四川卷數(shù)學(xué)試題及答案理

1、2013·四川卷(理科數(shù)學(xué))1 設(shè)集合Ax|x20，集合Bx|x240，則AB()A2B2C2，2D1A解析 由已知，A2，B2，2，故AB22 如圖11所示，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖11中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()圖11AA BB CC DD2B解析 復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的幾何關(guān)系是其表示的點關(guān)于x軸對稱3 一個幾何體的三視圖如圖12所示，則該幾何體的直觀圖可以是()圖12圖133D解析 根據(jù)三視圖原理，該幾何體上部為圓臺，下部為圓柱4 設(shè)x，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集若命題p：xA，2xB，則()Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB4D解

2、析 注意到全稱命題的否定為特稱命題，故應(yīng)選D.圖145 函數(shù)f(x)2sin (x)的部分圖像如圖14所示，則，的值分別是()A2， B2，C4， D4，5A解析 由圖知，故周期T，于是2.f(x)2sin(2x)再由f2，得sin1，于是2k(k)，因為<<，取k0，得.6， 拋物線y24x的焦點到雙曲線x21的漸近線的距離是()A. B. C1 D.6B解析 拋物線y24x的焦點坐標(biāo)為F(1，0)，雙曲線x21的漸近線為x±y0，故點F到x±y0的距離d.7， 函數(shù)y的圖像大致是()圖157C解析 函數(shù)的定義域是x|x0，排除選項A；當(dāng)x<0時，x3&

3、lt;0，3x1<0，故y>0，排除選項B；當(dāng)x時，y>0且y0，故為選項C中的圖像8 從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lgalgb的不同值的個數(shù)是()A9 B10 C18 D208C解析 從1，3，5，7，9中，每次取出兩個不同的數(shù)作為a，b可以得到不同的差式lg alg b共計A20個，但其中l(wèi)g 9lg 3lg 3lg 1，lg 3lg 9lg 1lg 3，故不同的值只有18個9 節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這

4、兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A. B.C. D.9C解析 設(shè)第一串彩燈在通電后第x秒閃亮，第二串彩燈在通電后第y秒閃亮，由題意滿足條件的關(guān)系式為2xy2.根據(jù)幾何概型可知，事件全體的測度(面積)為16平方單位，而滿足條件的事件測度(陰影部分面積)為12平方單位，故概率為.10， 設(shè)函數(shù)f(x)(a，e為自然對數(shù)的底數(shù))若曲線ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，則a的取值范圍是()A1，e Be11，1C1，e1 De11，e110A解析 因為y0sin x01，1，且f(x)在1，1上(有意義時)是增函數(shù)，對于y01，1，如果f(y0)c

5、y0，則f(f(y0)f(c)f(y0)cy0，不可能有f(f(y0)y0.同理，當(dāng)f(y0)dy0時，則f(f(y0)f(d)f(y0)dy0，也不可能有f(f(y0)y0，因此必有f(y0)y0，即方程f(x)x在1，1上有解，即x在1，1上有解顯然，當(dāng)x0時，方程無解，即需要x在0，1上有解當(dāng)x0時，兩邊平方得exxax2，故aexx2x.記g(x)exx2x，則g(x)ex2x1.當(dāng)x時，ex0，2x10，故g(x)0，當(dāng)x時，ex1，0>2x11，故g(x)0.綜上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，1上為增函數(shù)，值域為1，e，從而a的取值范圍是1，e11 二項式

6、(xy)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)1110解析 根據(jù)二項展開式的性質(zhì)可得x2y3的系數(shù)為C10.12 在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_122解析 根據(jù)向量運算法則，2，故2.13， 設(shè)sin 2sin ，則tan 2的值是_13.解析 解法一：由sin 2sin ，得2sin cos sin ，又，故sin 0，于是cos ，進(jìn)而sin ，于是tan ，tan 2.解法二：同上得cos ，又，可得，tan 2tan .14， 已知f(x)是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_14(7，3)解析

7、當(dāng)x20時，f(x2)(x2)24(x2)x24，由f(x2)5，得x245，即x29，解得3x3，又x20，故2x3為所求又因為f(x)為偶函數(shù)，故f(x2)的圖像關(guān)于直線x2對稱，于是7x2也滿足不等式(注：本題還可以借助函數(shù)的圖像及平移變換求解)15， 設(shè)P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點P到P1，P2，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，Pn點的一個“中位點”例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點則有下列命題：若A，B，C三個點共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；若四個點A，B，C，

8、D共線，則它們的中位點存在且唯一；梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)15解析 對于，如果中位點不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾而當(dāng)中位點在直線AB上時，如果不與C重合，則|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點，正確；對于，我們?nèi)⌒边呴L為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點到三個頂點的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點，該點到直角頂點的距離為1，到兩底角頂點的距離均為，顯然2 16，故該直角三角形的斜邊中點不是中位點，錯誤；對于，當(dāng)A，B，C，D四點共線時，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，

9、D，則當(dāng)點P在B，C之間運動時，點P到A，B，C，D四點的距離之和相等且最小，即這個時候的中位點有無窮多個，錯誤；對于，同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點不在對角線的交點上，則距離之和肯定不是最小的，正確16， 在等差數(shù)列an中，a1a38，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列an的首項、公差及前n項和16解：設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn，由已知可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)，所以a1d4，d(d3a1)0.解得a14，d0或a11，d3.即數(shù)列an的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.所以，數(shù)列的前n項和Sn4n或Sn.17， 在ABC中，角

10、A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2 cos Bsin (AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影17解：(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB，則cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0<A<，得sinA.由正弦定理，有，所以sinB.由題意知a>b，則A>B，故B.根據(jù)余弦定理，有(4 )252c22×5c×，解得c1或c7(舍去)，

11、故向量在方向上的投影為|cosB.18， 某算法的程序框圖如圖16所示，其中輸入的變量x在1，2，3，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生圖16(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1，2，3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的

12、頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；(3)按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望18解：(1)變量x是在1，2，3，24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當(dāng)x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當(dāng)x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2；當(dāng)x從6，12，

13、18，24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3，所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1，2，3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機變量可能的取值為0，1，2，3.P(0)C××，P(1)C××，P(2)C××，P(3)C××，故的分布列為0123P所以，E0×1×2×3

14、×1.即的數(shù)學(xué)期望為1.19， 如圖17所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD的中點(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角AA1MN的余弦值圖1719解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點P作直線lBC，因為l在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中點所以，BCAD，則直線

15、lAD.因為AA1平面ABC，所以AA1直線l.又因為AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(2)解法一：聯(lián)結(jié)A1P，過A作AEA1P于E，過E作EFA1M于F，聯(lián)結(jié)AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，則A1MAE.所以A1M平面AEF，則A1MAF.故AFE為二面角AA1MN的平面角(設(shè)為)設(shè)AA11，則由ABAC2AA1，BAC120°，有BAD60°，AB2，AD1.又P為AD的中點，所以M為AB中點，且AP，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P；在RtA1AM中，A1M

16、.從而AE，AF，所以sin.所以cos.故二面角AA1MN的余弦值為.解法二：設(shè)A1A1，如圖，過A1作A1E平行于B1C1，以A1為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(點O與點A1重合)則A1(0，0，0)，A(0，0，1)因為P為AD的中點，所以M，N分別為AB，AC的中點，又ABAC2AA1，BAC120°，故可得M(，1)，N(，1)，所以，(0，0，1)，(，0，0)設(shè)平面AA1M的一個法向量為1(x1，y1，z1)，則即故有從而取x11，則y1，所以1(1，0)設(shè)平面A1MN的一個法向量為2(x2，y2，z2)，則即故有從而取

17、y22，則z21，所以2(0，2，1)設(shè)二面角AA1MN的平面角為，又為銳角，則cos .故二面角AA1MN的余弦值為.20， 已知橢圓C：1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且橢圓C經(jīng)過點P.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)過點A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程20解：(1)由橢圓定義知，|PF1|PF2|2 .所以a，又由已知，c1，所以橢圓C的離心率e.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x，y)當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，1)兩點，此時點Q的坐標(biāo)

18、為.當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為ykx2.因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×6>0，得k2>.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化簡，得x2.因為點Q在直線ykx2上，所以k，代入中并化簡，得10(y2)23x218.由及k2>，可知0<x2<，即x.又滿足10(y2)23x218，故點Q的軌跡方程為10(y2)23x218，x.21， 已知函數(shù)f(x)其中a是實數(shù)設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖像上的兩點，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖像在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍21解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f(x1)，點B處的切線斜率為f(x2)，故當(dāng)點A處的切線與