微分中值定理及其應(yīng)用1詳解

1、第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 (作業(yè)1)一選擇題1、使函數(shù)適合羅爾定理條件的區(qū)間是（ A ）A、； B、； C、； D、；3、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）與（2）在內(nèi)至少有一點，使得，之間的關(guān)系是（ B ）A、（1）是（2）的必要但非充分條件； B、（1）是（2）的充分但非必要條件；C、（1）是（2）的充分必要條件； D、（1）不是（2）的充分條件；也不是（2）的必要條件。二、填空題1、設(shè)，則方程，有 3 個實根，且其根所在的區(qū)間為 (1,2),(2,3),(3,4) 。3、方程有 1 個正根。三.計算與證明題2.證明當時，。證：設(shè)則（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格郎日定理可知，在內(nèi)至少

2、存在一點，使得即由于，因此，所以3.若方程有一個正根，驗證方程必有一個小于的正根。證明： 設(shè)由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且根據(jù)羅爾定理，使得即.顯然就是方程的一個小于的正根。4.若函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明：在（x，x）內(nèi)至少有一點，使得。證明：由于在上連續(xù)，在（x，x）內(nèi)可導(dǎo)，且，根據(jù)羅爾中值定理可知，使，同理使。又函數(shù)在上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)且，根據(jù)羅爾定理：使即5.如果，試證，其中在之間。 分析1：將兩邊同時除以得： ；繼續(xù)變形得：，于是左邊剛好與柯西中值定理的形式相同，所以可以考慮用柯西中值定理去解。證法1：設(shè)；應(yīng)用柯西中值定理可知： 即第3章 微分中值定理及其應(yīng)用

3、(作業(yè)2)一、 填空題1、的值等于 0 。 2、的值等于。4、的值等于 0 。5、的值等于 0。二、 選擇題1、的值等于（ B ）。A、1； B、0； C、； D、不存在，但不是。2、的值等于（ A ）。A、； B、； C、1； D、。3、的值等于（ B ）A、0； B、； C、2； D、不存在。三、計算與證明題1、.求解：（型）2、求 解：（型）（型）=03、求 解：5、. 求 解： =；其中= 故6、 求 解：其中=0故7、 求 解：設(shè)則=08.討論函數(shù) 在點處的連續(xù)性。解：當時，；于是 。故 在處連續(xù)。第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 (作業(yè)3)一、 填空題：1、函數(shù)的6階麥克勞林公式的余項 0 。2、函數(shù)的n次麥克勞林多項式 。3、函數(shù)在處的n次泰勒多項式二.計算與證明題2.當 時，求函數(shù) 的階泰勒公式。解： ，（在和之間）3.求函數(shù)的階麥克勞林公式。解: ， ；可表示為 第3章 微分中值定理及其應(yīng)用 (作業(yè)4)一.選擇題1.設(shè)在0,1上則或幾個數(shù)的大小順序為（ B ） A. B. C. D. 2. 設(shè)函數(shù)在上