重慶大學矩陣論大作業(yè)

1、 矩陣分析在-機械振動中的應用摘要：隨著科學技術的迅速發(fā)展，古典的線性代數知識已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領域必不可少的工具。諸如數值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計、控制論、力學、電子學、網絡等學科領域都與矩陣理論有著密切的聯(lián)系，甚至在經濟管理、金融、保險、社會科學等領域，矩陣理論和方法也有著十分重要的應用。本文采用了矩陣論中所學的矩陣相似變換、矩陣正交化及特征方程等相關知識，對多自由度系統(tǒng)的自振動的運動微分方程進行了研究分析，引入正則坐標并采用坐標變化法求得了振動系統(tǒng)的自由響應。關鍵詞：多自由度系統(tǒng)，正則坐標，自由響應一、引言20世紀60年代，隨著計算機技術

2、的進步，航空航天技術和綜合自動化的發(fā)展需要，對于復雜的機械結構特性分析也越來越重要。而對于像航天器等復雜的機械結構需要用更多的自由度來描述，多自由度系統(tǒng)的振動方程式二階常微分方程組。建立系統(tǒng)方程是振動分析的前提，但隨著自由度的增多，所建立的系統(tǒng)運動微分方程也越來越復雜，對于離散系統(tǒng)運用牛頓第二定律的方式來對方程進行求解也越來越困難，為此發(fā)展了柔度系數法和剛度系數法，而拉爾朗日方程是建立系統(tǒng)控制方程的最通用方法，他使用功、能和廣義力等物理量，得到了完全刻畫系統(tǒng)的最少方程。本文只考慮阻尼矩陣能夠被無阻尼振形矩陣對角化的情形，分析其基本理論方程，并用實例進行論證求解。二、多自由度系統(tǒng)的自由振動理論本

3、文主要對多自由度系統(tǒng)的自由振動進行求解，在介紹多自由度系統(tǒng)的振動之前，先介紹單自由度無阻尼的自由振動以便了解機械振動理論的基本原理。1.單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動圖1 單自由度無阻尼系統(tǒng)對于單自由度系統(tǒng)而言，當系統(tǒng)受到激勵時，根據牛頓第二定律，可以列出的運動微分方程為： (1.1)其中，m為物體的質量；k為彈簧的剛度；為物體的加速度；x為彈簧的伸縮量。該方程是一個二階齊次線性常系數微分方程。這為之后的多自由度系統(tǒng)的運動分析提供了理論基礎。2.多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動多自由度系統(tǒng)和單自由度系統(tǒng)的振動特性是有區(qū)別的。單自由度系統(tǒng)受初始擾動后，按系統(tǒng)的固有頻率作簡諧振動。多自由度系統(tǒng)有多個固有

4、頻率，當系統(tǒng)按某一個固有頻率作自由振動時，各獨立坐標在振動過程中相互關系是固定的，這個關系叫振幅比，也叫作主振型或模態(tài)。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動的重要特征。本文主要目的是通過無阻尼自由振動系統(tǒng)來介紹多自由系統(tǒng)的固有頻率和振型，它們是多自由振動系統(tǒng)的重要特征。在無阻尼情況下，系統(tǒng)的自由振動微分方程可以表達為： (1.2)在單自由度系統(tǒng)中,我們得到無阻尼自由振動解為正弦函數或余弦函數,不失一般性。對于多自由度系統(tǒng)振動解可設為： (1.3)列向量和均為待定復常數。若系統(tǒng)是振動的，則解必為實數。將式(1.3)代入(1.2)，得到下列代數齊次方程組： (1.4)上面的方程組存在非零解的充分必要

5、條件是系數行列式為零，即： (1.5)式(1.5)為系統(tǒng)的特征方程，具體寫出為： (1.6)上式左端的行列式展開后是關于的n次代數多項式： (1.7)稱為特征多項式，由式(1.6)或(1.7)可解出n個稱為特征值或特征根，將其按升序排列為：顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度和質量參數。這n個特征值在大多數情況下互不相等且不為零，重根的零根說明系統(tǒng)有剛體運動。有零根和情況本書不再討論，有興趣的讀者可參考相關的線性代數和振動理論書籍。在求得特征值后把某一個代回式(1.4)，可求對應的列向量。由于式(1.4)的系數矩陣不滿秩，在沒有重根和零根情況下只有(n-1)個是獨立的，故只能求出列向量中各元素、的

6、比例關系。我們去掉其中不獨立的某一式(例如最后一式)，并將剩下的n-1個方程式中某一相同的項(如項)移到等式右邊，可得代數方程組：我們去掉其中不獨立的某一式(例如最后一式)，并將剩下的n-1個方程式中某一相同的項(如項)移到等式右邊，可得代數方程組： (1.8)解上面的方程，可得到用表達的解、，顯然都與的值成比例。我們可將這些比例常數用表示，并補充，可得列向量，則有： (1.9)列向量是確定的常數，反映列向量中各數的比例關系，叫作特征向量。同比例放大或減小特征向量并不改變其比例關系，所以應用時常根據需要來放大或減小特征向量。不失一般性，我們可在式(1.9)中用待定復常數取代，式(1.9)可寫為

7、： (1.10)這樣，當成比例變化時，有相應的變化，對應不同的特征值，可得到不同的特征向量。對應于n個特征值可得n個特征向量 ，且每一個特征向量都滿足式(1.4)。對于一個振動系統(tǒng)，特征值就是系統(tǒng)的固有頻率，特征值相對應的特征向量就是系統(tǒng)的振形。顯然，對應于n個固有頻率可得n個振形。我們將在后面論述。顯然，將及代入式(1.3)，可得n組滿足方程(1.2)的解，將這些解相加，可得多自由度系統(tǒng)自由振動的一般解為： (1.11)其中2n個待定常數由系統(tǒng)運動的初始位移和初始速度確定。如果系統(tǒng)在某一特殊的初始條件下，使得待定常數中只有0，則式(1.11)所表示的系統(tǒng)運動方程只保留第k項: (1.12)多

8、自由度系統(tǒng)振動一般解的方程可表達為： (1.13)這時整個系統(tǒng)按圓頻率、振幅比作同步簡諧運動。振幅分別為，振幅之間都保持固定不變的比值。因此特征向量完全確定了系統(tǒng)按固有頻率振動時的形態(tài)，所以特征向量就是按相應固有頻率振動時的振型向量，對應的特征向量稱為它的第階主振型或主模態(tài)，相應的振動叫主振動。在振動過程中，一般還會產生其它階主振動。對于一個n自由度系統(tǒng)，一般可以找到n個固有頻率，以及相應的n個主振型。我們把各階主振型組成的矩陣叫做振型矩陣： (1.14)三、三自由度系統(tǒng)自由響應求解三自由度的彈簧-質量系統(tǒng)如圖11所示，設t=0時。求振系的自由響應。圖2 三自由度無阻尼系統(tǒng)解：第一步，建立振動

9、微分方程，由剛度法可建立該振系的微分方程第二步，求固有頻率和振型。系統(tǒng)的,，故系統(tǒng)矩陣將S代入振型方程得 故頻率方程為由上式解得三個特征值為對應的固有頻率為將代入振型方程a消去公因子，并令=1，則有由上式解得，對，做同樣的處理，得到相應的振型為第三步，求振型矩陣與正則矩陣。振型可知，振型矩陣即可確定為求正則振型矩陣，需先求出各階主質量再求出各階正則振型由正則振型即可構成正則振型矩陣第四步，用正則坐標變換可得到用正則坐標表示的獨立方程 (i=1, 2, 3)第五步，把初始條件變換到正則坐標上，若將式子兩端左乘則有因,即第六步，求振系在正則坐標下的響應。而方程的一般解為代入正則坐標表示的初始條件，第七步，把正則坐標的響應再變回到物理坐標系下。利用坐標變換式得四、結論本文在研究多自由度系統(tǒng)的自由振動時，將模型簡化成無阻尼系統(tǒng)，并使用了特征方程，矩陣逆變換等相關知識進行求解。得出了多自由系統(tǒng)在激勵下的自由響應。其實在實際問題中，系統(tǒng)幾乎都是有阻尼的，此時，所列出的運動微分方程也更加復雜，所需要用到的矩陣論的知識也更多。在計算機發(fā)展和普及的前提下，矩陣論理論的重要性越來越明顯，應用也越來越廣泛。當然，研究梁單元的振動情況只是矩陣論理論應用領域的一個小方面。但是，這足以說明用矩陣論力量