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文檔簡介

1、第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴格單調(diào)增加(或減少)的; 則它必定存在反函數(shù):y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1、x2D 當x1x2時,若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增

2、加( );若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( ); 若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)增加( );若f(x1)f(x2), 則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性: 首先要證明定義域?qū)ΨQ:才有下面,否則是非奇非偶 偶函數(shù):f(-x)=f(x) 奇函數(shù):f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性: 周期函數(shù):f(x+T)=f(x), x(-,+) 周期:T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性: |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)(六個基本初等函數(shù),1.常數(shù)函數(shù),2.冪函數(shù),3.指數(shù)函數(shù),4.對數(shù)函數(shù),5.三角函數(shù),6.反三角函數(shù)。) 復合

3、函數(shù)和初等函數(shù)1.復合函數(shù): y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算(加、減、乘、除)和復合所構(gòu)成的,并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)(重點要記住,初等函數(shù)在定義域里連續(xù)。1.2 極 限一、 主要內(nèi)容極限的概念1. 數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.(反過來就不一定成立,自己想想)2.函數(shù)的極限: 當時,的極限: 當時,的極限: 左極限: 右極限:函數(shù)極限存的充要條件:定理:上述定理通常用于證明極限是否存在。無窮大量和無窮小量1 無窮大量: 稱在該變化過程中為無窮大量。 X再某個變化過

4、程是指: 2 無窮小量: 稱在該變化過程中為無窮小量。3 無窮大量與無窮小量的關系: 定理:無窮大量與無窮小量是倒數(shù)關系。4 無窮小量的比較: 無窮小量和無窮大量的性質(zhì)上述要理解。定理:若: 則:兩面夾定理(又稱夾逼定理)1 數(shù)列極限存在的判定準則: 設: (n=1、2、3) 且: 則: 2 函數(shù)極限存在的判定準則: 設:對于點x0的某個鄰域內(nèi)的一切點 (點x0除外)有: 且: 則:極限的運算規(guī)則 是極限的性質(zhì),在讀專科的時候就要熟悉。兩個重要極限 1 或 2 在證明0/0型極限的時候大家要用無窮小代換定理和1.3 連續(xù)一、 主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性1. 函數(shù)在處連續(xù):在的鄰域內(nèi)有定義, 1o

5、2o 左連續(xù): 右連續(xù):2. 函數(shù)在處連續(xù)的必要條件: 定理:在處連續(xù)在處極限存在 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件: 定理:3. 函數(shù)在上連續(xù): 在上每一點都連續(xù)。 在端點和連續(xù)是指: 左端點右連續(xù); 右端點左連續(xù)。 注意區(qū)分區(qū)間聯(lián)系和點聯(lián)系的定義。4. 函數(shù)的間斷點:若在處不連續(xù),則為的間斷點。間斷點有三種情況: 兩類間斷點的判斷: 1o第一類間斷點: 2o第二類間斷點:3無窮間斷點: 函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算:(自己看書。不在列出來) 2. 復合函數(shù)的連續(xù)性: 3. 反函數(shù)的連續(xù)性: 以上看書。書上重點列出。函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理:在上連續(xù)在上一定存在最大值與

6、最小值。(1) 先求駐點,(2) 求出駐點和A點及B點的函數(shù)值。(3) 最大為最大值,最小為最小值。 2. 有界定理: 3.介值定理: 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點 ,使得:, 推論: 在上連續(xù),且與異號 在內(nèi)至少存在一點,使得:。 4.初等函數(shù)的連續(xù)性: 初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(重點) 2.1 導數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導數(shù)的概念 1導數(shù):在的某個鄰域內(nèi)有定義, 2左導數(shù):右導數(shù): 定理:在的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導,且極限存在; 則: (或:)3.函數(shù)可導的必要條件: 定理:在處可導在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導的充要條件: 定理:存在, 且存在。求導法則 1.基

7、本求導公式:(要自己全部推導一遍) 2.導數(shù)的四則運算(要理解)。 3.復合函數(shù)的導數(shù): ,或 注意與的區(qū)別: 表示復合函數(shù)對自變量求導; 表示復合函數(shù)對中間變量求導。4.高階導數(shù): 函數(shù)的n階導數(shù)等于其n-1導數(shù)的導數(shù)。微分的概念 1.微分:在的某個鄰域內(nèi)有定義, 其中:與無關,是比較高 階的無窮小量,即: 則稱在處可微,記作: 2.導數(shù)與微分的等價關系: 定理:在處可微在處可導,且: 3.微分形式不變性: 不論u是自變量,還是中間變量,函數(shù)的微分都具有相同的形式。重點要自己練習導數(shù),推出導數(shù)的所有過程。2.2 中值定理及導數(shù)的應用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: 2.拉格朗

8、日定理:滿足條件: 羅必塔法則:( 型未定式)(重點用無窮小量代換。或者無窮小與羅法則同用)定理:和滿足條件:1o;2o在點a的某個鄰域內(nèi)可導,且;3o 則:注意:1o法則的意義:把函數(shù)之比的極限化成了它們導數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件,不能使用法則。 即不是型或型時,不可求導。 3o應用法則時,要分別對分子、分母 求導,而不是對整個分式求導。 4o若和還滿足法則的條件, 可以繼續(xù)使用法則,即:5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變形,化成或型;若是型可 采用對數(shù)或指數(shù)變形,化成或型。導數(shù)的應用1 切線方程和法線方程:設:切線方程:法線方程:2 曲線的單調(diào)性: 用中值定理 3.函數(shù)的極值:極值的

9、定義:設在內(nèi)有定義,是內(nèi)的一點;若對于的某個鄰域內(nèi)的任意點,都有:則稱是的一個極大值(或極小值),稱為的極大值點(或極小值點)。 極值存在的必要條件:定理:稱為的駐點 極值存在的充分條件: 定理一:定理二: 若,則為極大值; 若,則為極小值。注意:駐點不一定是極值點,極值點也不一定是駐點。 4曲線的凹向及拐點:若;則在內(nèi)是上凹的(或凹的),();若;則在內(nèi)是下凹的(或凸的),(); 5。曲線的漸近線: 水平漸近線: 鉛直漸近線:第三章 一元函數(shù)積分學 3.1 不定積分一、 主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì):1原函數(shù):設: 若: 則稱是的一個原函數(shù), 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分:

10、 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體, 稱為函數(shù)的不定積分;記作: 其中:稱為被積函數(shù); 稱為被積表達式;稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì): 或: 或: 分項積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本積分公式:換元積分法: 第一換元法:(又稱“湊微元”法) 常用的湊微元函數(shù)有: 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法: 第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù), 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換: 1o (當被積函數(shù)中有時) 2o (當被積函數(shù)中有時) 3o (當被積函數(shù)中有時) 4o (當被積函數(shù)中有時)分部積分法: 1. 分部積分公式: 2.分部積分法主要針對的類型: 其中: (多項式

11、) 3.選u規(guī)律: 在三角函數(shù)乘多項式中,令, 其余記作dv;簡稱“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項式中,令, 其余記作dv;簡稱“指多選多”。 在多項式乘對數(shù)函數(shù)中,令, 其余記作dv;簡稱“多對選對”。 在多項式乘反三角函數(shù)中,選反三角函數(shù) 為u,其余記作dv;簡稱“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中,可任選一函數(shù) 為u,其余記作dv;簡稱“指三任選”。簡單有理函數(shù)積分(自己看書不做重點): 3.2定積分 f(x)一 主要內(nèi)容(一).重要概念與性質(zhì)1. 定積分的定義: O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定積分含四步:分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義:是介于x

12、軸,曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號, x 軸下方的面積取負號。 2. 定積分存在定理: 若:f(x)滿足下列條件之一:若積分存在,則積分值與以下因素無關: 3. 牛頓萊布尼茲公式:*牛頓萊布尼茲公式是積分學中的核心定理,其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計算差量的問題。4. 原函數(shù)存在定理: 5. 定積分的性質(zhì): y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x(二)定積分的計算:1. 換元積分 2. 分部積分 3

13、. 廣義積分 4. 定積分的導數(shù)公式 (三)定積分的應用1. 平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) . 求出曲線的交點,畫出草圖; . 確定積分變量,由交點確定積分上下限;. 應用公式寫出積分式,并進行計算。2. 旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積: (圖形參照課本) 及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積: 圖上書上。第四章 多元函數(shù)微積分初步4.1 偏導數(shù)與全微分(考試不多。不做重點。了解就OK)一. 主要內(nèi)容:1. 多元函數(shù)的概念自己看書。2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù):1. 極限定義:設z=f(x,y)滿足條件:2. 連續(xù)定義:設z=f(x,y)滿足條件:.偏導數(shù):.全微分:1.定義:z=f(x,y) 在點(x,y)處的

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