微積分復習提綱

1、高等數(shù)學復習提綱基本內(nèi)容：1、函數(shù)基本概念及性質(zhì)?；境醯群瘮?shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。特例：為初等函數(shù)。2、極限定義：對任給，存在當時，有.（等價定義）3、無窮小的定義與性質(zhì)。1）若函數(shù)f(x)當(或)時的極限為零,則稱f(x)當(或)時為無窮小量。注：（1）無窮小量是個變量而不是個很小的數(shù).（2）零是常數(shù)中唯一的無窮小量。2）無窮小的性質(zhì)：有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小、有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、常數(shù)與無窮小的乘

2、積是無窮小、有限個無窮小的乘積也是無窮小。3）函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：的充要條件是，其中A為常數(shù)，是當(或)時的無窮小。4、無窮大的定義。若當(或)時,f(x)的絕對值無限增大,則稱函數(shù)f(x)當(或)時為無窮大量。 注：無窮大是變量,不是一個絕對值很大的數(shù)。5、無窮大與無窮小互為倒數(shù)。6、極限的運算法則。型：1）用。2）因式分解法。3）分子分母有理化法。型： 分子分母同除以一個非零因式, 如：。7、兩個重要極限。1）2）以及。會用重要極限求函數(shù)極限。8、求兩個無窮小之比極限時，分子、分母都可用等價無窮小代替。如：、 注：等價無窮小只能在乘積和商中進行，不能在加減運算中代換9、連續(xù)的兩種定義。

3、函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足三個條件：1) 在點處有定義；2）存在 ；3）極限值等于函數(shù)值，即。例：已知函數(shù) ，在處連續(xù)，則 .10、函數(shù)在點連續(xù)的充分必要條件是：（既左連續(xù)又右連續(xù)）。11、函數(shù)在點處連續(xù)與該點處極限的關(guān)系： 函數(shù)在點處連續(xù)則在該點處必有極限，但函數(shù)在點處有極限并不一定在該點連續(xù)。12、如何求連續(xù)函數(shù)的極限？連續(xù)函數(shù)極限必存在，且極限值等于函數(shù)值，即13、對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達式不同時，需根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進行討論。如：14、如何求連續(xù)區(qū)間？基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。15、間斷點的定義。1

4、6、間斷點的類型。（一）第一類間斷點 1、可去間斷點（1）在處無定義，但存在。（2）在處有定義，在處左右極限存在且相等，但是。2、跳躍間斷點：在點處左右極限都存在，但不相等，即。第一類間斷點的特點:函數(shù)在該點處左右極限都存在.（二）第二類間斷點(若與中至少有一個不存在，稱為的第二類間斷點。) 1、無窮間斷點。 2、振蕩間斷點。 是函數(shù)的何種間斷點 17、導數(shù)定義：函數(shù)在點處可導的充要條件是：在點處的左右導數(shù)都存在且相等，即。18、判斷分段點處是否可導：在分段點處應(yīng)按定義求出左右導數(shù)，在分段點處左右導數(shù)都存在且相等，則分段點可導。19、連續(xù)與可導的關(guān)系：若函數(shù)在點可導，則函數(shù)在點連續(xù)。20、函數(shù)

5、在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。21、隱函數(shù)的求導法。方程兩端對求導，是的函數(shù)，即把看成中間變量，利用復合函數(shù)求導法則求導。22、參數(shù)方程所表示函數(shù)的導數(shù)。23、對數(shù)求導法：先取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導法則求導。如：。24、可表示為，稱函數(shù)在點是可微的。 ，叫做函數(shù)在點的微分。 注：，是的線性主部。25、函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在點可導，且。（是 的線性主部）26、近似公式：。此近似公式，用來求近旁點的函數(shù)值的近似值。27、中值定理的內(nèi)容。28、洛必達法則。 注：當不存在時，并不能斷定也不存在，此時應(yīng)使用其他方法求極限。如：。29、函數(shù)單調(diào)性判別法：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導

6、。（1）如果在內(nèi)，那末函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那末函數(shù)在上單調(diào)減少。注：討論單調(diào)區(qū)間，的根（即駐點）及不存在（不可導點）的點作為定義區(qū)間的分點。30、求極值步驟：（1）求導數(shù)；（2）求出的全部駐點以及使導數(shù)不存在的點（即可能極值點）；（3）由定理2或定理3判斷極值點（用定理3判斷，的點再用定理2判斷）；（4）求出各極值點處的函數(shù)值，即得的全部極值。31、求最大（?。┲档牟襟E：1、找出在內(nèi)部的一切駐點，求出駐點處的函數(shù)值。2、找出在內(nèi)部不可導的點，求出不可導點的函數(shù)值。3、求出區(qū)間端點處的函數(shù)值。4、將所求出的所有函數(shù)值進行比較，最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。例：函數(shù)在上的最

7、小值為32、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：全體原函數(shù)構(gòu)成不定積分。即。積分運算與微分運算有如下互逆關(guān)系：1) 或 .2) 或.33、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法（湊微分法）：。第二類換元法：=。分部積分法： 。35、定積分的性質(zhì)。36、（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：，這個公式叫做積分中值公式。37、 ，為積分上限的函數(shù)（或變上限的定積分）。 它的導數(shù)是 積分上限的函數(shù)是上限的函數(shù)。會計算如：類型的題目。（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)就是在上的一個原函數(shù)。38、叫做牛頓萊布尼茲公式，又叫微積分基本公式。 計算定積分：1）先用求不定積分的方法求出一個原函數(shù)。2）把上、下限代入原函數(shù)。3）作減法運算。39、定積分的換元法：