雙曲線方程及幾何性質(zhì)教案

1、適用學科高中數(shù)學適用年級高二適用區(qū)域人教版區(qū)域課時時長（分鐘）2課時知識點1.雙曲線的定義.2. 雙曲線的標準方程.3. 雙曲線的簡單幾何性質(zhì).教學目標1. 掌握雙曲線的定義，標準方程.2. 掌握雙曲線的幾何性質(zhì).3. 體會解析幾何的思想，熟悉利用代數(shù)方法研究幾何問題的手段教學重點雙曲線定義、標準方程及幾何性質(zhì)；利用性質(zhì)解決一些問題.教學難點雙曲線定義、標準方程及幾何性質(zhì)的靈活應用.【知識導圖】教學過程一、導入1、情境引入類比橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)的探究方式上節(jié)回顧：平面上到兩個定點的距離之和為一個常數(shù)（大于兩定點間的距離）的點的軌跡是橢圓.思考：那么平面上到兩個定點的距離之差為一個常數(shù)的點

2、的軌跡是什么呢？設(shè)計意圖：類比前面章節(jié)“橢圓的標準方程與幾何意義”的教學過程，引入本節(jié)“雙曲線的標準方程與幾何意義”，有利于降低學習難度，使學生迅速理解雙曲線的定義與元素。強調(diào)兩節(jié)知識的聯(lián)系與區(qū)別，引導學生探究本節(jié)過程中對比兩節(jié).2、 步步深化類比橢圓的標準方程，寫出雙曲線的標準方程，并比較a、b、c的關(guān)系：設(shè)計意圖：利用已知結(jié)論得到雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，更利于學生對新知的理解和記憶.二、知識講解考點1 雙曲線的定義平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線. 即.【教學建議】注意差的絕對值為常數(shù)，如果只說差為常數(shù)，得到的軌跡是雙曲線的一支.教師講完定義后，可

3、順帶引出實軸、虛軸、焦距的概念，對比橢圓記憶雙曲線的量.考點2雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點，漸近線離心率，其中準線實虛軸線段叫做雙曲線的實軸，它的長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系注意：(1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e(0,1)(3)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程是y±x，1(a0，b0)的漸近線方程是y±x.求雙曲線離心率、漸近線

4、問題的一般方法：(1)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍(2)求漸近線時，利用c2a2b2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程或不等式雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系k±±±±.考點3 等軸雙曲線考點3等軸雙曲線1.a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線，其中，漸近線 .2.共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.它們互為共軛.互為共軛雙曲線的方程為:和.性質(zhì)：它們有相

5、同的漸近線.它們的四個焦點共圓.離心率滿足.三 、例題精析三 、例題精析例題1類型一 雙曲線的定義與標準方程例題1若kR，則k>3是方程表示雙曲線的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若k>3，則方程，表示雙曲線；若方程表示雙曲線，則或解得k>3或k<3.故選A.【教學建議】引導學生思考本題左邊為加號時的情形.例題2例題2【總結(jié)與反思】本題考查雙曲線的定義，是雙曲線的充要條件是m、n異號已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程.【解析】由題意知，雙曲線的焦點在x軸上，所

6、以設(shè)它的標準方程為所求雙曲線標準方程為.【總結(jié)與反思】此題考查雙曲線定義，點到兩定點的距離之差為定值的點可能為雙曲線，比較定點距離與距離之差的大小，寫出標準方程.例題3例題3已知雙曲線的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.【解析】雙曲線的漸近線方程為y±x，因為一條漸近線與直線y2x10平行，所以2.又因為雙曲線的一個焦點在直線y2x10上，所以2c100，所以c5.故由c2a2b2，得25a24a2，則a25，b220，從而雙曲線方程為.【答案】A【總結(jié)與反思】本題考查利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程，屬簡單題，明白

7、漸近線與雙曲線標準方程的關(guān)系即可作答.例題1類型二 雙曲線的幾何性質(zhì)例題1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay±x By±x Cy±x Dy±x【解析】，C的漸近線方程為y±x.故選C.【答案】C【總結(jié)與反思】本題考查雙曲線的離心率與標準方程的關(guān)系、雙曲線漸近線.離心率與漸近線斜率都與a、b、c之間的比值有關(guān)，所以求解時并不需求出a、b、c的值，只要知道關(guān)系即可作答.例題2例題2已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為()A. B3 C.m D3m

8、【解析】由題意知，雙曲線的標準方程為1，其中a23m，b23，故c.不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點，故F(，0)其中一條漸近線的方程為yx，即xy0，由點到直線的距離公式可得d，故選A.【答案】A例題3例題3【總結(jié)與反思】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考慮先將方程化為標準形式，再把需要用的量用m表示出來，得出距離公式，約去變量m，得到距離.已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_【答案】2【解析】如圖所示，由題意得|BC|F1F2|2c.又2|AB|3|BC|，|AF1|c.在RtAF1F

9、2中，|AF2|.2a|AF2|AF1|ccc.e2.【總結(jié)與反思】本題考查離心率的求法，在幾何背景下求離心率問題要考慮矩形的特點，利用三角形求離心率.例題1例題1類型三 直線與雙曲線綜合問題過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|()A. B2 C6 D4【解析】雙曲線x21的右焦點為F(2，0)，其漸近線方程為x±y0.不妨設(shè)A(2，2)，B(2，2)，所以|AB|4，故選D.【答案】D【總結(jié)與反思】本題考查雙曲線漸近線與直線與雙曲線綜合應用，屬簡單題，直接求出漸近線，帶入焦點橫坐標，求出兩點縱坐標即可得出兩點距離.例題2例題2已知

10、雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1) 求雙曲線方程；(2) 若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3) 求F1MF2的面積【解析】(1)e，設(shè)雙曲線方程為x2y2.又雙曲線過(4，)點，16106，雙曲線方程為x2y26.(2)證明法一由(1)知ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，又點(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1·kMF21，MF1MF2，·0.法二(32，m)，(23，m)，·(32)(32)m23m2.M在雙曲線上，9m26，m23，

11、83;0.(3)在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|×4×6.【教學建議】雙曲線中的證明問題，可以利用雙曲線的性質(zhì)將所要證明的結(jié)論用坐標關(guān)系表示出來，即可證得結(jié)論.四 、課堂運用基礎(chǔ)基礎(chǔ)1. 下列雙曲線中，漸近線方程為y±2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy212. 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點，過F1作垂直于x軸的直線與雙曲線相交，其中一個交點為P，則|PF2|()A6 B4 C2 D13.已知雙曲線C：的離心率e，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為()A. BC. D4.

12、若實數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實半軸長相等C虛半軸長相等 D離心率相等5. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D3答案與解析1.【答案】A【解析】對于A，令x20，得y±2x；對于B，令y20，得y±x；對于C，令x20，得y±x；對于D，令y20，得y±x.故選A.2. 【答案】A【解析】由題意知|PF2|PF1|2a，由雙曲線方程可以求出|PF1|4，a1

13、，所以|PF2|426.故選A.3. 【答案】C【解析】由題意得e，又右焦點為F2(5，0)，a2b2c2，所以a216，b29，故雙曲線C的方程為1.故選C.4.【答案】A【解析】0<k<9，9k>0，25k>0.1與1均表示雙曲線，又25(9k)34k(25k)9，它們的焦距相等，故選A.5.【答案】1(x>3)【解析】如圖，ABC與內(nèi)切圓的切點分別為G，E，F(xiàn).|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)鞏固1.已知a>b>

14、;0，橢圓C1的方程為，雙曲線C2的方程為，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()Ax±y0 B.x±y0 Cx±2y0 D2x±y02.已知雙曲線1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且MF1x軸，則F1到直線F2M的距離為()A. B C.D3.已知點P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.求雙曲線的離心率；答案與解析1.【答案】A【解析】設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，則e1，e2.因為e1·e2，所以

15、，即，.故C2的漸近線方程為x±y0.2.【答案】C【解析】如圖所示，由1知，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)設(shè)M(3，y0)，則y0±，取M(3，)直線MF2的方程為x6y0，即x2y30.點F1到直線MF2的距離為d.3.【答案】【解析】由點P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，可得a25b2，c2a2b26b2，e.拔高拔高1.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)點M(3，m)在雙曲線上(1)求此雙曲線方程；(2)求證：·0.2. 如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，

16、N是雙曲線的兩頂點，若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A3 B2 C. D3.過點P(8,1)的直線與雙曲線x24y24相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，則直線AB的方程為_答案與解析1.【答案】B【解析】(1)e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)過點(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)、F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，點(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.2.【答案】B【解析】本題考查

17、了橢圓與雙曲線中離心率e的求法設(shè)橢圓長軸長為2a，則雙曲線實半軸長為，所以離心率的比值2.3.【答案】2xy150【解析】設(shè)A、B坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則x4y4x4y4得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.P是線段AB的中點，x1x216，y1y22，2.直線AB的斜率為2，直線AB的方程為2xy150.五 、課堂小結(jié)五 、課堂小結(jié)本節(jié)主要講了三部分：雙曲線的定義與標準方程、雙曲線的幾何性質(zhì)、雙曲線綜合應用.雙曲線定義的應用主要有兩個考查方向：一是利用定義求雙曲線的標準方程；二是利用雙曲線上點P與兩焦點的距離的差的絕對值|PF1|PF2|2a(其中02a

18、|F1F2|)與正弦定理、余弦定理結(jié)合，解決焦點三角形問題；雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)的考查比較頻繁，主要是對離心率、漸近線與標準方程之間的關(guān)系進行考查.其中，漸近線方程可以將中的1化成0求直線方程，避免忽略焦點在y軸的情形；雙曲線綜合應用中主要是雙曲線與直線、雙曲線與橢圓的綜合應用，主要以大題形式考查.常用聯(lián)立方程或者點差法轉(zhuǎn)化條件，做題時應注意總結(jié)做法.六、課后作業(yè)基礎(chǔ)基礎(chǔ) 1. 已知雙曲線的漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 2.設(shè)雙曲線1(a>0)的漸近線方程為3x±2y0，則a的值為()A4 B3 C2 D13. 已知雙

19、曲線過點，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 4.若雙曲線E：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11 B9 C5 D3答案與解析1.【答案】B【解析】漸近線方程化簡為,頂點坐標，頂點到漸近線的距離為，解得，根據(jù)漸近線方程的斜率，可得,所以雙曲線的方程為.選B.2.【答案】C【解析】漸近線方程可化為y±x.雙曲線的焦點在x軸上，解得a±2.由題意知a>0，a2.故選C.3.【答案】C【解析】由題意可得： ，據(jù)此有 ，則.故選C.4.【答案】B【解析】由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義有|PF1|PF

20、2|3|PF2|2a6，|PF2|9.鞏固1. “”是“直線（）與雙曲線的右支無交點”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件2.已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A. B. C. D.3. 已知雙曲線C：1(a>0，b>0)，若存在過右焦點F的直線與雙曲線C相交于A，B兩點且3，則雙曲線離心率的最小值為()A. B. C2 D2答案與解析1.【答案】A【解析】因為直線過雙曲線的左頂點且雙曲線的右支無交點，所以直線的斜率不小于雙曲線的漸近線的斜率，即，又，所以，故選A.2.【答案】A【解析】由題意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，所以cosAF2F1.故選A.3.【答案】C【解析】因為過右焦點的直線與雙曲線C相