曲線的凸性及拐點(diǎn) 函數(shù)作圖

1、教案（首頁(yè)）授課日期授課班級(jí)課 題4.3 曲線的凸性及拐點(diǎn) 函數(shù)作圖計(jì)劃學(xué)時(shí)2 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.熟練掌握函數(shù)拐點(diǎn)以及凹凸區(qū)間的定義；2.掌握函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點(diǎn)定理；3.熟練掌握函數(shù)草圖的做法并了解一般的作圖步驟；教學(xué)重點(diǎn)解決措施教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點(diǎn)定理解決措施：講授、演示教學(xué)難點(diǎn)解決措施教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)草圖的做法解決措施：講授、演示教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)手段教學(xué)方法多媒體教學(xué)、板書(shū)演示板書(shū)設(shè)計(jì)授課提綱一、復(fù)習(xí)二、新授4.3 曲線的凸性及拐點(diǎn) 函數(shù)作圖（一）函數(shù)拐點(diǎn)以及凹凸區(qū)間的定義（二）函數(shù)凹凸性的判定方法及拐點(diǎn)定理（三）函數(shù)草圖的做法并了解一般的作圖步驟三、練習(xí)四、小結(jié)五、作業(yè)教

2、 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)時(shí)間分配教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1. 柯西中值定理；2. 羅必塔法則及其應(yīng)用；3.應(yīng)用羅必塔法則需要注意的問(wèn)題.【新課引入】.凸性及拐點(diǎn)在第一章我們討論過(guò)函數(shù)的作圖問(wèn)題。但能使用的手段不多。本章第一節(jié)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性及極值點(diǎn)，無(wú)疑是增加了作圖的有效手段，但僅此有時(shí)不能掌握?qǐng)D形的形狀。圖4.13中中弧都是上升的，但上升的情況不同。弧是向上凸而上升，弧是向下凸而上升。因此有必要區(qū)分圖形是向上凸還是向下凹。xOxyOACDBy 在圖4.14的左圖中，我們看到，如果圖形是向上凸時(shí)，則當(dāng)x增大時(shí)，切線的斜線率是減小的。而圖4.14的右圖卻正好相反，即當(dāng)x增大時(shí)，切線率

3、是增大的。因此用導(dǎo)數(shù)增減性可完全反映出圖形的凸性?！拘抡n講授】定義一 設(shè)函數(shù)在世遞減的，則稱(chēng)曲線內(nèi)是凸的；如果是遞增的，則稱(chēng)曲線在內(nèi)事凹的。定義二 設(shè)函數(shù)在所考慮的區(qū)間可導(dǎo)，則曲線的凸凹分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。如何判斷曲線的凸凹及拐點(diǎn)呢？曲線的凹凸是由得增減性來(lái)定義的，又因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)，所以的增減可由的正負(fù)號(hào)來(lái)判斷。于是可得到下列幾個(gè)定理。定理一 若，則曲線在內(nèi)是凹的，反之，若則曲線在內(nèi)事凸的。定理二（拐點(diǎn)的必要條件）若點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。且處二階導(dǎo)數(shù)存在。則。定理三 若兩側(cè)變號(hào)，則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。例1 求曲線的拐點(diǎn)。并判斷曲線在什么區(qū)間上是凸的，在什么區(qū)間上是凹的？解 函數(shù)的定義域是。 ， 令。討論如

4、下：當(dāng)曲線是凸的，當(dāng)曲線是凹的，當(dāng)由此知拐點(diǎn)為為凹區(qū)間。例2 ，解 算出 ， ，函數(shù)的定義域?yàn)?，討論如下?當(dāng)x時(shí)，曲線是凸的，因?yàn)閤=0不在定義域內(nèi)，所以曲線無(wú)拐點(diǎn)。.函數(shù)作圖作函數(shù)的圖形，大致可以分為以下步驟：（1） 初步研究：如何討論定義域，對(duì)稱(chēng)性，周期性等等；（2） 討論增減區(qū)間.極值點(diǎn)及極值；（3） 討論凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（4） 討論一些特殊情形，如有點(diǎn)，說(shuō)明曲線與直線無(wú)限接近（如圖4.15），直線稱(chēng)為曲線的水平漸近線。若（常數(shù)），說(shuō)明曲線與直線無(wú)限接近.直線稱(chēng)為曲線的水平漸近線（如圖4.16）.（5） 根據(jù)需要再增算幾個(gè)點(diǎn) 注意，作圖時(shí)限討論（1）（2）（4）與（5）.因?yàn)橥羞@樣

5、情形（1），（2），（4）與足以畫(huà)出其圖形.當(dāng)還不足以畫(huà)出圖形時(shí)，在討論（3）.yox0x圖 4.15yox圖 4.16 例3 作函數(shù)的圖形. 解 函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，所以圖形對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn). ，是駐點(diǎn)，它把定義域分為三段.圖形變化見(jiàn)下表。xx=-1(-1,1)x=1-0+0-圖形極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值為討論漸近線：。故有水平漸近線有以上材料就可大致畫(huà)出圖形。y=x1+x2x0y例4 作函數(shù)的圖形。解：函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，圖形對(duì)稱(chēng)y軸，且y0,所以圖形在x軸的上方。令xx=0+0-圖形極大值點(diǎn)極大值為令(-,-12)-12（-12 ，12 ）12(12 , )yn+00+圖形凹拐點(diǎn)凸拐

6、點(diǎn)凹拐點(diǎn)為（-12 ，e-12 ）, （12 ，e12 ）.limxe-x2=0,有水平漸近線y=0.根據(jù)以上討論的情況，可大致地作出圖形（圖4.18）。例5 作函y=ln(x2 -1) 的圖形.解 定義域?yàn)?- ，-1）（1 +),圖形對(duì)稱(chēng)y軸。y=2xx2-1 .在定義域內(nèi)無(wú)駐點(diǎn)，也沒(méi)有極值點(diǎn)。x(- ,-1)-1 ,1 (1 , + )y-+圖形無(wú)定義yn=-2(1+x2)(x2 -1)2 . 無(wú)y= 0的點(diǎn)，無(wú)拐點(diǎn)。在(- ，-1）及（1 +) 內(nèi)y 0 ,圖形是凸的。又limx-1-lnx2-1=-,limx1+ln(x2-1)=-, limxlnx2-1=+ .所以有垂直漸近線x=

7、-1 (左側(cè))，x=1（右側(cè)）當(dāng)x=2 時(shí)，y=0 。根據(jù)以上討論可大致作出其圖形（圖4.19）。-2202xy=lnx2-1x=1x=-1【課堂小結(jié)】1.函數(shù)的凹凸性及其判別方法,拐點(diǎn)及其求法； 2.曲線的漸近線；3.函數(shù)圖形的作法.【作業(yè)布置】課內(nèi)練習(xí)：1、求曲線y=3x4-4x3+1 的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間。2、求曲線y=x+xx-1的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間。3、作y=x4+14x4的圖形.4、作y=x21+x2 的圖形。5、作y=ln(1+x2) 的圖形課外作業(yè)：試確定一個(gè)x的六次多項(xiàng)式P（x），已和曲線y=P(x)切x軸于原點(diǎn)，且在拐點(diǎn)（-1，1），在（1，1）處切線水平?！窘虒W(xué)反思】5分鐘5分鐘50分鐘5分鐘13分