微積分 無窮級數(shù)_第1頁
微積分 無窮級數(shù)_第2頁
微積分 無窮級數(shù)_第3頁
微積分 無窮級數(shù)_第4頁
微積分 無窮級數(shù)_第5頁
已閱讀5頁,還剩14頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

1、第六部分 無窮級數(shù)填空題1數(shù)項級數(shù)的和為 。2數(shù)項級數(shù)的和為 。注:求數(shù)項級數(shù)的和常用的有兩種方法,一種是用和的定義,求部分和極限;另一種是將數(shù)項級數(shù)看成是一個函數(shù)項級數(shù)在某點取值時的情況,求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在此點的值。3設(shè),若級數(shù)收斂,則的取值范圍是。分析:因為在時,與是等價無窮小量,所以由可知,當(dāng)時,與是等價無窮小量。由因為級數(shù)收斂,故收斂,因此。4冪級數(shù)在處條件收斂,則其收斂域為 。分析:根據(jù)收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的端點,所以收斂半徑為。由因為在時,級數(shù)條件收斂,因此應(yīng)填。5冪級數(shù)的收斂半徑為 。分析:因為冪級數(shù)缺奇次方項,不能直接用收斂半徑的計算公式。因為,所以,根據(jù)比值判斂法,

2、當(dāng)時,原級數(shù)絕對收斂,當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散。由收斂半徑的定義,應(yīng)填。6冪級數(shù)的收斂域為 。分析:根據(jù)收斂半徑的計算公式,冪級數(shù)收斂半徑為,收斂域為;冪級數(shù)收斂域為。因此原級數(shù)在收斂,在一定發(fā)散。有根據(jù)阿貝爾定理,原級數(shù)在也一定發(fā)散。故應(yīng)填。7已知,且對任意,則在原點的冪級數(shù)展開式為 。分析:根據(jù)冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì),及,得,故應(yīng)填。8函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式為 。分析:已知,所以。根據(jù)函數(shù)的冪級數(shù)展開形式的惟一性,這就是所求。9已知,是的周期為的三角級數(shù)的和函數(shù),則的值分別為 ,。10設(shè),其中 ,則。選擇題11設(shè)常數(shù),正項級數(shù)收斂,則級數(shù) (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕對收斂。 (D)斂散

3、性與的值有關(guān)。答 C分析:因為,且正項級數(shù)收斂,所以收斂。又因為,所以原級數(shù)絕對收斂。12設(shè),則級數(shù) (A) 與都收斂。 (B) 與都發(fā)散。(C) 收斂,發(fā)散。 (D) 發(fā)散,收斂。答 C分析:因為,所以級數(shù)是滿足萊布尼茲條件的交錯級數(shù),因此收斂。因為 在時與是等價無窮小量,且調(diào)和級數(shù)發(fā)散,所以發(fā)散。13設(shè),則下列級數(shù)中肯定收斂的是 (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。答 D分析:因為,所以。又因為,且收斂,所以收斂。另外,取,可以說明不能選(A)及(C);取, ,因為 發(fā)散,所以發(fā)散。14下列命題中正確的是 (A)若,則 。(B) 若,且收斂,則收斂。(C)若,且收斂,則收斂。(D)

4、 若,且與收斂,則收斂。答 D分析:因為,所以。又因為與收斂,所以收斂,因而收斂。故收斂。因為只有當(dāng)級數(shù)收斂時,才能比較其和的大小,所以不能選(A);選項(B),(C)將正項級數(shù)的結(jié)論用到了一般級數(shù)上,顯然不對。例如取級數(shù)與可以說明(B)不對,取級數(shù)與就可以說明(C)不對。15下列命題中正確的是 (A) 若與都收斂,則收斂。(B) 若收斂,則與都收斂。(C) 若正項級數(shù)發(fā)散,則。(D) 若,且發(fā)散,則發(fā)散。答 A分析:因為,所以當(dāng)與都收斂時,收斂。取可以排除選項(B);取排除選項(C);取級數(shù)與可以說明(D)不對。16若級數(shù),都發(fā)散,則 (A) 發(fā)散。 (B) 發(fā)散。(C) 發(fā)散。 (D) 發(fā)

5、散。答 C分析:取可以排除選項(A),(B)及(D)。因為級數(shù),都發(fā)散,所以級數(shù),都發(fā)散,因而發(fā)散。故選(C)。17設(shè)正項級數(shù)收斂,則 (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。(C) 若極限存在,其值小于。(D) 若極限存在,其值小于等于。答 D分析:根據(jù)比值判斂法,若極限存在,則當(dāng)其值大于時,級數(shù)發(fā)散。因此選項(D)正確。取排除選項(C)。因為正項級數(shù)收斂并不能保證極限存在,所以選項(A),(B)不對。18下列命題中正確的是 (A) 若冪級數(shù)的收斂半徑為,則。(B) 若極限不存在,則冪級數(shù)沒有收斂半徑。(C) 若冪級數(shù)的收斂域為,則冪級數(shù)的收斂域為。(D) 若冪級數(shù)的收斂域為,則冪級數(shù)的收

6、斂域為。答 D分析:極限只是收斂半徑為的一個充分條件,因此選項(A)不對。冪級數(shù)沒有收斂半徑存在而且惟一,所以選項(B)不對。取級數(shù)可以排除選項(C)。選項(D)可以由冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)得到。19若冪級數(shù)在處條件收斂,則級數(shù) (A)條件收斂。 (B)絕對收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。答 B分析:根據(jù)收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的一個端點,所以原級數(shù)的收斂半徑為。因此冪級數(shù)在處絕對收斂,即級數(shù)絕對收斂。20設(shè)函數(shù),而,其中 ,則的值為 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析:是對函數(shù)作偶延拓得到的三角級數(shù)展開式,且延拓后得到的函數(shù)連續(xù),根據(jù)狄里克萊收斂定理,。解答題21求

7、級數(shù)的和。解:因為,所以。22已知級數(shù),求級數(shù)的和。解:因為 ,所以 。又因為 ,故 。23判斷級數(shù)的斂散性。解:因為,且,所以與在時是等價無窮小。又因為級數(shù)收斂,所以,根據(jù)比階判斂法知級數(shù)收斂。另解:因為,所以。已知收斂,所以由比較判斂法知級數(shù)收斂。24判斷級數(shù)的斂散性。解:記 ,則,且,所以根據(jù)比值判斂法,當(dāng)時級數(shù)收斂,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時,因為,所以此時比值判斂法失效,但由于,(因為數(shù)列單調(diào)遞增趨于)所以,因而當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散。25討論級數(shù),的斂散性。解:因為,所以根據(jù)比值判斂法,當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂。當(dāng)時,由于,所以級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時,級數(shù)為,由級數(shù)的斂散性,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散,當(dāng)時級數(shù)收斂。當(dāng)時,

8、級數(shù)為,由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法,當(dāng)時級數(shù)條件收斂,當(dāng)時級數(shù)絕對收斂。26已知函數(shù)滿足等式,且,試討論級數(shù)的收斂性。解:因為 ,所以 。由,得。根據(jù)泰勒公式,得所以在時與等價,且級數(shù)收斂,因此級數(shù)絕對收斂。注:本題也可先解定解問題,得到后再用泰勒公式討論。27求下列冪級數(shù)的收斂域(1) ,(2) ,(3) 。 解: (1) 記,因為,所以收斂半徑為 ,收斂區(qū)間為 。 又因為當(dāng)時, 級數(shù)條件收;當(dāng)時, 級數(shù)發(fā)散。故級數(shù)的收斂域為。(2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級數(shù)僅在處收斂。(3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級數(shù)的收斂域為,。 28求冪級數(shù)的收斂域。 解:此時不能套用收斂半

9、徑的計算公式,而要對該級數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑。因為, 所以,當(dāng), 即時,級數(shù)絕對收斂;當(dāng), 即時,級數(shù)發(fā)散。根據(jù)收斂半徑的定義知級數(shù)的收斂半徑為。 又,當(dāng)時, , 級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時, 一般項為, 級數(shù)也發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域為,。 注:還可以將級數(shù)變形為,再令,研究冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域,最后得到的收斂域。29求冪級數(shù)的收斂域。解:因為,且,所以,當(dāng),即時,級數(shù)絕對收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 又當(dāng)時,原級數(shù)的一般項分別是和,所以發(fā)散。因此級數(shù)的收斂域為。30設(shè)為一等差數(shù)列,且,求級數(shù)的收斂域。 解:記的公差為,則,所以。因此收斂半徑為,又當(dāng)時,級數(shù)成為,所以發(fā)散,于是級

10、數(shù)的收斂域為。31將函數(shù)展開為處的冪級數(shù)。解:因為。所以 。32將函數(shù)在點展開為冪級數(shù)。解:因為,所以 。33將函數(shù)在點展成冪級數(shù), 并求。解:將視為, 因此只需將展成即可。因為, 且 ,所以,于是, 。由于的冪級數(shù)的系數(shù), 所以。34求冪級數(shù)在收斂區(qū)間,內(nèi)的和函數(shù), 并求數(shù)項級數(shù)的和。解:利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分和逐項微分, 得將上式兩端對上限求導(dǎo), 得, 。令, 得。求冪級數(shù)的和函數(shù)。令,則的定義域為,且。任給,由逐項積分公式得,。因此,所以,。(1) 求冪級數(shù)的和函數(shù)。令,則的定義域為,且。任給,由逐項求導(dǎo)公式得,。因此,。所以,。由得,。(2) 求數(shù)項級數(shù)的和。考慮冪級數(shù),則其收斂域為。若記其和函數(shù)為,則。由于又因為,所以。故。35求級數(shù)的和。解:由于 。對上式兩邊求導(dǎo),得 ,所以 ,此式兩邊再求導(dǎo),得,在上式中令,有 。36 設(shè)時周期為的周期函數(shù),且,寫出的傅里葉級數(shù)與其和函數(shù),并求級數(shù)的和。解:根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式,得,所以的傅里葉級數(shù)為。其和函數(shù)的周期為,且令,得,且 ,所以。37設(shè)級數(shù)收斂,且,證明級數(shù)絕對收斂。證: 因為,所以數(shù)列有界,即存在,使得對任意的,有,于是,又級數(shù)收斂,由比較判斂法知收斂,故級數(shù)絕對收斂。38已知且,若級數(shù)發(fā)散,證明級數(shù)收斂。證:因為,所以極限存在,其值記為。由于級數(shù)發(fā)散,根據(jù)萊布

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論