2020屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2020屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1已知集合，則_.【答案】【解析】求出集合B，即可得出【詳解】集合集合集合故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的實(shí)部為_.【答案】-1【解析】設(shè)，再代入已知等式中計算解得，的值，即可求出的實(shí)部.【詳解】設(shè) ，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部與實(shí)部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題3下圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是_.【答案】10【解析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程

2、序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】經(jīng)過第一次循環(huán)得到結(jié)果為，此時不滿足判斷框的條件；經(jīng)過第二次循環(huán)得到結(jié)果為，此時滿足判斷框的條件.執(zhí)行輸出，即輸出10故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，在解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題4函數(shù)的定義域?yàn)開【答案】【解析】由題意得，解不等式求出的范圍后可得函數(shù)的定義域【詳解】由題意得，解得，函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)上就是求解析式中自變量的取值范圍，解題時要根據(jù)解析式的特點(diǎn)得到關(guān)于自變量的不等式（組），解不等式（組）后可得結(jié)果5已知一組數(shù)據(jù)1

3、7，18，19，20，21，則該組數(shù)據(jù)的方差是_.【答案】2【解析】先求出該組數(shù)據(jù)的平均值，再根據(jù)方差的公式計算即可.【詳解】一組數(shù)據(jù)17，18，19，20，21的平均數(shù)為該組數(shù)據(jù)的方差為：故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題6某校開設(shè)5門不同的選修課程，其中3門理科類和2門文科類，某同學(xué)從中任選2門課程學(xué)習(xí)，則該同學(xué)“選到文科類選修課程”的概率為_.【答案】【解析】先求出基本事件總數(shù)為，該同學(xué)恰好“選到文科類選修課程”包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出該同學(xué)“選到文科類選修課程”的概率【詳解】某校開設(shè)5門不同的選修課程，其中3門

4、理科類和2門文科類，某同學(xué)從中任選2門課程學(xué)習(xí)，基本事件總數(shù)為，該同學(xué)恰好“選到文科類選修課程”包含的基本事件個數(shù)為.該同學(xué)“選到文科類選修課程”的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7已知函數(shù)，則_.【答案】【解析】先求出,則，由此能求出答案.【詳解】函數(shù)故答案為： .【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8函數(shù)，取得最大值時自變量的值為_.【答案】【解析】令，解得，再根據(jù)，即可確定自變量的值.【詳解】令，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)為正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要

5、考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型9等比數(shù)列中，若，成等差數(shù)列，則_.【答案】64【解析】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，再根據(jù)，成等差數(shù)列結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出q的值，從而可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.，成等差數(shù)列故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10已知，則_.【答案】【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式求得的值，再利用二倍角的正切公式，求得結(jié)果【詳解】故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式、二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的右頂點(diǎn)為，過

6、作軸的垂線與的一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為_.【答案】2【解析】求出右頂點(diǎn)，以及雙曲線的漸近線方程，令，求得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式和離心率公式，可得所求值【詳解】雙曲線：的右頂點(diǎn)為，且雙曲線的漸近線方程為根據(jù)漸近線方程的對稱性，設(shè)其中一條漸近線為.過點(diǎn)作軸的垂線與的一條漸近線交于點(diǎn)故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可

7、得 (的取值范圍)12已知函數(shù)，互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_.【答案】14【解析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，再把轉(zhuǎn)化為，借助于基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)，互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，即，且.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.的最小值為14.故答案為：14.【點(diǎn)睛】本題考查最值求法，注意運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.1

8、3在平面直角坐標(biāo)系中，圓：上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】根據(jù)題意，求得圓的圓心與半徑，求出以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的方程，分析可得，若圓：上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則圓與圓有交點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系分析可得答案【詳解】圓：，其圓心，半徑.點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2點(diǎn)的軌跡為:又在上圓與圓有交點(diǎn)，即.或?qū)崝?shù)的取值范圍是故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值、兩平行線間的距離的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)、兩平行線間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題14在中，點(diǎn)滿足，且對任意，恒成立，則_.【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，由向量模的定義以及向量減法的幾何意義分析可

9、得，即，進(jìn)而可得、的值，結(jié)合余弦定理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，在中，點(diǎn)滿足.設(shè)，則.對任意，恒成立，必有，即，如圖所示.，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計算，涉及向量加減法的幾何意義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于綜合題二、解答題15在中，角，的對邊分別為，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，可得,再根據(jù)，即可求出；（2）由余弦定理可得：，即可推出，從而求得的值.【詳解】（1）在中，則，因?yàn)椋?在中，所以，所以.（2）由余弦定理得，則，所以，因?yàn)椋?，?【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，根據(jù)條件建立邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.解三角形

10、問題的技巧：作為三角形問題，它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理、余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”）是使問題獲得解決的突破口.16如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）取，的中點(diǎn)，連結(jié)，利用三角形的中位線性質(zhì)可證，可證四邊形是平行四邊形，可證，進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可證明平面；（2）利用線面垂直的性質(zhì)可證，又，利用線

11、面垂直的判定定理可證平面，可證，又證，利用線面垂直的判定定理可證平面，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)可證【詳解】證明：（1）取，的中點(diǎn)，連結(jié)，三角形中，為，的中點(diǎn)，所以，；三角形中，為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，從而，所以四邊形是平行四邊?所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?又因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線性質(zhì)，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題17如圖，

12、在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓：上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)在橢圓上，且位于第四象限，點(diǎn)在圓上，且位于第一象限，已知，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意知，的值，及，之間的關(guān)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，由向量的關(guān)系可得，三點(diǎn)關(guān)系，直線與圓聯(lián)立求出的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立求出的坐標(biāo)，再由向量的關(guān)系求出參數(shù)，進(jìn)而求出直線的斜率【詳解】（1）圓：的圓心，半徑，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在圓：上，所以，從而，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題，設(shè)點(diǎn)，；點(diǎn)，.則，由知點(diǎn)，共線.直線的斜率存在，可設(shè)為，則直線的方程為，由，得

13、，或，所以，由，得，解得，或，所以，代入得，又，得，所以，又，可得直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用18請你設(shè)計一個包裝盒，是邊長為的正方形硬紙片（如圖1所示），切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，再沿虛線折起，使得，四個點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)，正好形成一個正四棱錐形狀的包裝盒（如圖2所示），設(shè)正四

14、棱錐的底面邊長為.（1）若要求包裝盒側(cè)面積不小于，求的取值范圍；（2）若要求包裝盒容積最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的容積.【答案】（1）（2）當(dāng)時，包裝盒容積最大為【解析】（1）結(jié)合已知可建立側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，然后由側(cè)面積不小于，可建立關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍；（2）先利用表示出的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求其最大值【詳解】（1）在圖1中連結(jié)，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，在圖2中連結(jié)，因?yàn)槭沁呴L為的正方形，所以，由，得，因?yàn)?，即，所?因?yàn)?，由，得，所?答：的取值范圍是.（2）因?yàn)樵谥?，所以，設(shè)，所以，令，得或（舍去）.列表得，8+0-極大值所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以當(dāng)

15、時，的最大值為.答：當(dāng)時，包裝盒容積最大為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解極值及最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題19已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）【解析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可求得，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理建立不等式即可求解【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以，此時，定義域?yàn)?，令，解得；令，解得；?/p>

16、以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線.由（1）知，1）當(dāng)時，對任意，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時對任意，都有成立，從而函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；2）當(dāng)時，令，得或，其中，若，即，則對任意，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意得，且，解得，其中，即，所以的取值范圍是；若，即，則對任意，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時對任意，都有成立，從而函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；若，即，則對任意，；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對任意，都有成立；對任意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意得，解得，其中，即，所以的取值范圍是.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義，及利用導(dǎo)

17、數(shù)研究函數(shù)的的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)問題.判斷函數(shù)有無零點(diǎn)的方法： 直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)；零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)；利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)20設(shè)為正整數(shù)，若兩個項(xiàng)數(shù)都不小于的數(shù)列，滿足：存在正數(shù)，當(dāng)且時，都有，則稱數(shù)列，是“接近的”.已知無窮等比數(shù)列滿足，無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求證：對任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”；（3）給定正整數(shù)，數(shù)

18、列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此時的（均用表示）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）證明見解析（3）的最小值，此時【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由，可求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)；（2）只需證明成立，即可得證；（3）由題設(shè)可求得，根據(jù)定義進(jìn)而得到對都成立，再構(gòu)造函數(shù)求解即可【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由得，解得，故.（2）.對任意正整數(shù)，當(dāng)，且時，有，則，即成立，故對任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”.（3）由，得到，且，從而，于是.當(dāng)時，解得，當(dāng)時，又，整理得，所以，因此數(shù)列為等差數(shù)列.又因?yàn)?，則數(shù)列的公差為1，故.根據(jù)條件，對于給定正整數(shù)，當(dāng)且時，都有成立，即對都成立.考察

19、函數(shù)，令，則，當(dāng)時，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)椋援?dāng)時，即，所以在上是增函數(shù).注意到，故當(dāng)時，的最大值為，的最小值為.欲使?jié)M足的實(shí)數(shù)存在，必有，即，因此的最小值，此時.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查邏輯推理能力及運(yùn)算能力，屬于難題21已知點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn).（1）寫出矩陣的逆矩陣；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)矩陣的逆矩陣為，根據(jù)，列方程求出的逆矩陣；（2）根據(jù)題意可得 ，得出，從而求出，的值和的值.【詳解】（1）設(shè)陣的逆矩陣為，則.，解得.（2）點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，所以，得.所

20、以，所以，得.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的逆矩陣和矩陣變換問題，也考查了計算求解能力，是中檔題22求圓心在極軸上，且過極點(diǎn)與點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程.【答案】【解析】設(shè)圓的極坐標(biāo)方程是，根據(jù)點(diǎn)在圓上，解得的值，從而求得圓的極坐標(biāo)方程.【詳解】因?yàn)樗髨A的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)，故可設(shè)此圓的極坐標(biāo)方程是.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得.因此所求圓的極坐標(biāo)方程是.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.23求函數(shù)的最小值.【答案】最小值為2.【解析】先求出函數(shù)的定義域，再將函數(shù)化簡到，然后利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到“”.所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.24批量較大的一批產(chǎn)品中有的優(yōu)等品，現(xiàn)進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共取3個樣品，以表示這3個樣品中優(yōu)等品的個數(shù).（1）求取出的