工科物理教程練習50 剛體的定軸轉動

1、,練習5 剛體的定軸轉動剛體定軸轉動的概念5.1 正誤判斷,如是錯誤的,指出錯在哪里。(1) 在傳統(tǒng)建筑中關門開窗,門窗是平動;(2) 火車在拐彎時的運動是轉動;(3) 地球自西向東自轉,其自轉角速度矢量指向地球北極;(4) 剛體繞定軸作勻速轉動時,其線速度不變;(5) 剛體繞z軸作逆時針減速定軸轉動時,其所受力矩M,角速度和角速度均指向z軸正方向;(6) 處理定軸轉動問題時,總要取一個轉動平面S,只有S面上的分力對軸產(chǎn)生的力矩才能對定軸轉動有貢獻;(7) 力對軸的力矩M的方向與軸平行;(8) 質(zhì)量固定的一個剛體,可能有許多個轉動慣量。分析與解答（1）錯誤。建筑物中，推拉門窗是手動，凡用鉸鏈連

2、接的門窗，開關門窗時，門窗是轉動。（2）（3）正確。（4）錯誤。剛體作定軸轉動時，各質(zhì)元的線速度=是不等的。整個剛體沒有統(tǒng)一的線速度。（5）錯誤。按題意，的方向為方向。因減速轉動，故的方向指向。由M=I，的方向與的方向一致。（6）（7）（8）正確。5.2 為什么要用角量來描述剛體定軸轉動規(guī)律?某剛體繞z軸轉動,設以逆時針轉向為正,則下列情況下說明剛體的轉向以及它作加速還是減速轉動。(1) 0 , 0 , 0 ;(3) 0 , 0; (4 ) 0。分析與解答由于剛體定軸轉動時，剛體上各點均繞轉軸作圓周運動，因此各點的角量是相同的（如角位移，角速度，角加速度），而線量則是不同的（如位移，速度，加速

3、度），所以要用角量來描述剛體的定軸轉動。（1） 0，0，0時，剛體作逆時針加速轉動；（3） 0，0時，剛體作順時針加速轉動；（4） 0時，剛體作順時針減速轉動；關于轉動慣量5.3 試討論分析:(1) 轉動慣量I的意義。(2) 列出I的表達式,說明I取決于哪些因素?(3) 轉動慣量I與質(zhì)量m的相似點與區(qū)別。(4) 質(zhì)點作圓周運動時,有轉動慣量嗎? 若有,等于多少?分析與解答（1）I是剛體轉動慣量大小的量度。（2）I=，說明不僅與剛體的總質(zhì)量有關，還取決于轉軸的位置和質(zhì)量的分布。（3）I與m均表示運動慣性大小。但對同一剛體而言，只有一個m，但可能有許多個I，因為I與轉軸有關，同一剛體沿不同的轉軸轉

4、動，就有不同的I。(4)有。且。5.4 從轉動慣量I 的概念來分析判斷: (1) 設想有一根異質(zhì)桿子,一半是鐵,一半是木頭(見圖),長度、截面均相同, 可分別繞a,b,c軸轉動, 試問對哪個軸的轉動慣量I 最大?(2) 兩個質(zhì)量、直徑相同的飛輪,以相同的繞中心軸轉動,一個是圓盤形A,一個圓環(huán)狀B,在相同阻力矩作用下,誰先停下來? 題5.4圖(3) 將質(zhì)量相同的一個生雞蛋和一個熟雞蛋放在桌面上并使它們旋轉, 如何判定哪個是生的,哪個是熟的?分析與解答（1）由轉動慣量表達式I=可知，轉動慣量不僅與物體的密度有關，還與回轉半徑有關，因此密度大的部分其回轉半徑也大，其轉動慣量較大，所以對c軸的轉動慣量

5、最大，對a軸次之，對b軸最小.(2)圓環(huán)狀B物體的轉動慣量較大，由轉動定律M=I，在阻力矩M相同的情況下，A物體的減速角加速度較大，兩者角速度w相同，因而A物體應先停下來。(3)生雞蛋在旋轉時，由于慣性蛋清會被甩向蛋殼集聚，使轉動慣量增大，由動矩量矩守恒，增大減小。而熟雞蛋的I不變。則在同樣的阻力矩作用下，生雞蛋先停下來。5.5 在弄清概念的基礎上, 要求能正確查表并填空:(1) 半徑為R、質(zhì)量為m的球體, 對過球心軸的轉動慣量I = ;(2) 質(zhì)量為m、長度為l 的均勻細棒, 對過中心、且垂直于棒的c（質(zhì)心） 軸的轉動慣量I = ;(3) 利用平行軸定理可知, 在( 2) 中對過棒的任一位置

6、且平行于c 軸的轉動慣量I = ;(4) 在(2 )中棒的兩端各連一個質(zhì)量均為m 的小球, 根據(jù)疊加原理, 系統(tǒng)對c 軸的轉動慣量I = 。分析與解答查閱工科物理教程表，得(1)m (2)(3) (式中，d為轉軸到c的距離)(4)棒對c軸的轉動慣量;兩小球對c軸的轉動慣量。則系統(tǒng)對c軸的轉動慣量為定軸轉動定律5.6 下列各種敘述中, 哪些是正確的?(1) 剛體受力作用必有力矩;(2) 剛體受力越大, 此力對剛體定軸的力矩也越大;(3) 如果剛體繞定軸轉動, 則一定受到力矩的作用;(4) 剛體繞定軸的轉動定律表述了對軸的合外力矩與角加速度間的瞬時關系;(5) 在M= I中, M, I ,必須對同

7、一轉軸而言, 否則此式不成立。分析與解答（1）（2）錯誤。因為力矩M=rF,若F，r=0時，M =0。同樣F越大，M也不一定越大。（3）錯誤。剛體繞定軸勻速轉動時，合外力矩M =0。（4）（5）正確。5.7 如圖所示, 兩條質(zhì)量和長度相同的細棒A 和B, 可分別繞通過中點O和左端O的水平軸轉動, 設它們在右端都受到一個鉛直力F 作用, 試比較它們繞各自轉軸的角加速度A 與B 的大小。分析與解答因為 代入轉動定律 M=I得 ； 可見。題5.7圖 題5.8圖 題5.9圖5.8 如圖所示,長為l的均質(zhì)細桿左端與墻用鉸鏈A連接,右端用一鉛直細繩B懸掛,桿處于水平靜止狀態(tài),若繩B被突然燒斷,則桿右端的加

8、速度為多少?分析與解答 燒斷繩時，桿將在重力矩的作用下，繞A軸轉動。由轉動定律有 則右端的加速度為 。5.9 一均質(zhì)細桿AB 長為l ,質(zhì)量為m。兩端用細線吊起并保持水平(如圖)。現(xiàn)將B 端的細線剪斷, 試求剪斷瞬間A 端細線中的張力.分析與解答B(yǎng)端細線被剪斷后，細桿將在重力矩作用下，繞A軸轉動，其角加速度為，同時其質(zhì)心的加速度為。根據(jù)轉動定律，有 又根據(jù)質(zhì)心運動定律，有 由于 聯(lián)立式，式，式求解得，此時A端細繩的張力為 5.10 一細繩繞在半徑為r 的定滑輪邊緣, 滑輪對轉軸O的轉動慣量為I,滑輪與軸承間的摩擦不計,今用恒力F拉繩的下端(見圖(a)或懸掛一重量P = F 的物體(見圖(b)

9、,使滑輪自靜止開始轉動。分別求滑輪在這兩種情況下的角加速度。分析與解答如圖（a）情況下，繩子的張力。按轉動定律有 故在圖（b）情況下，有 解得 題5.10 圖 題5.11 圖5.11 一個組合輪軸由兩個同軸的圓柱體固結而成,可繞光滑的水平對稱軸OO轉動。設大小圓柱體的半徑分別為R 和r , 質(zhì)量分別為M和m, 繞在兩圓柱體的上細繩分別與質(zhì)量為m1和m2 (m1 m2)的物體A、B 相連(如圖) 。試求:( 1) 兩物體的加速度;( 2) 繩子的張力;( 3) 輪軸的角加速度。分析與解答分別對物體A，B和輪軸作受力分析（見圖b），根據(jù)牛頓運動定律和轉動定律，有對A： 對B： 對輪軸： I= 解式

10、 方程組得 ， ， 5.12 兩皮帶輪A和B, 質(zhì)量和半徑分別為mA、RA和mB、RB,并都視為均質(zhì)圓盤。輪A 用電動機拖動,并施以力矩M,輪B上有負載力矩M如圖所示。皮帶與輪間無滑動, 且不計皮帶質(zhì)量和軸的摩擦,試求:( 1) 兩輪的角加速度A 和B ; 題5.12 圖( 2) 若將同一力矩M作用在B 輪上, A 輪的負載力矩為M, 再求兩輪的角加速度A 和B 。分析與解答（1）A，B兩輪的受力情況如圖（b）所示，分別繞各自的軸轉動，由轉動定律有對A： 對B： 由于皮帶和輪間不打滑，故兩輪與輪緣各點的 題5.12 圖線速度和切向加速度應相等，故有： 聯(lián)立求解式，式，式，式，并考慮到，得： （

11、2）按題意，兩輪受力情況如圖（c）所示，則轉動方程有對A： 對B： 且 聯(lián)立式，式，式，解得 力矩的時間累積效應5.13 填空:剛體繞定軸轉動, 對該定軸的動量矩表達式為 ;作用在剛體的外力的沖量矩為 ; 動量矩定理的表達式為 。分析與解答（略）5.14 動量矩守恒的條件是什么? 下列說法中, 哪些是錯誤的? 錯在哪里?( 1) 始末兩狀態(tài)的動量矩相同, 表明動量矩守恒;( 2) 動量矩守恒時, 始末狀態(tài)的角速度必相同;( 3) 要使剛體的動量矩守恒, 其轉動慣量I 必然保持恒定;( 4) 剛體的動量矩守恒, 其動量也守恒。分析與解答動量矩守恒的條件是：合外力矩為零。（1）錯誤。動量矩守恒是動

12、量矩時時刻刻都保持不變，不僅僅是始末狀態(tài)的動量矩相同。（2）錯誤。動量矩是轉動慣量與角速度的乘積，即L=，在動量矩守恒的情況下，若轉動慣量發(fā)生變化，其角速度也隨之改變，故始末狀態(tài)的角速度w不一定相同。（3）錯誤。原因同上。（4）錯誤。因為合外力矩為零時，其合外力不一定為零，如質(zhì)點作勻速圓周運動時，其動量矩守恒，但動量卻不守恒。5.15 衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動的過程中, 下述說法哪種是正確的?(A) 衛(wèi)星的動量矩守恒;(B) 衛(wèi)星的動量矩不守恒;(C) 衛(wèi)星的動量守恒;(D) 衛(wèi)星的機械能不守恒。分析與解答衛(wèi)星在運動過程中，只受萬有引力作用，由于萬有引力是保守力，且恒指向、與地球的連線方向，力

13、矩為零，因此，機械能和動量矩守恒。故（A）是正確的。5.16 如圖所示, 有一半徑為R 的水平圓轉臺, 可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉動, 轉動慣量為I , 開始時轉臺以勻角速度0 轉動, 此時有一質(zhì)量為m 的人站在轉臺中心, 隨后人沿半徑向外跑去, 當人到達轉臺邊緣時轉臺的角速度為多少?分析與解答 取人和轉臺為研究對象，在人從中心走向邊緣的過程中，系統(tǒng)所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的動量矩守恒。有則 題5.16圖 題5.17圖 題5.18圖5.17 在雜技節(jié)目蹺板中, 演員甲從h高的跳臺上自由下落到蹺板的一端A, 并把蹺板另一端的演員乙彈了起來。設蹺板是勻質(zhì)的, 長度為l, 質(zhì)量為m,支撐點在板

14、的中部C點, 蹺板可繞點C 在豎直平面內(nèi)轉動( 如圖)。演員甲、乙的質(zhì)量均為m。假定演員甲落到蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞。試求: (1 ) 碰后蹺板的角速度( 也是甲、乙的角速度) ; ( 2) 演員乙被彈起的高度h。分析與解答（1）甲由h高處自由下落，至與板碰撞前的速度為得 碰撞前后，取甲，乙和板為系統(tǒng)，滿足動量矩守恒條件，即得 （2）碰后，乙被向上彈起的初速度為則乙被彈起的高度可由求出即 5.18 在一項微型技術中, 用一根質(zhì)量很小、長度為l的均勻細桿作為微型機器人的輸送通道, 細桿可繞通過其中心點O并與紙面垂直的軸轉動(如圖) , 當桿靜止于水平位置時, 微型機器人以速率v0

15、垂直落在距O點為1l/4 處, 并向細桿端點A 運動。設桿與機器人的質(zhì)量均為m。試求: ( 1)機器人剛落到桿上時,細桿的角速度; ( 2)欲使細桿以此恒定的角速度轉動,求微型機器人向A 端運動的速率隨時間變化的規(guī)律。分析與解答（1） 取機器人與桿為系統(tǒng)，機器人落到桿上前后，滿足動量矩守恒的條件。即 （2） 設機器人運動到P點，OP=r，此時對桿和機器人系統(tǒng)而言，只受到地球對機器人的重力矩作用，即此時系統(tǒng)對O軸的轉動慣量為根據(jù)動量矩定理，并考慮保持不變，有 即 以代入，得 力矩的空間累積效應5.19 剛體定軸轉動時, 對該定軸而言( 1) 外力矩的功A= ;( 2) 剛體的轉動動能Ek = ;

16、( 3) 動能定理的表達式為 。分析與解答（1） （2） （3）A=5.20 如圖所示,一長為l = 0.40m, 質(zhì)量為M = 1kg 的均質(zhì)桿, 鉛直懸掛。試求: 當質(zhì)量為m= 810-3kg 的子彈以水平速度v = 200ms-1,在距轉軸O為3l/4處射入桿內(nèi)時, 此桿的角速度和最大擺角。分析與解答 求解此題可按兩個過程分別處理：（1）由子彈射入桿到兩者一起開始擺動。此過程可視為完全非彈性碰撞過程。取子彈和桿為系統(tǒng)，滿足動量矩守恒，有 由式可求得子彈與桿開始一起擺動時的角速度（2）由系統(tǒng)開始擺動到擺至最大角。此過程中，由子彈，桿和地球構成的系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件，取桿直懸時的質(zhì)心位置

17、C為重力勢能零點，則 由式可求得最大擺角為 題5.20圖 題5.21圖 題5.22圖5.21 質(zhì)量為m,半徑為R 的圓盤,可繞一垂直通過盤心的光滑水平軸轉動, 盤上繞有輕繩, 一端懸掛質(zhì)量為m 的物體(如圖)。試問: ( 1)物體由靜止下落高度h 時,其速度v 的大小是多少? (2 )若物體自由下落h 高,其速度v為多少? 說明兩種速度有差異的原因。分析與解答（1）物體受重力和繩子張力，有 滑輪變張力矩，有 聯(lián)立 解得 （2）由自由落體規(guī)律 5.22 長為l、質(zhì)量為m的桿可繞支點O 自由轉動, 一質(zhì)量為m、速率為v 0的子彈射入桿內(nèi)距支點為a 處, 使桿的偏轉角為= 30(如圖)。試求: ( 1 ) 子彈的速率v0 ; ( 2 ) 欲子彈以此v0 穿過此桿, 此時桿的偏轉角= ?(3 ) 在求解過程中, 怎樣分析動量矩和機械能守恒的條件及如何考慮桿的重力勢能?分析與解答（1） 取子彈和桿為系統(tǒng)，子彈射入前后，滿足動量矩守恒條件，有： 在子彈