2013-2017高考理數(shù)分類匯編：第13章概率與統(tǒng)計（理科）

1、第十三章 概率與統(tǒng)計第1節(jié) 概率及其計算題型140 古典概型 1.（2013廣東理17） 某車間共有名工人，隨機抽取名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù). (1) 根據(jù)莖葉圖計算樣本均值； (2) 日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人；(3) 從該車間名工人中，任取人，求恰有名優(yōu)秀工人的概率.2. (2013全國新課標卷理14）從個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于的概率為，則 .3.（2013江蘇7）現(xiàn)在某類病毒記作，其中正整數(shù)，（，）可以任意選取，則都取到奇數(shù)的概率為 .4. (2013安徽理

2、21）某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心里測試活動，分別由李老師和張老師負責.已知該系共有位學生，每次活動均需要該系位學生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機的發(fā)給該系位學生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為.（1）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整數(shù)使率師到ANSHU 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

3、11111111111111111111111111.5.（2014 江西理 12）件產(chǎn)品中有件正品，件次品，從中任取件，則恰好取到件次品的概率是 .6.（2014 江蘇理 4 ）從這個數(shù)中一次隨機地取個數(shù),則所取個數(shù)的乘積為的概率是 7.（2014 廣東理 11）從中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是的概率為 .8.（2014 新課標1理5）位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率（ ）.A. B. C. D. 9.（2014 陜西理 6）從正方形四個頂點及其中心這個點中，任取個點，則這個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ）.A. B.

4、 C. D. 10.（2014 新課標1理5）位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率（ ）.A. B. C. D. 11.（2014 陜西理 6）從正方形四個頂點及其中心這個點中，任取個點，則這個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ）.A. B. C. D. 12.（2015廣東理科4）袋中共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個白球，個紅球從袋中任取個球，所取的個球中恰有個白球，個紅球的概率為（ ）.A B C D12.解析 從袋中任取2個球共有種，其中恰好1個白球1個紅球共有種，所以恰好1個白球1個紅球的概率為故選B13. (2015北京理

5、科16) ，兩組各由7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：組：，組：，假設所有病人的康復時間互相獨立，從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙.（1）求甲的康復時間不少于天的概率；（2）如果，求甲的康復事件比乙的康復時間長的概率；（3）當為何值時，兩組病人康復時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）13. 解析 （1）設甲的康復事件為，則，即甲的康復時間不少于天的概率為.（2）設乙的康復事件為，集合，則選取病人的基本事件空間為，共個基本事件，其中符合題意的基本事件為：，共個.從而.（3）可以看出組個連續(xù)的正整數(shù)，組為至共個連續(xù)的正整數(shù)和，從而或時，兩組離散程度相

6、同，即方差相等.14.（2016江蘇7）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標有個點的正方體玩具）先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于的概率是 14. 解析 將先后兩次點數(shù)記為，則基本事件共有（個），其中點數(shù)之和大于等于有，共種，則點數(shù)之和小于共有種，所以概率為15.（2016上海理14）如圖所示，在平面直角坐標系中，為正八邊形的中心，任取不同的兩點，點滿足，則點落在第一象限的概率是 15. 解析 由題意，若要使得點落在第一象限，則只需使在第三象限，可考慮變動，當時，不存在；當時，符合要求，同理順次畫圖即可所有的滿足條件的的數(shù)組為，共組，故所求概率為故填16.（2017山東理18（1）在心理

7、學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者，和4名女志愿者，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.16.解析 （1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為，則題型141 幾何概型1（2013四川理9）節(jié)日 家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電后的秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)秒為間隔閃亮

8、，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過秒的概率是（ ）A. B. C. D.2. (2013陜西理5）如圖，在矩形區(qū)域的兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域和扇形區(qū)域（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）.若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是（ ）.A. B. C. D. 3. (2013福建理11）利用計算機產(chǎn)生之間的均勻隨機數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為_.4.（2013山東理14） 在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得成立的概率為_.1-11-15.（2014 遼寧理 14）正方形的四個頂點，分別在拋物線和上，如圖所示，若將一個質(zhì)點隨機投

9、入正方形中，則質(zhì)點落在陰影區(qū)域的概率是 .6.（2014 福建理 14）如圖所示，在邊長為（為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 .7.（2015陜西理科11）設復數(shù)，若，則的概率為（ ）A B C D7. 解析 由可知，.所以表示如圖所示的陰影部分，所以.故選B. 命題意圖 考查復數(shù)的基本概念與知識，并與幾何概型相結(jié)合，具備一定的新穎性.8.（2015湖北理科7）在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）A B C D 8. 解析 依次為如圖所示的三個圖形的面積，觀察知，選B.也可作如下的計算：由圖（1）得；由圖（2

10、）得；由圖（3）得.三個值比較得，故選B.命題意圖 考查不等式表示的平面區(qū)域、幾何概型及定積分的計算.9.（2016全國乙理4）某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，學.小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ）.A. B. C. D.9. B 解析 如圖所示，畫出時間軸.小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中，而當他的到達時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過分鐘.根據(jù)幾何概型，所求概率.故選B.10.（2016山東理14）在上隨機地取一個數(shù)，則事件”直線與圓相交”發(fā)生的概率為 10. 解析 首先的取值空

11、間的長度為2，由直線與圓相交，所以，解得，所以得事件發(fā)生時的取值空間為，其長度為，利用幾何概型可知，所求概率為 .11.（2016全國甲理10）從區(qū)間隨機抽取2n個數(shù)，構(gòu)成n個數(shù)對，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（ ）.A. B. C. D.11. C 解析 由題意得：在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知，所以.故選C12.（2017江蘇07）記函數(shù)的定義域為在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則的概率是 12.解析 由題意，故，所以故填13.（2017全國1卷理科2）如圖所示，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，

12、正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱. 在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）.A. B. C. D. 13. 解析 設正方形的邊長為，則圓的半徑為，則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的面積為，則此點取自黑色部分的概率為.故選B.第2節(jié) 隨機變量及其分布題型142 條件概率及相互獨立事件同時發(fā)生的概率1.（2014 新課標2理5）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）.A. B. C. D. 2.（2015全國理科4）投籃測試中，每人投3

13、次，至少投中2次才能通過測試，已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）.A0.648 B0.432 C0.36 D0.3122. 解析 根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為 故選A3.（2015江蘇5）袋中有形狀、大小都相同的只球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中一次隨機摸出只球，則這只球顏色不同的概率為 3. 解析 解法一：只白球設為，只紅球設為，只黃球設為，則摸球的所有情況為，共件，滿足題意的事件為，共件，故概率為解法二（理科做法）：從反面考查，反面情況為摸出的只球顏色相同，故4.（2015陜西理科19）設某校新、老校區(qū)之間

14、開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：（分鐘）頻數(shù)（次）（1）求的分布列與數(shù)學期望；（2）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率4. 解析 （1）以頻率估計概率得的分布列為：253035400.20.30.40.1所以（分鐘）.(2)設分別表示往返所需時間，設從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘，則：.5.（2015湖北理科20）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產(chǎn)兩種奶制品生產(chǎn)噸產(chǎn)品需鮮牛奶噸，使用設備1小時，獲利元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶噸，使用設

15、備小時，獲利元要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機變量（1）求的分布列和均值；（2） 若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過元的概率5. 解析 （1）設每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應的獲利為，則有（1） 目標函數(shù)為當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為將變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為將變形

16、為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3，四個頂點分別為. 將變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利故最大獲利的分布列為：816010200108000.30.50.2因此，（2）由（1）知，一天最大獲利超過10000元的概率，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為：.命題意圖 考查線性規(guī)劃，分布列、均值與二項分布.6.（2107天津理16（2）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.6.解析 （2）設表示第一輛

17、車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.題型143 離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望與方差1.（2013湖北理9）如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為，則的均值（ ）.A B C D2（2013廣東理4）已知離散型隨機變量的分布列為： 則的數(shù)學期望（ ）.A B C D3.（2013江西理18） 小波以游戲方式?jīng)Q定參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規(guī)則為：以為起點，再從（如圖）這個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為若就參加學

18、校合唱團，否則就參加學校排球隊(1) 求小波參加學校合唱團的概率； (2) 求的分布列和數(shù)學期望4(2013湖南理18）某人在如圖所示的直角邊長為米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點記憶三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量（單位：）與它的“相近”作物株數(shù)之間的關系如下表所示：這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過米.（1）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（2）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望.5. (2013重慶理18） 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：

19、在一次摸獎中，摸獎者先從裝有個紅球與個白球的袋中任意摸出個球，再從裝有個藍球與個白球的袋中任意摸出個球，根據(jù)摸出個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎紅藍元二等獎紅藍元三等獎紅藍元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級.（1）求一次摸獎恰好摸到個紅球的概率；（2）求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額的分布列與期望.6. (2013全國新課標卷理19）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤元，未售出的產(chǎn)品，每 虧損元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品.以（單位：）表示市

20、場需求量，表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若，則取，且的概率等于需求量落入的的數(shù)學期望.7. (2013天津理16）一個盒子里裝有張卡片，其中有紅色卡片張，編號分別為， ， ， ；白色卡片張，編號分別為，從盒子中任取張卡片 (假設取到任何一張卡片的可能性相同)(1) 求取出的張卡片中， 含有編號為的卡片的概率； (2) 再取出的張卡片中， 紅色卡片編號的最大值設為， 求隨機變量的分布列和數(shù)學期望8.（

21、2013山東理19）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是，假設各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）分別求甲隊以，勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果為或，則勝利方得分、對方得分；若比賽結(jié)果為，則勝利方得分；對方得分；求乙隊得分的分布列及數(shù)學期望.9. （2013遼寧理19）現(xiàn)有道題，其中道甲類題，道乙類題，張同學從中任取道題解答.（1）求張同學至少取到道乙類題的概率；（2）已知所取的道題中有道甲類題，道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.用表示張同學答對題的個數(shù)，求的分

22、布列和數(shù)學期望.10. (2013福建理16）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品（1） 若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為,求的概率；（2） 若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？11（2013四川理18）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量在這個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生（1）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率

23、；（2）甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行次后，統(tǒng)計記錄了輸出的值為的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)運行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）乙的頻數(shù)統(tǒng)計表（部分）運行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)當時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率（用分數(shù)表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；（3）按程序框圖正確編寫的程序運行次，求輸出的值為的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望12. (2013陜西理19）在一場娛樂晚會上，有位民間歌手（至號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票

24、選出最受歡迎歌手. 各位觀眾須彼此獨立地在選票上選名歌手，其中觀眾甲是號歌手的歌迷，他必選號，不選號，另在至號中隨機選名. 觀眾乙和丙對位歌手的演唱沒有偏愛，因此在至號中隨機選名歌手. （1）求觀眾甲選中號歌手且觀眾乙未選中號歌手的概率；（2）表示號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望.13.（2013浙江理19）設袋子中裝有個紅球，個黃球，個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得分，取出一個黃球分， 取出藍球得分.（1）當時，從該袋子中任取（有放回，且每球取到的機會均等）個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)之和，.求分布列；（2）從該袋子中任?。ㄇ颐壳蛉〉降臋C會均等）個球，記隨機變量為

25、取出此球所得分數(shù).若，求14.（2014 浙江理 12）隨機變量的取值為，若，則_.15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中僅有個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.（）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為；（）放入個球后，從甲盒中取個球是紅球的概率記為.則( ).A. B. C. D. 16.（2014 陜西理 9）設樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為和，若（為非零常數(shù)， ），則的均值和方差分別為（ ）.A. B. C. D. 17.（2014 重慶理 18）（本小題滿分13分） 一盒中裝有張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中張卡片上的數(shù)字是，張卡片上的數(shù)字 是，張卡片上的數(shù)

26、字是，從盒中任取張卡片. （1）求所取張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; （2）表示所取張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望（注：若三個數(shù)滿足，則稱為這三個數(shù)的中位數(shù)）.18.（2014 遼寧理 18）（本小題滿分12分） 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立. （1）求在未來連續(xù)天里，有連續(xù)天的日銷售量都不低于個且另一天的日銷售量低于個的概率； （2）用表示在未來天里日銷售量不低于個的天數(shù)，求隨機變量的分布列，期望及方差.19.（2014 陜西理 19）（本小題滿分12分）在一塊耕地上

27、種植一種作物，每季種植成本為元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量（kg）概率作物市場價格（元/kg）概率 （1）設表示在這塊地上種植季此作物的利潤，求的分布列； （2）若在這塊地上連續(xù)季種植此作物，求這季中至少有季的利潤不少于元的概率.20.（2014 四川理 17）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得分，出現(xiàn)兩次音樂獲得分，出現(xiàn)三次音樂獲得分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除分（即獲得分）.設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.（1）設每盤游戲獲得

28、的分數(shù)為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數(shù)減少的原因.21.（2014 天津理16）（本小題滿分13分）某大學志愿者協(xié)會有名男同學，名女同學. 在這名同學中，名同學來自數(shù)學學院，其余名同學來自物理、化學等其他互不相同的個學院. 現(xiàn)從這名同學中隨機選取名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）.（1）求選出的名同學是來自互不相同學院的概率；（2）設為選出的名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.22.（2014 遼寧

29、理 18）（本小題滿分12分）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立. 日銷售量個 （1）求在未來連續(xù)天里，有連續(xù)天的日銷售量都不低于個且另一天的日銷售量低于個的概率； （2）用表示在未來天里日銷售量不低于個的天數(shù)，求隨機變量的分布列，期望及方差. 日銷售量個23.（2014 江西理 21）（本小題滿分14分） 隨機將這個連續(xù)正整數(shù)分成兩組，每組個數(shù)，組最小數(shù)為，最大數(shù)為；組最小數(shù)為，最大數(shù)為，記，. （1）當時，求的分布列和數(shù)學期望； （2）令表示事件“與的取值恰好相等”，求事件發(fā)生的概率；

30、 （3）對（2）中的事件，表示的對立事件，判斷和的大小關系，并說明理由.24.（2014 江蘇理 22）（本小題滿分10 分） 盒中共有個球，其中有個紅球、個黃球和個綠球, 這些球除顏色外完全相同 （1）從盒中一次隨機取出個球, 求取出的個球顏色相同的概率； （2）從盒中一次隨機取出個球, 其中紅球、 黃球、 綠球的個數(shù)分別記為，隨機變量表示，中的最大數(shù) 求的概率分布和數(shù)學期望25.（2014 湖南理 17）某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的. （1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率; （2）若新產(chǎn)品

31、研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得萬元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學期望.26.（2014 湖北理 20）（本小題滿分12分）計劃在某水庫建一座至多安裝臺發(fā)電機的水電站，過去年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在以上.其中，不足的年份有年，不低于且不超過的年份有年，超過的年份有年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.(1) 求未來年中，至多年的年入流量超過的概率；(2) 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關系；年入流量

32、 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？27.（2014 安徽理 17）（本小題滿分12分） 甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立. （1）求甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽的概率； （2）記為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求的分布列和均值（數(shù)學期望）.28.（2014 北京理 16）（本小題13分）李明在場籃球比賽中的投籃情況如下（假設各場比賽互相獨立）： 場次投籃

33、次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場客場主場 客場 主場客場 主場 客場 主場客場（1）從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過的概率.（2）從上述比賽中選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過，一場不超過的概率.（3）記是表中個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記為李明 在這比賽中的命中次數(shù)，比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）29.（2014 大綱理 20）（本小題滿分12分）設每個工作日甲、乙、丙、丁人需使用某種設備的概率分別為，各人是否需使用設備相互獨立.（1）求同一工作日至少人需使用設備的概率；（2）表示同一工作日需使用設備的人數(shù)，求的數(shù)學期望.30.

34、（2014 福建理 18）（本小題滿分13分） 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額. （1）若袋中所裝的個球中有個所標的面值為元，其余個均為元，求： 顧客所獲的獎勵額為元的概率； 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望； （2）商場對獎勵總額的預算是元，并規(guī)定袋中的個球只能由標有面值元和元的兩種球組成，或標有面值元和元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.31.（2015福

35、建理科16）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望31. 解析 （1）設“當天小王的銀行卡被鎖定”的事件為，則（2）依題意得，的所有可能的取值是1,2,3 ，所以的分布列為：123所以32.（2015重慶理科17）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其

36、中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.（1）求三種粽子各取到1個的概率；（2）設表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.32. 解析 （1）令表示事件“三個粽子各取到1個”，則古典概型的概率計算公式有（2）的可能取值為0，1，2，且,綜上知的分布列為：012故.33. (2015安徽理科17)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件

37、次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學期望）.33. 解析 （1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則（2）的可能取值為200,300,400，故的分布列為：20030040034.（2015山東理科19）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如等）.在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取個數(shù)，且只能抽取一次. 得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被整除，參加者得分；若能被整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分.（1）寫出所有個位數(shù)字

38、是的“三位遞增數(shù)”；（2）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學期望.34. 解析 （1）個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345；（2）由題意，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為，隨機變量的取值為：，因此，所以的分布列為：則35.（2015四川理科17）某市兩所中學的學生組隊參加辯論賽，中學推薦了名男生、名女生，中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.（1）求中學至少有1名學生入選代表隊的概率；（2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽.設標識參賽的男

39、生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.35. 分析 （1）由題意，參加集訓的男女生各有6名.“A中學至少有1名學生入選代表隊”的對立事件為“參賽學生全從B中抽取”，“參賽學生全從B中抽取”的概率為.因此，A中學至少有1名學生入選的概率為；（2）由于總共有名男生，所以的最大取值為3，又由于要抽取4人，而女生只有3人，所以至少有1名男生，所以的所有可能取值為1，2，3.由古典概型的概率公式可求出其分布列，進而求得其期望.解析 （1）由題意，參加集訓的男女生各有6名.參賽學生全從B中抽?。ǖ葍r于A中沒有學生入選代表隊）的概率為.因此，A中學至少1名學生入選的概率為.（2）根據(jù)題意，的可能取值為1，2，3.；

40、所以X的分布列為：123因此，的期望為.36.（2015天津理科17）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.36. 分析 (1)由古典概型計算公式直接計算即可； (2)先寫出隨機變量的所有可能值，求出其相應的概率，即可求概率分布列及期望.解析 (1)由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為.(

41、2)隨機變量的所有可能取值為，.所以隨機變量的分布列為：所以隨機變量的數(shù)學期望.37.（2015湖南理科18）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.37. 解析（1）記事件從甲箱中摸出的1個球是紅球，從乙箱中摸出的1個球是紅球，顧客抽獎1次獲一等獎，顧客抽獎1次獲二等獎，顧

42、客抽獎1次能獲獎.由題意與相互獨立，與互斥，與互斥，且 ，=+，.因為，所以，.故所求概率為.(2) 顧客抽獎3次可視為3次獨立重復實驗，由（）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以，于是 ，即，由此求得的分布列為：X0123P的數(shù)學期望為.38.（2016四川理12）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在次試驗中成功次數(shù)的均值是 .38. 解析 同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在次試驗中成功次數(shù)的取值為，其中， ， ，在次試驗中成功的概率為，所以在次試驗中成功次數(shù)的概率為，.39.（2016天津理16

43、）某小組共人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為，的人數(shù)分別為，.現(xiàn)從這人中隨機選出人作為該組代表參加座談會.（1）設為事件“選出的人參加義工活動次數(shù)之和為”，求事件發(fā)生的概率；（2）設為“選出的人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值”，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.39.分析 （1）先確定從這人中隨機選出2人的基本事件種數(shù)：；再確定選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：；最后根據(jù)概率公式求概率；（2）先確定隨機變量可能取值為0，1，2.再分別求出對應概率，列出概率分布，最后根據(jù)公式計算數(shù)學期望.解析 （1）由已知，得.所以事件發(fā)生的概率為.（2）隨機變量的所有可能取值為，.所

44、以隨機變量的分布列為：隨機變量的數(shù)學期望.40.（2016全國甲理18）某險種的基本保費為（單元：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234保 費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234概 率0.300.150.200.200.100.05（1）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（2）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出的概率；（3）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值40.解析 （1）設續(xù)保人本年度的保費高于基本保費

45、為事件，則（2）設續(xù)保人保費比基本保費高出為事件，（3）設本年度所交保費為隨機變量平均保費為：，所以平均保費與基本保費比值為41.（2016山東理19）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：（1）“星隊”至少猜對個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學期望.41.解析 （1）記事件:“甲第一輪猜對”，記事件：

46、“乙第一輪猜對”，記事件：“甲第二輪猜對”，記事件：“乙第二輪猜對”，記事件：“星隊”至少猜對3個成語”.由題意， 由事件的獨立性與互斥性， ，所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.（2）由題意，隨機變量的可能取值為.由事件的獨立性與互斥性，得 ， ， ， ，.可得隨機變量X的分布列為012346 所以數(shù)學期望.42.（2016全國乙理19）某公司計劃購買臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的

47、易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（1）求的分布列；（2）若要求，確定的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選用哪個？42.解析 （1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為，的概率分別為，. 從而：；.所以的分布列為：（2）由（1）知，故的最小值為.（3）記表示臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）.當時，得.當時，.可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值，故應選.43（21

48、07浙江8）已知隨機變量滿足，.若，則（ ）.A， B，C， D，43. 解析 依題意，列分布列1010所以，；，因為，所以，.故選A44.（2017山東理18）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者，和4名女志愿者，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.4

49、4.解析 （1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為，則（2）由題意知可取的值為，則，因此的分布列為01234的數(shù)學期望.45.（2107山東理8）分別從標有，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（ ）.A. B. C. D.45. 解析 由于是不放回的抽取，兩張卡片的數(shù)的奇偶性不同共有種基本情況，總的基本事件共有種，則所求事件的概率為 .故選C.46.（2107天津理16）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（1）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.46.解析 （1）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3.，.所以隨