巧用數(shù)形或形數(shù)結(jié)合思想解數(shù)學(xué)題com

1、巧用數(shù)形或形數(shù)結(jié)合思想解數(shù)學(xué)題環(huán)江縣大才中學(xué) 盧云【摘要】：數(shù)形或形數(shù)結(jié)合的思想都來源于數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)知識體系是統(tǒng)一的、互相貫通的。數(shù)就是從丈量幾何線段的長度、幾何圖形的面積等得到的。反之，幾何圖形也可以表示數(shù)，如數(shù)軸上的點。因此，我們在解題時，若能正確、靈巧地運用數(shù)形或形數(shù)結(jié)合思想，把數(shù)學(xué)的知識統(tǒng)一起來，即把“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來，就能拓寬解題思路，大大提高解題效益，以下我們將就如何巧用數(shù)形結(jié)合思想與形數(shù)結(jié)合思想來解數(shù)學(xué)題，分別進行討論?！娟P(guān)鍵詞】：數(shù)形結(jié)合思想、形數(shù)結(jié)合思想一、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的巧用數(shù)形結(jié)合思想方法的特點是由數(shù)思形，將抽象的數(shù)式化成直觀的圖形，以形助數(shù)。1當遇

2、到用代數(shù)方法所有能或難以解決的代數(shù)問題時，若能巧妙地把幾何中的圖形與代數(shù)問題結(jié)合起來，則會對解題有很大的幫助。利用數(shù)形結(jié)合解題的關(guān)鍵是建立數(shù)形對應(yīng)，把握好數(shù)形轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題簡單化、明朗化，抽象問題形象化、具體化，從而達到解決問題的目的。以下就以幾個例子來說明數(shù)形結(jié)合思想的解題妙處。例1：求函數(shù)的最小值。分析：該題若是運用函數(shù)的什域來求函數(shù)的最小值，則較繁鎖且不易運算。若根據(jù)函數(shù)式聯(lián)想到點間距離公式，把問題化歸幾何量的最值，則簡單明了。解：用配方法把函數(shù)式寫為：yB0X+2y=3圖2y0BAA圖1xAx問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點p(x,o)，使p分別到點A（1，2）與B（2，3）的距離之和最小，

3、取點A(1,2)關(guān)于x軸的對稱點A(1,2)，則 2例2：在滿足x+2y3，x0，y0的條件下，2x+y能達到的最大值是 。（2000年希望杯第十一屆初一第二試試題）分析：若能由代數(shù)不等式聯(lián)想到直角坐標系中直線與坐標軸的截距，采用幾何方法來解，則能優(yōu)化解題。解：如圖所示，在平面直角坐標系中，作出x+2y=3，滿足條件x0，y0，x+2y3約束的點集是圖中x+2y=3這條直線與x、y軸圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），要求s=2x+y的最大值，把s=2x+y變形為y=-2x+s其相應(yīng)的圖像是斜率為-2的平行直線束，欲求s的最大值，轉(zhuǎn)化為平行線通過三角形時截距的最大值。顯然，當平行直線束的直線，通過A

4、（3，0）時，截距最大，此時S=6。例3：某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3片，磁盤至少買2盤，則不同的選購方法共有（ ）。（A）5種 （B）6種 （ C）7種 （D）8種（2000年武漢初三數(shù)學(xué)選拔賽試題）分析：該題看上去似乎與幾何沾不上一點邊，Bycx=3Ay=2x圖30但如果看了下面我們用幾何法來解，你就會覺得太妙了！略解：設(shè)軟件和磁盤分別是x片和y盤。由題意，x3，y2，60x+70y500，在同一平面直角坐標系中作出x=3，y=2，60x+70y=500，三條直線的圖象，它們的交點分別是A（6，2）、B（3，

5、），C（3，2），問題轉(zhuǎn)化為ABC區(qū)域（包括邊界）的格點，個數(shù)一共有（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（3，3），（3，4），（4，3）7個格點。方案有7種，選（C）例4：已知一元二次方程x2+5mx+n=0的兩根在一元二次方程x2+5mx+3n-5=0的兩根之間，0y1y2xy圖4求n的最大整數(shù)值。解：一元二次方程x2+5mx+n=0的兩根在一元二次方程x2+5mx+3n-5=0的兩根之間，即：函數(shù)y1=x2+5mx+n與x軸的交點在函數(shù)y2=x2+5mx+3n-5與x 軸的交點之間。2又函數(shù)y=x2+5mx+n與y=x2+5mx+3n-5的開口方向大小相同，且頂點橫坐標均 ，

6、只需函數(shù)y=x2+5mx+n的頂點在函數(shù)y=x2+5mx+3m-5的上方即可，即： 解得: n的最大整數(shù)值為2。評注：本題的解題關(guān)鍵是把方程問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)圖象問題來解。二、形數(shù)結(jié)合思想在解題中的巧用形數(shù)結(jié)合思想方法的特點與數(shù)形結(jié)合思想方法的特點正好相反，形與數(shù)結(jié)合的概念：對圖形的認識與對數(shù)量的認識結(jié)合起來，也就是研究幾何的固有特點的同時聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達到形與數(shù)的結(jié)合。（4）在一些幾何問題中，當出現(xiàn)較多等量關(guān)系時，常常感到用幾何方法難以解答。此時，若能利用代數(shù)方法來結(jié)合圖形的性質(zhì)，即用數(shù)表示各向何量并列出各幾何量之間的代數(shù)關(guān)系式（或方程、方程組），并用代數(shù)方法解之，我們就會發(fā)現(xiàn)原

7、本復(fù)雜的幾何題被我們簡化了。在此我通過幾道形數(shù)結(jié)合的例題來演示如何用形數(shù)結(jié)合思想優(yōu)化解題。例5：已知如圖5，P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點，求證：ADQQCP。分析：四邊形ABCD是正方形，且BP=3PC，Q是CD中點，若我們設(shè)正方形ABCD邊長為4，則即可得到BP、PC、DQ、QC的具體值，最后可通過相似三角形各對應(yīng)兩兩之比的比值相等這一性質(zhì)得出ADQ QCP。P圖5ABDC1224證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為4，則AD=4，DQ=QC=2，CP=1 且DC90 ADQQCP例6：如圖6，已知等邊ABC中，點P.Q.R分別在AB、BC、CA上,且PQBC,

8、QRAC . RPAB（1）求證：PQR是等邊三角形；（2）如果ABC的面積是S，求PQR的面積。（上海市中考題）簡析：由題中條件直接證PQ=QR=RP非常困難。幾何法難以證明，則我們應(yīng)該考慮代數(shù)法，若用設(shè)元法，尋找各幾何量的關(guān)系，聯(lián)立方程組，則可順利獲解。解：（1）設(shè)AB=BC=CA=a，PA=x，BQ=y，CR=Z，因為ABC為等邊三角形，則ABC60，又RPAB，PQBC，QRAC圖6CBAPRQARPBPQRQC30，則AR=2AR=2x，RP=x。同理，BP=2y，PQ=y，CQ=2z，QR=z，于是有： 解之得：x = y = z =aRP=PQ=QR=a，即PQR是等邊三角形。（

9、2）由PQRABC得： 例7：已知如圖7，在矩形ABCD中，CHBD于H，AE平分BAD，AE交HC的延長線于E，求證：CE=BD。分析：由題中條件直接證明CE=BD很困難，且該題中出現(xiàn)的等量關(guān)系較多，則我們可以考慮用代數(shù)方法。證明：設(shè)與ACB相等的角為x，在矩形ABCD中，AC和BD是對角線，且CHBD。ACB=DBC=HCD=x。BCD=90xFABDCOxx圖7EACH=90- 2x = 1 + E由ACH=1+E，又由AFB=1+x 得: 解得1=EAC=CE，又BD=AC，CE=BD評注：不能看出，解這道題的關(guān)鍵是證明1=E，本題在證明這兩個角相等時采用的方法別致新穎，是巧用了形數(shù)結(jié)

10、合思想。5例8：如圖8，正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個小矩形，P是EF與GH的交點。若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定HAF的大小，并證明你的結(jié)論。（1998年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽試題）。分析：此題是結(jié)論未知型探索GB圖8CAMDHPFxE1試題，出現(xiàn)的等量關(guān)系較多，我們可用設(shè)元法解。 簡解：設(shè)正方形的邊長為a， AE=BF=x，AG=DH=y， 則2xy=(a-y)(a-x)，即a（x+y）=a2-xy 而FH2=(a-x)2+(a-y)2 =x2 + y2 - 2a(x+ y )+2a2 =x2 + y2 - 2(a2 - xy ) + 2a

11、2 =x2 + y2 + 2x y = (x+y)2FH=x+y，又BF + DH =x+yFH = BF + DH . （這是解題的關(guān)鍵）延長FB至M使BM=DH，則RtABMRtADH，1=2，AM=AH，MAH=1+BAH=90又易證AMFAHFHAF=MAF= MAH=45數(shù)形結(jié)合思想方法與形數(shù)結(jié)合思想方法都是中學(xué)階段的重要思想方法。雖然數(shù)形結(jié)合是由數(shù)思形，而形數(shù)結(jié)合是由形思數(shù)，兩者的特點不同，但數(shù)形結(jié)合與形數(shù) 結(jié)合都是“數(shù)”與“形”的相互結(jié)合與相互滲透。數(shù)學(xué)最基本的要素就是“數(shù)”與“形”，把數(shù)學(xué)的兩個基本要素結(jié)合起來，能發(fā)揮學(xué)生無窮無盡的想象空間并發(fā)散學(xué)生的思維，而且它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美和無窮的魅力。作為一名中學(xué)教師，在今后的數(shù)學(xué)研究中，若能有意識