個元素小于第三行第一個元素小于0 0，系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定; ; (2) (2)系統(tǒng)有兩個右根。系統(tǒng)有兩個右根。仍用例仍用例4 4，列出，列出新勞思表新勞思表：223232)(0310123sss

15、s 244 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù) 方法方法： 以全零行的上一行的元素為系數(shù)構造一個以全零行的上一行的元素為系數(shù)構造一個輔助方輔助方程，程，對其對其求導求導，然后用求導后所得方程的系數(shù)，然后用求導后所得方程的系數(shù)代替代替全全零行元素，然后繼續(xù)計算下去。零行元素，然后繼續(xù)計算下去。原因原因：系統(tǒng)特征方程存在一些大小相等、符號相反的根。：系統(tǒng)特征方程存在一些大小相等、符號相反的根。情形二：情形二：勞思表中出現(xiàn)勞思表中出現(xiàn)全零行全零行254 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三

16、、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)26064)(3 sssFdsd4- 3- 1 4- 3- 1 4- 7- 2- 1 456sss ?(-4) ?(-16.7) ?(-4) )46?(- 0(-6) 0(4) 0123ssss用第三行元素為系數(shù)構造用第三行元素為系數(shù)構造輔助方程輔助方程: : 求導求導: : 用此方程系數(shù)用此方程系數(shù)替換替換第四行。第四行。對例對例5 5，勞思表：，勞思表： 043)(24 sssF所以，系統(tǒng)有所以，系統(tǒng)有一個一個右根。右根。 4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)270)4)(1

17、(432224 ssss 由輔助方程由輔助方程: :043)(24 sssF 解得解得: :2;4,32,1 sjs兩對大小相等、符號相反的根兩對大小相等、符號相反的根4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù) 65432422374434ssssssssMs 其它根的求取：其它根的求?。?21Msss 5,6132js 長除法：長除法：28023)(234 sssssD2)4(0221123101234sssss 解解: : 第四行的第一個元素為零，不應按第四行的第一個元素為零，不應按第一種第一種特殊情況處理，特殊情況處

18、理，而應按而應按第二種第二種特殊情況處理。特殊情況處理。 【例例6 6】：分析系統(tǒng)穩(wěn)定性：分析系統(tǒng)穩(wěn)定性, ,系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右根。有兩個右根。 4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)2902223 sss)2()4(022110123ssss解解: :屬于第二種特殊情況，屬于第二種特殊情況，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列全大于零，第一列全大于零，系統(tǒng)沒有右根系統(tǒng)沒有右根。 【例例7 7】：分析系統(tǒng)穩(wěn)定性：分析系統(tǒng)穩(wěn)定性, ,系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 4 4、 Ro

19、uthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)30022)(2 ssF解之得：解之得：分析輔助方程：分析輔助方程： 所以：所以：系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定是因為系統(tǒng)存在是因為系統(tǒng)存在虛軸虛軸上的上的純虛根純虛根，系統(tǒng)是系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定。js 2,14 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)31當系統(tǒng)特征方程式的各項當系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)符號不相同系數(shù)符號不相同，或者有，或者有為零為零的系數(shù)時，系統(tǒng)的系數(shù)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定；當勞思表中出現(xiàn)當勞思表中出現(xiàn)兩種特殊情況兩

20、種特殊情況時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定；以上兩種特殊情況下，如果尚需知道系統(tǒng)有以上兩種特殊情況下，如果尚需知道系統(tǒng)有幾個右?guī)讉€右根根，就需用勞思判據(jù)。，就需用勞思判據(jù)。注意注意： 4 4、 RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)32當已知線性系統(tǒng)特征方程時，勞思判據(jù)可以：當已知線性系統(tǒng)特征方程時，勞思判據(jù)可以：p 分析分析判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； p 分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)參數(shù)變化參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響影響（參數(shù)?。▍?shù)取值范圍、臨界增益）；值范圍、臨界增益）；p 確定系統(tǒng)的確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性。

21、四、勞思判據(jù)的四、勞思判據(jù)的應用應用【例例8 8】：系統(tǒng)結構圖為：系統(tǒng)結構圖為 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定的為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定的 取值范圍。取值范圍。K解解：系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為：)125.0)(11.0( sssK)(sR)(sC0)125.0)(11.0( Ksss040401423 Ksss即：即：1 1、系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響、系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響33四、勞思判據(jù)的四、勞思判據(jù)的應用應用【例例8 8】： 勞思表：勞思表：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足：解得：解得：KsKsKss401440401440144010123 040014404014KK14

22、0 K341 1、系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響、系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響四、勞思判據(jù)的四、勞思判據(jù)的應用應用線性系統(tǒng)的單位脈沖響應線性系統(tǒng)的單位脈沖響應： 負實部特征根距離虛軸負實部特征根距離虛軸越遠越遠，系統(tǒng)動態(tài)過程就，系統(tǒng)動態(tài)過程就越快越快接接近穩(wěn)定，希望負實部特征根距離虛軸近穩(wěn)定，希望負實部特征根距離虛軸有一定的距離有一定的距離。 )1cos()(121 teDeAtcrkkktkqjtsjkkj 為此，在為此，在 左半平面作左半平面作垂線垂線 ， 為系統(tǒng)特征為系統(tǒng)特征根與虛軸之間的根與虛軸之間的最小距離最小距離，稱為，稱為穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度。as sa2 2、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度35四、勞思判據(jù)的四、勞思判據(jù)的應用應用36方法方法： 用新變量用新變量 代入原特征方程，得到以代入原特征方程，得到以 為為變量的變量的新特征方程新特征方程，對新特征方程應用，對新特征方程應用勞思判據(jù)勞思判據(jù)。 從而，確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性從而，確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度。ass 11s2 2、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度四、勞思判據(jù)的四、勞思判據(jù)的應用應用37s【例例