平面與空間直線

1、第3章 平面與空間直線 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程：（1）通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)且平行于矢量的平面（2）通過(guò)點(diǎn)和且垂直于坐標(biāo)面的平面；（3）已知四點(diǎn)，。求通過(guò)直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過(guò)直線AB且與平面垂直的平面。解： （1） ，又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程為： 一般方程為：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于軸，即與所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的參數(shù)方程為：一般方程為：，即。（3）（）設(shè)平面通過(guò)直線AB，且平行于直線CD： ，從而的參數(shù)方程為：一般方程為：。（）設(shè)平面通過(guò)直線AB，且垂直于所在的平面， 均與平行，所以的參數(shù)式方

2、程為：一般方程為：.2.化一般方程為截距式與參數(shù)式： .解： 與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：，所以，它的截距式方程為：.又與所給平面方程平行的矢量為：， 所求平面的參數(shù)式方程為：3.證明矢量平行與平面的充要條件為：.證明： 不妨設(shè)，則平面的參數(shù)式方程為：故其方位矢量為：，從而平行于平面的充要條件為：，共面.4.已知：連接兩點(diǎn)的線段平行于平面，求里的坐標(biāo).解： 而平行于由題3知：從而. 3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置1.計(jì)算下列點(diǎn)和平面間的離差和距離：（1）， ；（2）， .解： 將的方程法式化，得： ，故離差為：，到的距離（2）類(lèi)似（1），可求得，到的距離2.求下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）在軸上且到平面的距離等

3、于4個(gè)單位的點(diǎn)；（2）在軸上且到點(diǎn)與到平面距離相等的點(diǎn)；（3）在x軸上且到平面和距離相等的點(diǎn)。解：（1）設(shè)要求的點(diǎn)為則由題意 或7.即所求的點(diǎn)為（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）設(shè)所求的點(diǎn)為則由題意知：由此，或-82/13。故，要求的點(diǎn)為及。（3）設(shè)所求的點(diǎn)為，由題意知：由此解得：或11/43。所求點(diǎn)即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為，計(jì)算從頂點(diǎn)向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程為：所以，高。4.求中心在且與平面相切的球面方程。解：球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：. 3.3 兩平面的相關(guān)位置1.判別下列各對(duì)直

4、線的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與。解：（1） ， （1）中的兩平面平行（不重合）；（2） ， （2）中兩平面相交；（3） ， （3）中兩平面平行（不重合）。2.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示二平行平面；（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：即：從而：，。（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：所以： 。3.求下列兩平行平面間的距離：（1），；（2），。解：（1）將所給的方程化為：所以?xún)善矫骈g的距離為：2-1=1。（2）同（1）可求得兩平行平面間的距離為1+2=

5、3。4.求下列個(gè)組平面成的角：（1），；（2），。解：（1）設(shè)：，： 或。（2）設(shè)：，： 或。 3.4空間直線的方程1.求下列各直線的方程：（1）通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線；（2）通過(guò)點(diǎn)且平行于兩相交平面：的直線；（3）通過(guò)點(diǎn)且與三軸分別成的直線；（4）通過(guò)點(diǎn)且與兩直線和垂直的直線；（5）通過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線。解：（1）由本節(jié)（3.46）式，得所求的直線方程為：即：，亦即。（2）欲求直線的方向矢量為：所以，直線方程為：。（3）欲求的直線的方向矢量為：，故直線方程為：。（）欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（）欲求的直線的方向矢量為：，所以直線方程為：。.求以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：（）在直線上與原點(diǎn)

6、相距個(gè)單位的點(diǎn)；（）關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)。解：（）設(shè)所求的點(diǎn)為，則：又即：，解得：或所以要求的點(diǎn)的坐標(biāo)為：。（）已知直線的方向矢量為：，或?yàn)?，過(guò)垂直與已知直線的平面為：，即，該平面與已知直線的交點(diǎn)為，所以若令為P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則：，即。.求下列各平面的方程：（）通過(guò)點(diǎn)，且又通過(guò)直線的平面；（）通過(guò)直線且與直線平行的平面；（）通過(guò)直線且與平面垂直的平面；（）通過(guò)直線向三坐標(biāo)面所引的三個(gè)射影平面。解：（）因?yàn)樗蟮钠矫孢^(guò)點(diǎn)和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程為：即。（）已知直線的方向矢量為，平面方程為：即（）要求平面的法矢量為，平面的方程為：，即。（4）由已知方程分別消去，得到：，此即為三個(gè)射影平面

7、的方程。4.化下列直線的一般方程為射影式方程與標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出直線的方向余弦：（1） （2）（3）解：（1）直線的方向數(shù)為：射影式方程為： ，即，標(biāo)準(zhǔn)方程為：，方向余弦為：，。（2）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為：，即標(biāo)準(zhǔn)方程為：，方向余弦為：，。（3）已知直線的方向數(shù)為：，射影式方程為： ，標(biāo)準(zhǔn)式方程為：，方向余弦為：，。 3.5直線與平面的相關(guān)位置1.判別下列直線與平面的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與。解：（1），而，所以，直線與平面平行。（2）所以，直線與平面相交，且因?yàn)?，直線與平面垂直。（3）直線的方向矢量為：，而點(diǎn)在直線上，又，所以，直線在平面上。（4）直線的方

8、向矢量為， 直線與平面相交。2.試驗(yàn)證直線：與平面：相交，并求出它的交點(diǎn)和交角。解： 直線與平面相交。又直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為： 設(shè)交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，從而交點(diǎn)為（1，0，-1）。又設(shè)直線與平面的交角為，則：，。3.確定的值，使：（1）直線與平面平行；（2）直線與平面垂直。解：（1）欲使所給直線與平面平行，則須：即。（2）欲使所給直線與平面垂直，則須：所以：。4.決定直線和平面的相互位置。解：在直線上任取，有： 這表明在平面上，所以已給的直線處在已給的平面上。 3.6空間直線的相關(guān)位置1.直線方程的系數(shù)滿(mǎn)足什么條件才能使：（1）直線與軸相交； （2）直線與軸平行； （3）直線與軸重合。解：（1

9、）所給直線與軸相交 使且 且 ，不全為零。（2）軸與平面平行 又軸與平面平行，所以 即，但直線不與軸重合， 不全為零。（3）參照（2）有，且。2.確定值使下列兩直線相交：（1）與軸；（2）與。解：（1）若所給直線相交，則有（類(lèi)似題1）：從而 。（2）若所給二直線相交，則從而：。3.判別下列各對(duì)直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面；如果是異面直線，求出它們之間的距離。（1）與；（2）與；（3）與。解：（1）將所給的直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，為：（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）二直線平行。又點(diǎn)與點(diǎn)（7，2，0）在二直線上，矢量平行于二直線所確定的平面，該平面的法矢量為：，從

10、而平面方程為：，即 。（2）因?yàn)椋本€是異面的。二直線的距離：。（3）因?yàn)?，但是?：2：（-1）4：7：（-5）所以，兩直線相交，二直線所決定的平面的法矢量為，平面的方程為：。4.給定兩異面直線：與，試求它們的公垂線方程。解：因?yàn)?，公垂線方程為：即，亦即。 3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置1.直線通過(guò)原點(diǎn)的條件是什么？解：已知直線通過(guò)原點(diǎn)故條件為。2.求點(diǎn)到直線的距離。解：直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以，p到直線的距離為：。 3.8 平面束1.求通過(guò)平面和的交線且滿(mǎn)足下列條件之一的平面：（1）通過(guò)原點(diǎn)； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設(shè)所求的平面為：欲使平面通過(guò)原點(diǎn)，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設(shè)，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）所設(shè)，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面