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1、 必修五 數(shù)列知識(shí)梳理 1.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式; .例1. 已知下列數(shù)列的前項(xiàng)和,分別求它們的通項(xiàng)公式.; .設(shè)數(shù)列滿足,則 數(shù)列中,求的值.已知數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)和求數(shù)列 的通項(xiàng)公式設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)和,則 .2. 數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列:對(duì)于任何,均有.遞減數(shù)列:對(duì)于任何,均有.2010-2011海淀區(qū)高三年級(jí)期中已知數(shù)列滿足: (I)求的值; ()求證:數(shù)列是等比數(shù)列; ()令(),如果對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式,為首項(xiàng),為公差.前項(xiàng)和公式或.等差中項(xiàng):如果成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng).即:是與的等差中項(xiàng),成等差數(shù)列.等
2、差數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等差數(shù)列;中項(xiàng)法:()是等差數(shù)列.)是等差數(shù)列是等差數(shù)列等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等差數(shù)列;等差數(shù)列中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,即為等差數(shù)列,公差為.;若,則;若等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則是等差數(shù)列;例2.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,.求證:數(shù)列是等差數(shù)列.等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 若有最大值,可由不等式組來(lái)確定; 若有最小值,可由不等式組來(lái)確定.例2.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列中是否存在正整數(shù),使得不等式對(duì)任意不小于的正整數(shù)都成立?若存在,求最小的正整數(shù),若不存在,說(shuō)明理由.3.等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn) 通項(xiàng)公式
3、與前項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式:,為首項(xiàng),為公比 .前項(xiàng)和公式: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng).即:是與的等,中項(xiàng),成等差數(shù)列.等比數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等比數(shù)列;中項(xiàng)法:()且是等比數(shù)列.等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等比數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等比數(shù)列;在等比數(shù)列中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即為等比數(shù)列,公比為.若,則;若等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則、是等比數(shù)列.例3.已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和,則 .4.數(shù)列的通項(xiàng)的求法利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng). 利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng):;應(yīng)用迭加(迭乘、迭代)法求數(shù)列的通項(xiàng):;構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng):; ;例4.設(shè)數(shù)列的前
4、項(xiàng)和為,已知,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式(宣武二模理18)設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且對(duì)于所有的正整數(shù),有 (I) 求,的值; (II) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (III)令,(),求數(shù)列的前 項(xiàng)和 例5.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且,則數(shù)列的通項(xiàng) .例6.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7.數(shù)列中,則的通項(xiàng) .數(shù)列中,則的通項(xiàng) .例8.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列求和基本數(shù)列的前項(xiàng)和 等差數(shù)列的前項(xiàng)和: 等比數(shù)列的前項(xiàng)和:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;數(shù)列求和的常用方法:拆項(xiàng)分組法;裂項(xiàng)相消法;錯(cuò)位相減法;倒序相加法.例.等差數(shù)列,公差,且,
5、則 .拆項(xiàng)分組法求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.裂項(xiàng)相消法求和數(shù)列的前項(xiàng)和 求和:; 求和:.倒序相加法求和北京市宣武區(qū)20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)已知函數(shù),為正整數(shù)()求和的值;()若數(shù)列的通項(xiàng)公式為(),求數(shù)列的前項(xiàng)和;()設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),若()中的滿足對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求的最大值.例9.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,.求的通項(xiàng);設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.錯(cuò)位相減法求和若數(shù)列的通項(xiàng),求此數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】, -,得 .例10.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,Sn+1=4an+2.設(shè)數(shù)列中,求證:是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列中,求證:是等差數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.例11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),且對(duì)任意的實(shí)數(shù),有求,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;數(shù)列滿足,且求通項(xiàng)公式;北京市宣武區(qū)20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)解:()=1
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