一元二次方程中的整體思想(換元法)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程中的整體思想（換元法）一、內(nèi)容概述所謂整體思想就是從問題整體性質(zhì)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題及整體結(jié)構(gòu)的特性，從而導(dǎo)出局部結(jié)構(gòu)和元素的特性，這是中學(xué)數(shù)學(xué)競賽常用解題思想之一。最具體的代表就是換元法的運用。二、例題解析 初中階段，在各年級的數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)習中，時常會碰到換元法。何為換元法呢？解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去替換從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，它可以變高次為低次，化無理為有理。 （一）換元法在解方程中的應(yīng)用 我們知道，解分式方程時一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程來解；解無理方程一般用“兩邊乘方”

2、的方法，將無理方程化成有理方程來解。然而我們會碰到這樣的困難：利用這些常規(guī)的變形方法解題，往往會產(chǎn)生高次方程，解起來相當繁瑣，甚至有時難于解得結(jié)果，這可怎么辦呢？對于某些方程，我們可以用新的未知數(shù)來替換原有未知數(shù)的某些代數(shù)式，把原方程化成一個易解的方程。 1.利用倒數(shù)關(guān)系換元 例1 解分式方程： 分析：此分式方程若兩邊同時去分母的話，會產(chǎn)生高次方程，比較復(fù)雜難解。但是若稍加整理成，則可利用式子之間的倒數(shù)關(guān)系換元，這樣問題就簡單了。 解：移項整理得 設(shè)，則原方程可化為 去分母得 解得 當時， 解得 經(jīng)檢驗： 是原方程的根 所以，原方程的根為 練習1 解無理方程： 2.利用平方關(guān)系進行換元 例2

3、解方程： 分析：代數(shù)式與有平方關(guān)系，因此可以這樣解 解：設(shè)，則原方程可化為 解得， 當時， 解得 當時， 此方程無實數(shù)根 經(jīng)檢驗： 是原方程的根 所以，原方程的根為 練習2 解方程： 分析：如果這個方程兩邊平方，那么就會得到一個一元四次方程，但本題的項與的一次項，系數(shù)分別成比例，利用換元法可化成一個一元二次方程 3.利用對稱關(guān)系換元 例3 解方程組： 分析：將第二個方程左邊分解因式可得，如果設(shè)，那么原方程組可化為簡單的對稱方程組 4.均值換元 例4 分解因式 分析：初步觀察此代數(shù)式，似乎很難很快找到因式分解的方法，但仔細琢磨，發(fā)現(xiàn)兩個二次三項式很“相似”，不妨可以設(shè)，解題步驟如下： 解：設(shè)，則 原式= 當然換元法在因式分解中還有其它的應(yīng)用，比方說局部換元、和積換元、和差換元等。 5.整體代入 據(jù)已知字母的值，先求其一中間代數(shù)式的值，再將該代數(shù)式的值，整體代入式中求值。 例5 已知，那么 解：因為， ，所以 因此，原式=習題部分 1.換元法解方程： 2.因式分解： 3.解分式方程組： 4.解無理方程： 5.已知四個連續(xù)的整數(shù)為，試說明這四個整數(shù)的積加上1， 是完全平方數(shù) 6.已知，且，求的值 7.甲、乙、丙三種貨物，購買甲3件，乙