優(yōu)化設(shè)計(jì)作業(yè)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上作業(yè)1. 闡述優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素。寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。答：建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素： （1）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機(jī)性的。 （2）約束或限制條件。 由于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來(lái)表示的。 （3）目標(biāo)函數(shù)。 這是作為系統(tǒng)決策變量的一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。2. 闡述設(shè)計(jì)可行域和不可行域的基本概念答：約束對(duì)設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍有所限制。凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)

2、空間中的可能活動(dòng)范圍，稱可行設(shè)計(jì)區(qū)域(可行域)。不能滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)空間便是不可行設(shè)計(jì)區(qū)域(不可行域)。3、無(wú)約束局部最優(yōu)解的必要條件？答： （1）一元函數(shù)(即單變量函數(shù)) 極值點(diǎn)存在的必要條件 如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f(x)存在的話，則欲使x*為極值點(diǎn)的必要條件為： f(x*)=0 但使f(x*)=0的點(diǎn)并不一定部是極值點(diǎn)；使函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點(diǎn)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)；極值點(diǎn)(對(duì)存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù))必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。至于駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)可以通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)f(x)=0來(lái)判斷。 （2）n元函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)X*存在的必要條件為 即對(duì)每一個(gè)變量的一階偏導(dǎo)數(shù)值必

3、須為零，或者說(shuō)梯度為零(n維零向量)。 f(X*)=0是多元函數(shù)極值點(diǎn)存在的必要條件，而并非充分條件；滿足f(X*)=0的點(diǎn)X*稱為駐點(diǎn)，至于駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，尚須通過(guò)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來(lái)判斷。3. 闡述約束優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的K-T條件。答：K-T條件可闡述為：如果X(k)是一個(gè)局部極小點(diǎn)，則該點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度f(wàn)(X(k)可表示成該點(diǎn)諸約束面梯度為gu(X(k)、hv(X(k)的如下線性組合：式中：q在X(k)點(diǎn)的不等式約束面數(shù)； j在X(k)點(diǎn)的等式約束面數(shù)； u(u=1,2,q)、v(v=1,2,j)非負(fù)值的乘子，亦稱拉格朗日乘子。如無(wú)等式約束，而全部是不等式約束，則式(3-20)中j0，第三項(xiàng)

4、全部為零。 也可以對(duì)K-T條件用圖形來(lái)說(shuō)明。式(3-20)表明，如果X(k)，是一個(gè)局部極小點(diǎn)，則該點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度f(wàn)(X(k)應(yīng)落在該點(diǎn)諸約束面梯度gu(X(k)、hv(X(k)在設(shè)計(jì)空間所組成的錐角范圍內(nèi)。如圖3-12所示，圖(a)中設(shè)計(jì)點(diǎn)X(k)不是約束極值點(diǎn)，圖(b)的設(shè)計(jì)點(diǎn)X(k)是約束極值點(diǎn)。 5. 給出圖中的可行設(shè)計(jì)點(diǎn)、邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)和不可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。6題圖 二維設(shè)計(jì)空間答：內(nèi)點(diǎn)X(1)、邊界點(diǎn)X(3) 均為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)，邊界點(diǎn)X(3) 為邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)，外點(diǎn)X (2)則為不可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。6、根據(jù)逼近思想所構(gòu)造的優(yōu)化計(jì)算方法的基本規(guī)則是什么？答：基本思想是：在設(shè)計(jì)空間從一個(gè)出始設(shè)計(jì)點(diǎn)X(0)開

5、始，應(yīng)用某一規(guī)定的算法，沿某一方向S(0)和步長(zhǎng)(0)產(chǎn)生改進(jìn)設(shè)計(jì)的新點(diǎn)X(1)，使得f(X(1)f(X(0)，然后再?gòu)腦(1)點(diǎn)開始，仍應(yīng)用同一算法，沿某一方向S(1)和步長(zhǎng)(1)，產(chǎn)生又有改進(jìn)的設(shè)計(jì)新點(diǎn)X(2)，使得f(X(2)f(X(1)，這樣一步一步地搜索下去，使目標(biāo)函數(shù)值步步下降，直至得到滿足所規(guī)定精度要求的、逼近理論極小點(diǎn)的X*點(diǎn)為止。7、數(shù)值迭代計(jì)算中，通常采用哪三種終止條件？答： 1)點(diǎn)距準(zhǔn)則 當(dāng)相鄰兩迭代點(diǎn)X(k)，X(k+1)之間的距離已達(dá)到充分小時(shí)，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù)時(shí)，迭代終止。一般用兩個(gè)迭代點(diǎn)向量差的模來(lái)表示，即 用X(k+1)和X(k)在各坐標(biāo)軸上的分量

6、差來(lái)表示，即 2)函數(shù)下降量準(zhǔn)則 當(dāng)相鄰兩迭代點(diǎn)X(k)，X(k+1)的目 標(biāo) 函數(shù)值的下降量已達(dá)到充分小時(shí)。即小于或等于規(guī)定的萊一很小正數(shù)時(shí)，迭代終止。一般用目標(biāo)函數(shù)值下降量的絕對(duì)值來(lái)表示，即 3)梯度準(zhǔn)則 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)X(k+1)的梯度已達(dá)到充分小時(shí)，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù)時(shí)，迭代終止。一般用梯度向量的模來(lái)表示，即 8. 對(duì)于約束極值問(wèn)題試運(yùn)用K-T條件檢驗(yàn)點(diǎn)是否為約束極值點(diǎn)。9. 說(shuō)明函數(shù)梯度的性質(zhì)。答：(l)函數(shù)f(X)在其定義空間內(nèi)某一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的梯度在這個(gè)方向上的投影；(2)梯度是矢量。函數(shù)在其定義空間中的某一點(diǎn)處，其梯度標(biāo)志著函數(shù)值增加最快或最速

7、上升的方向。注意，這僅是指f(X)在該點(diǎn)附近而言，函數(shù)在其定義空間中的每一個(gè)點(diǎn)處都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的梯度向量。負(fù)梯度方向必是函數(shù)值減小最快或最速下降的方向；(3)在目標(biāo)函數(shù)等值線或等值面上的每一點(diǎn)處，函數(shù)的梯度f(wàn)(X)指向函數(shù)等值線或等值面的外法向，亦即最速上升方向；函數(shù)在與其梯度正交的方向上變化率為零；(4)線性目標(biāo)函數(shù)的梯度是一個(gè)常值向量，即在其定義空間中，其梯度處處相同； 10.將優(yōu)化問(wèn)題s.t. 的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線勾畫出來(lái)，并確定：（1）可行域的范圍(用陰影線畫出)。（2）無(wú)約束最優(yōu)解、，約束最優(yōu)解、。（3）若再加入等式約束，約束最優(yōu)解、。10. 如圖所示為機(jī)床主軸計(jì)算簡(jiǎn)圖。在設(shè)

8、計(jì)時(shí)，有兩個(gè)重要因素需要考慮，即主軸的自重和伸出端C點(diǎn)的撓度。試建立機(jī)床主軸以主軸自重最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。其中，C點(diǎn)的撓度：；E為彈性模量。材料的密度為；外力F給定。11、選用優(yōu)化算法時(shí)，一般需考慮哪幾個(gè)因素？答：選擇優(yōu)化方法應(yīng)綜合考慮：1)設(shè)計(jì)變量是連續(xù)的還是離散的以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于編程的方法，維數(shù)高的則應(yīng)選擇收斂速度較快的方法。2)目標(biāo)函數(shù)是單目標(biāo)還是多目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在以及是否易于求得，對(duì)于求導(dǎo)困難或?qū)?shù)不存在的應(yīng)避免求導(dǎo)而采用直接法。3)有無(wú)約束，約束條件是不等式約束，還是等式約束，還是兩者同時(shí)兼有。如具有等式約束，顯然

9、不能直接采用復(fù)合形法，內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法。12.用外點(diǎn)法和用內(nèi)點(diǎn)法求解，最優(yōu)化問(wèn)題的懲罰函數(shù)。答：用內(nèi)點(diǎn)法求解 D：g(X)=x-10的約束最優(yōu)化問(wèn)題。懲罰函數(shù)為13. 優(yōu)化迭代逼近搜索中是在每一迭代點(diǎn)X(k)上利用函數(shù)在該點(diǎn)鄰近局部性質(zhì)的信息，確定一個(gè)搜索方向S(k+1)和搜索步長(zhǎng)a，求新的迭代點(diǎn)X(k+1)X(k)+S(k+1)。其中，最速下降法（梯度法）、共軛梯度法和牛頓法的搜索方向是如何確定？ 14. 什么是共軛梯度法答：共軛梯度法是共軛方向發(fā)中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軛響亮都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱作共軛梯度法。尋求共軛方向作為探索方向的最優(yōu)化方法稱為共軛梯度法

10、。15. 闡述變尺度法的基本思想答：變尺度法的基本思想梯度法和阻尼牛頓法的迭代公式，即 X(k+1)= X(k)(k)f(X(k) X(k+1)= X(k)(k)H(X(k)-1f(X(k) 變尺度法所構(gòu)成的迭代公式為 X(k+1)= X(k)(k) A(k)f(X(k) （5-18）變尺度法的搜索方向應(yīng)為S(k) = A(k)f(X(k)；A(k)是根據(jù)需要構(gòu)造的一個(gè)n×n階對(duì)稱矩陣。若在初始點(diǎn)X(0)取A(0)為單位矩陣I，則式(5-18)為的梯度法代公式，搜索方向?yàn)樨?fù)梯度方向。迭代過(guò)程不斷地修正構(gòu)造矩陣A(k)，使它在整個(gè)迭代過(guò)程中逐步地逼近目標(biāo)函數(shù)在極小點(diǎn)處的赫森矩陣的逆矩陣

11、。當(dāng)A(k)H(X(k)-1時(shí)，式(5-18)為阻尼牛頓法迭代公式。這樣,當(dāng)?shù)c(diǎn)逼近最優(yōu)點(diǎn)時(shí),搜索方向趨于牛頓方向。這種構(gòu)想,綜合了梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn),不計(jì)算H(X(k)-1,而用變化的構(gòu)造矩陣A(k)去逼近它。構(gòu)造矩陣A(k)在迭代過(guò)程中是變化的,稱為變尺度矩陣。由于變尺度法的迭代形式與牛頓法類似,不同的是在迭代公式中用A(k) 來(lái)逼近H(X(k)-1，所以又稱為“擬牛頓法”變尺度法的搜索方向S(k)= A(k)f(X(k),最終要逼近牛頓方向 S(k)= H(X(k)-1f(X(k)，故又稱為擬牛頓方向。16. 分析比較牛頓法、梯度法和Powell法的特點(diǎn)。答：梯度法 方法特點(diǎn)：需計(jì)算

12、一階偏導(dǎo)數(shù)。方法簡(jiǎn)單，可靠性較好，可穩(wěn)定地使函數(shù)值下降。對(duì)初始點(diǎn)要求不嚴(yán)。但收斂速度十分緩慢，特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)進(jìn)入最優(yōu)點(diǎn)鄰域時(shí)，更為嚴(yán)重。使用條件：目標(biāo)函數(shù)必須存在一階偏導(dǎo)數(shù)。適于精度要求不高的優(yōu)化問(wèn)題。牛頓法 方法特點(diǎn)：具有二次收斂性，在極值點(diǎn)附近收斂速度快。但要計(jì)算函數(shù)的Hessian矩陣及其逆陣。準(zhǔn)備工作量大，程序復(fù)雜，所需貯存量大。要求迭代點(diǎn)Hessian矩陣非奇異且為定型（正定或負(fù)定），要求初始點(diǎn)靠近極值點(diǎn)?？煽啃暂^差。使用條件：目標(biāo)函數(shù)存在一階或二階偏導(dǎo)數(shù)。 鮑威爾法 方法特點(diǎn)：屬于共軛方向法。具有直接法的共同優(yōu)點(diǎn)，且具有二次收斂性，收斂速度較快，可靠性也比較好。存貯量少。程序較復(fù)雜

13、。使用條件：用于維數(shù)較高的目標(biāo)函數(shù)（50維以下）其他同上。 17. 已知約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 試寫出混合型罰函數(shù)。18. 外點(diǎn)法和混合懲罰函數(shù)法都可處理同時(shí)具有等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，兩種方法在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)有何主要區(qū)別？19. 設(shè)約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為試用混合懲罰函數(shù)法構(gòu)造該問(wèn)題的懲罰函數(shù)。20. 確定目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量、約束條件應(yīng)注意哪些問(wèn)題？選擇優(yōu)化方法應(yīng)掌握哪些原則？ ¡ 答：目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。¡ 對(duì)于不同的機(jī)械設(shè)計(jì)有不同的衡量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。¡ 從使用性能出發(fā)，有要求效率最高，功

14、率利用率最好，可靠性最好，測(cè)量或運(yùn)動(dòng)傳遞誤差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，盡可能滿足某動(dòng)力學(xué)參數(shù)要求等等。¡ 從結(jié)構(gòu)型式出發(fā)，有要求重量最輕，體積最小等等。¡ 從經(jīng)濟(jì)性考慮，有要求成本最低，工時(shí)最少，生產(chǎn)率最高，產(chǎn)值最大等等。¡ 往往要求同時(shí)兼顧幾方面的要求。¡ 一般說(shuō)來(lái)，目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計(jì)結(jié)果越趨完善，但優(yōu)化設(shè)計(jì)的難度也相應(yīng)增加。實(shí)際使用中應(yīng)盡量控制目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，抓問(wèn)題的主要矛盾，針對(duì)影響機(jī)械設(shè)計(jì)的質(zhì)量和使用性能最重要、最顯著的問(wèn)題來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)，保證重點(diǎn)要求的實(shí)現(xiàn)，其余的要求可處理成設(shè)計(jì)約束來(lái)加以保證。¡ 設(shè)計(jì)變量是在設(shè)計(jì)過(guò)

15、程中需要進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)。¡ 凡能影響設(shè)計(jì)質(zhì)量或結(jié)果的可變參數(shù)均可作為設(shè)計(jì)變量¡ 總原則應(yīng)該在確保優(yōu)化效果的前提下,盡可能地減少設(shè)計(jì)變量。¡ 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)某一種參數(shù)是否作為設(shè)計(jì)變量，必須考察這種參數(shù)是否能夠控制，實(shí)行起來(lái)是否便利，制造加工成本如何以及允許調(diào)整范圍等實(shí)際問(wèn)題。¡ 參數(shù)中對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響最大的那些獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量。¡ 力求選取容易控制調(diào)整的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量。¡ 對(duì)有關(guān)材料的機(jī)械性能，由于可供選用的材料往往是有限的，而且它們的機(jī)械性能又常常需要采用試驗(yàn)的方法來(lái)確定，無(wú)法直接控制，所以作設(shè)計(jì)常量處理較

16、為合理。那些根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)或資料可確定的參數(shù)，受工廠條件限制無(wú)法隨意變動(dòng)的參數(shù)，也都應(yīng)取作設(shè)計(jì)常量。¡ 對(duì)于應(yīng)力、應(yīng)變、壓力、撓度、功率、溫度等等設(shè)計(jì)者不能直接判斷，而是一些具有一定函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出的因變量，當(dāng)它們?cè)跀?shù)學(xué)上易于消去時(shí)，也可不定為設(shè)計(jì)變量。但如果避免這種參數(shù)在數(shù)學(xué)上有困難,可取為設(shè)計(jì)變量。 ¡ 設(shè)計(jì)約束是考慮邊界和性能對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制條件。¡ 邊界約束規(guī)定設(shè)計(jì)變量的取值范圍，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，先對(duì)每個(gè)設(shè)計(jì)變量都給出明確的上、下界限約束是完全可能的。盡管其中某些約束會(huì)由于引入其它約束條件成為不起作用的消極約束，但對(duì)求解中確定計(jì)算初始點(diǎn)，估計(jì)可行區(qū)域，判斷結(jié)果合理性等都會(huì)帶來(lái)好處。¡ 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)于一個(gè)性能指標(biāo)，可以取為目標(biāo)函數(shù)，也可以定為設(shè)計(jì)約束(或稱為性能約束)。如機(jī)械設(shè)