無(wú)窮級(jí)數(shù)答案

1、第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)(一)1解：，(),原級(jí)數(shù)發(fā)散。2解：，()，原級(jí)數(shù)收斂且和為。3解： ，()，原級(jí)數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散。5解：，由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。6解：，原級(jí)數(shù)發(fā)散。7解：，而發(fā)散，由比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散。8解：，由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。9解：，由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。10解：，而，故，由根值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。11解：，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別可知，此級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。12解：，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，又，顯然，且，故由萊布尼茲判別法知原級(jí)數(shù)條件收斂。13解：，原級(jí)數(shù)發(fā)散。14解：此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，()而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，即

2、原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，顯然單調(diào)遞減且趨向于零，故原級(jí)數(shù)條件收斂。15解：，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。16解：，收斂區(qū)間為。17解：，。18解：，。故當(dāng)，即時(shí)收斂，當(dāng)或時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。19解：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)收斂，當(dāng)，即或時(shí)發(fā)散，。當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)為，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。20解：，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。21解：設(shè)，。22解：設(shè)，則 ，即，。23解：，。24解： ，。25解：， 。26解：，即27解：為偶函數(shù)， ，令，得，且在上連續(xù)，。28解：由于是奇函數(shù)，故， 。29解： ，時(shí)，。 時(shí)， ，所以除上均成立。30解：1）正

3、弦級(jí)數(shù)，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個(gè)以為周期的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算付氏系數(shù)如下：，() ,.2)余弦函數(shù)作偶延拓設(shè)，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個(gè)以為周期的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算付氏系數(shù)如下： ,.(二)1解：, ，原級(jí)數(shù)收斂且和為。2解：，原級(jí)數(shù)收斂且和為。3解：，原級(jí)數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。5解：，由根值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。6解：當(dāng)充分大時(shí)有，而，故，由根值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。7解：，當(dāng)，即 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；，即 ，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)不定。8解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，()，而收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散。9解：，收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂。10解：，故也發(fā)散，故也

4、非條件收斂。11解：，而發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零，故由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂。12解：，而發(fā)散，發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。記原級(jí)數(shù)為為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又，即，故由萊布尼茲判別法知原級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂。13解：，故對(duì)，原級(jí)數(shù)收斂，所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為。14，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為，其中。15解：，當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)，即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)也收斂。故原級(jí)數(shù)收斂半徑為2，收斂區(qū)間為。16解：，當(dāng)，即，原級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。17解：，但 ，故

5、有，。18解：，而 ，。19解：， ，故，。20證明：考慮級(jí)數(shù)，逐項(xiàng)微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解： ，()。23解： ，。25解： ，。由于對(duì)，有，所以。因此 以周期的周期函數(shù)，并且顯然只有當(dāng)，時(shí)是及 第一類間斷點(diǎn)，所以符合狄利克雷收斂定理的條件，故付氏級(jí)數(shù)在處處收斂， ，有。26解：奇函數(shù)，所以。 所以，除均成立，()。27解： 又函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)為，又 展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)為，。(三)1解： ,故原級(jí)數(shù)收斂，且和為。2證：，由比較判別法知原正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。3解：，由比值判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。4解：考慮函數(shù)，由得，易知時(shí)的最大值，所以當(dāng)?shù)?，但為收斂的幾何?jí)數(shù)，原級(jí)數(shù)也收斂。5解：，有；而當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，而級(jí)九可判別其是收斂的，原級(jí)數(shù)收斂。6解：因?yàn)橐阎?jí)數(shù) 條件收斂的級(jí)數(shù)。設(shè)其部分和數(shù)極限為，則有，而級(jí)數(shù)，取其前項(xiàng)，其和與的部分和相等且為，當(dāng)時(shí)，故原級(jí)數(shù)收斂且和為。7解：，當(dāng)，即時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。故，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，故原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椤?解：，由于，而當(dāng)，故；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由于通項(xiàng)不以零為極限，故發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。設(shè)，則，兩邊積分得：，()；再積分一次 ，()；，即原級(jí)數(shù)的和。10解：， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，故展開(kāi)式對(duì)所有的均成立，在展開(kāi)式中令，得。11解：，()，故當(dāng)，即當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)