數(shù)分選講講稿第28講

1、講 授 內(nèi) 容備 注第二十八講§5.2 冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂范圍1公式法的收斂半徑可按如下公式計(jì)算i）若存在或?yàn)閯t；若，則ii）若存在或?yàn)閯t注：求收斂區(qū)間時(shí)，要檢驗(yàn)級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的收斂性例1求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間解令，級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)收斂解不等式知，收斂區(qū)間為例2求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間解 收斂，在上收斂解不等式得原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為：2缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的收斂范圍（此時(shí)不能用上述公式）例3求級(jí)數(shù)的收斂范圍解 看作函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，用根式判別法 其收斂范圍為（時(shí)，破壞級(jí)數(shù)收斂的必要條件）注：時(shí)， 充分大時(shí)例4 求級(jí)數(shù)的收斂范圍解 看作函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，用根式判別法按根

2、式判別法知，原級(jí)數(shù)的收斂范圍為二、初等函數(shù)展為冪級(jí)數(shù) 直接展開(kāi)法：求高階導(dǎo)數(shù)，帶入公式間接展開(kāi)法：熟記5個(gè)基本初等函數(shù)的展開(kāi)式其收斂域情況如下：當(dāng)時(shí)，收斂域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，收斂域?yàn)?；?dāng)時(shí)，收斂域?yàn)殚g接展開(kāi)法主要是通過(guò)變形、轉(zhuǎn)換、利用已知的展開(kāi)式例5 把下列函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，并說(shuō)明收斂范圍1）； 2）解1）2）例6設(shè)，求證：證變量替換令，則 例7 試求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式解顯然同樣方法：將函數(shù)展成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)例8 求函數(shù)按的冪的展開(kāi)式至三次項(xiàng)解三、求和問(wèn)題1利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，將級(jí)數(shù)化為已知級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求和例9 計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)之和解I兩邊從0到積分得 再積一次 左邊級(jí)數(shù)正是原級(jí)數(shù)

3、解II設(shè)則 例10 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解該級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為設(shè)則由逐項(xiàng)積分定理得于是例11 求級(jí)數(shù)的和解，上式兩端微分并乘以，有再微分并乘以，有在上式中取，有2方程式法例12 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，令則在上一致收斂于證先證明該級(jí)數(shù)一致收斂在上連續(xù)，在上有界，使得由此可知，用數(shù)學(xué)歸納法知而級(jí)數(shù)在上處處成立原級(jí)數(shù)在上一致收斂從而在上絕對(duì)一致收斂（證明和函數(shù)滿足微分方程）記原級(jí)數(shù)之和為此式兩端同時(shí)加上兩邊在上積分由此求導(dǎo)得而，解此微分方程，得例13 若的收斂半徑為且收斂則也收斂，且證其中（1）且收斂，故在上一致收斂，可逐項(xiàng)積分（2）已知收斂，因此關(guān)于在上一致收斂，故可逐項(xiàng)求極限例14 設(shè)求證：當(dāng)時(shí)， 有 證的收斂半徑時(shí)，而級(jí)數(shù)在內(nèi)可逐項(xiàng)微分，有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)因此令，得即例15 證明：證 考察冪級(jí)數(shù)收斂半徑為2，收