復(fù)變答案習(xí)題

1、習(xí)題二1. 求映射下圓周的像.解：設(shè)則 因?yàn)?所以所以 , 所以即，表示橢圓.2. 在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或. （1）； （2）; (3) x=a, y=b.(a, b為實(shí)數(shù))解：設(shè)所以(1) 記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2) 記，則映成了w平面上扇形域，即(3) 記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了 即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3. 求下列極限. (1) ;解：令,則.于是.(2) ;解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解

2、：因?yàn)樗?4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo).(2) .解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3) .解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4) .解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1) ;解：在全平

3、面上可微.所以要使得， , 只有當(dāng)z=0時(shí),從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時(shí),即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時(shí)，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4) .解：設(shè)，則所以只有當(dāng)z=0時(shí)才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7. 證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1) ;證明：因?yàn)?，所?.所以u(píng),v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2) 解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)

4、，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3) Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1, 因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對(duì)C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)

5、=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 C-R條件 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析.(2) .證明：處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10. 設(shè)求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)(2)f

6、(z)在z=0處滿足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在證明.(1)而同理f(z)在z=0處連續(xù)(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時(shí)，z=iy，有當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時(shí)，z=x，有它們分別為滿足C-R條件(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時(shí)，有不存在即f(z)在z=0處不可導(dǎo)11. 設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對(duì)稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析所以u(píng)(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即，得故(x,y),(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件從而在D1內(nèi)解析13. 計(jì)算下列各值(1) e

7、2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設(shè)z沿通過(guò)原點(diǎn)的放射線趨于點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限解：令z=rei，對(duì)于，z時(shí)，r故所以 15. 計(jì)算下列各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)17. 計(jì)算下列各值(1) (2)(3)18. 計(jì)算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2解：(2)解：即(3)解：即(4)解：20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosxshy證明：(2)cosz=cosxchy-isinxshy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明：(4)