重慶大學(xué)矩陣論大作業(yè)

1、 矩陣分析在-機(jī)械振動(dòng)中的應(yīng)用摘要：隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)知識(shí)已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、控制論、力學(xué)、電子學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、保險(xiǎn)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ灿兄种匾膽?yīng)用。本文采用了矩陣論中所學(xué)的矩陣相似變換、矩陣正交化及特征方程等相關(guān)知識(shí)，對(duì)多自由度系統(tǒng)的自振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行了研究分析，引入正則坐標(biāo)并采用坐標(biāo)變化法求得了振動(dòng)系統(tǒng)的自由響應(yīng)。關(guān)鍵詞：多自由度系統(tǒng)，正則坐標(biāo)，自由響應(yīng)一、引言20世紀(jì)60年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)

2、的進(jìn)步，航空航天技術(shù)和綜合自動(dòng)化的發(fā)展需要，對(duì)于復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)特性分析也越來越重要。而對(duì)于像航天器等復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)需要用更多的自由度來描述，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程式二階常微分方程組。建立系統(tǒng)方程是振動(dòng)分析的前提，但隨著自由度的增多，所建立的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程也越來越復(fù)雜，對(duì)于離散系統(tǒng)運(yùn)用牛頓第二定律的方式來對(duì)方程進(jìn)行求解也越來越困難，為此發(fā)展了柔度系數(shù)法和剛度系數(shù)法，而拉爾朗日方程是建立系統(tǒng)控制方程的最通用方法，他使用功、能和廣義力等物理量，得到了完全刻畫系統(tǒng)的最少方程。本文只考慮阻尼矩陣能夠被無阻尼振形矩陣對(duì)角化的情形，分析其基本理論方程，并用實(shí)例進(jìn)行論證求解。二、多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)理論本

3、文主要對(duì)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)進(jìn)行求解，在介紹多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)之前，先介紹單自由度無阻尼的自由振動(dòng)以便了解機(jī)械振動(dòng)理論的基本原理。1.單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖1 單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)于單自由度系統(tǒng)而言，當(dāng)系統(tǒng)受到激勵(lì)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，可以列出的運(yùn)動(dòng)微分方程為： (1.1)其中，m為物體的質(zhì)量；k為彈簧的剛度；為物體的加速度；x為彈簧的伸縮量。該方程是一個(gè)二階齊次線性常系數(shù)微分方程。這為之后的多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析提供了理論基礎(chǔ)。2.多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)和單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性是有區(qū)別的。單自由度系統(tǒng)受初始擾動(dòng)后，按系統(tǒng)的固有頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有

4、頻率，當(dāng)系統(tǒng)按某一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各獨(dú)立坐標(biāo)在振動(dòng)過程中相互關(guān)系是固定的，這個(gè)關(guān)系叫振幅比，也叫作主振型或模態(tài)。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動(dòng)的重要特征。本文主要目的是通過無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)來介紹多自由系統(tǒng)的固有頻率和振型，它們是多自由振動(dòng)系統(tǒng)的重要特征。在無阻尼情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程可以表達(dá)為： (1.2)在單自由度系統(tǒng)中,我們得到無阻尼自由振動(dòng)解為正弦函數(shù)或余弦函數(shù),不失一般性。對(duì)于多自由度系統(tǒng)振動(dòng)解可設(shè)為： (1.3)列向量和均為待定復(fù)常數(shù)。若系統(tǒng)是振動(dòng)的，則解必為實(shí)數(shù)。將式(1.3)代入(1.2)，得到下列代數(shù)齊次方程組： (1.4)上面的方程組存在非零解的充分必要

5、條件是系數(shù)行列式為零，即： (1.5)式(1.5)為系統(tǒng)的特征方程，具體寫出為： (1.6)上式左端的行列式展開后是關(guān)于的n次代數(shù)多項(xiàng)式： (1.7)稱為特征多項(xiàng)式，由式(1.6)或(1.7)可解出n個(gè)稱為特征值或特征根，將其按升序排列為：顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度和質(zhì)量參數(shù)。這n個(gè)特征值在大多數(shù)情況下互不相等且不為零，重根的零根說明系統(tǒng)有剛體運(yùn)動(dòng)。有零根和情況本書不再討論，有興趣的讀者可參考相關(guān)的線性代數(shù)和振動(dòng)理論書籍。在求得特征值后把某一個(gè)代回式(1.4)，可求對(duì)應(yīng)的列向量。由于式(1.4)的系數(shù)矩陣不滿秩，在沒有重根和零根情況下只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的，故只能求出列向量中各元素、的

6、比例關(guān)系。我們?nèi)サ羝渲胁华?dú)立的某一式(例如最后一式)，并將剩下的n-1個(gè)方程式中某一相同的項(xiàng)(如項(xiàng))移到等式右邊，可得代數(shù)方程組：我們?nèi)サ羝渲胁华?dú)立的某一式(例如最后一式)，并將剩下的n-1個(gè)方程式中某一相同的項(xiàng)(如項(xiàng))移到等式右邊，可得代數(shù)方程組： (1.8)解上面的方程，可得到用表達(dá)的解、，顯然都與的值成比例。我們可將這些比例常數(shù)用表示，并補(bǔ)充，可得列向量，則有： (1.9)列向量是確定的常數(shù)，反映列向量中各數(shù)的比例關(guān)系，叫作特征向量。同比例放大或減小特征向量并不改變其比例關(guān)系，所以應(yīng)用時(shí)常根據(jù)需要來放大或減小特征向量。不失一般性，我們可在式(1.9)中用待定復(fù)常數(shù)取代，式(1.9)可寫為

7、： (1.10)這樣，當(dāng)成比例變化時(shí)，有相應(yīng)的變化，對(duì)應(yīng)不同的特征值，可得到不同的特征向量。對(duì)應(yīng)于n個(gè)特征值可得n個(gè)特征向量 ，且每一個(gè)特征向量都滿足式(1.4)。對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，特征值就是系統(tǒng)的固有頻率，特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量就是系統(tǒng)的振形。顯然，對(duì)應(yīng)于n個(gè)固有頻率可得n個(gè)振形。我們將在后面論述。顯然，將及代入式(1.3)，可得n組滿足方程(1.2)的解，將這些解相加，可得多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般解為： (1.11)其中2n個(gè)待定常數(shù)由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始位移和初始速度確定。如果系統(tǒng)在某一特殊的初始條件下，使得待定常數(shù)中只有0，則式(1.11)所表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程只保留第k項(xiàng): (1.12)多

8、自由度系統(tǒng)振動(dòng)一般解的方程可表達(dá)為： (1.13)這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)按圓頻率、振幅比作同步簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。振幅分別為，振幅之間都保持固定不變的比值。因此特征向量完全確定了系統(tǒng)按固有頻率振動(dòng)時(shí)的形態(tài)，所以特征向量就是按相應(yīng)固有頻率振動(dòng)時(shí)的振型向量，對(duì)應(yīng)的特征向量稱為它的第階主振型或主模態(tài)，相應(yīng)的振動(dòng)叫主振動(dòng)。在振動(dòng)過程中，一般還會(huì)產(chǎn)生其它階主振動(dòng)。對(duì)于一個(gè)n自由度系統(tǒng)，一般可以找到n個(gè)固有頻率，以及相應(yīng)的n個(gè)主振型。我們把各階主振型組成的矩陣叫做振型矩陣： (1.14)三、三自由度系統(tǒng)自由響應(yīng)求解三自由度的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)如圖11所示，設(shè)t=0時(shí)。求振系的自由響應(yīng)。圖2 三自由度無阻尼系統(tǒng)解：第一步，建立振動(dòng)

9、微分方程，由剛度法可建立該振系的微分方程第二步，求固有頻率和振型。系統(tǒng)的,，故系統(tǒng)矩陣將S代入振型方程得 故頻率方程為由上式解得三個(gè)特征值為對(duì)應(yīng)的固有頻率為將代入振型方程a消去公因子，并令=1，則有由上式解得，對(duì)，做同樣的處理，得到相應(yīng)的振型為第三步，求振型矩陣與正則矩陣。振型可知，振型矩陣即可確定為求正則振型矩陣，需先求出各階主質(zhì)量再求出各階正則振型由正則振型即可構(gòu)成正則振型矩陣第四步，用正則坐標(biāo)變換可得到用正則坐標(biāo)表示的獨(dú)立方程 (i=1, 2, 3)第五步，把初始條件變換到正則坐標(biāo)上，若將式子兩端左乘則有因,即第六步，求振系在正則坐標(biāo)下的響應(yīng)。而方程的一般解為代入正則坐標(biāo)表示的初始條件，第七步，把正則坐標(biāo)的響應(yīng)再變回到物理坐標(biāo)系下。利用坐標(biāo)變換式得四、結(jié)論本文在研究多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)時(shí)，將模型簡(jiǎn)化成無阻尼系統(tǒng)，并使用了特征方程，矩陣逆變換等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。得出了多自由系統(tǒng)在激勵(lì)下的自由響應(yīng)。其實(shí)在實(shí)際問題中，系統(tǒng)幾乎都是有阻尼的，此時(shí)，所列出的運(yùn)動(dòng)微分方程也更加復(fù)雜，所需要用到的矩陣論的知識(shí)也更多。在計(jì)算機(jī)發(fā)展和普及的前提下，矩陣論理論的重要性越來越明顯，應(yīng)用也越來越廣泛。當(dāng)然，研究梁?jiǎn)卧恼駝?dòng)情況只是矩陣論理論應(yīng)用領(lǐng)域的一個(gè)小方面。但是，這足以說明用矩陣論力量