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1、 必修五 數(shù)列知識梳理 1.數(shù)列的前項和與通項的公式; .例1. 已知下列數(shù)列的前項和,分別求它們的通項公式.; .設(shè)數(shù)列滿足,則 數(shù)列中,求的值.已知數(shù)列的首項,其前項和求數(shù)列 的通項公式設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項和,則 .2. 數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列:對于任何,均有.遞減數(shù)列:對于任何,均有.2010-2011海淀區(qū)高三年級期中已知數(shù)列滿足: (I)求的值; ()求證:數(shù)列是等比數(shù)列; ()令(),如果對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.2.等差數(shù)列知識點通項公式與前項和公式通項公式,為首項,為公差.前項和公式或.等差中項:如果成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項.即:是與的等差中項,成等差數(shù)列.等
2、差數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等差數(shù)列;中項法:()是等差數(shù)列.)是等差數(shù)列是等差數(shù)列等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等差數(shù)列;等差數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即為等差數(shù)列,公差為.;若,則;若等差數(shù)列的前項和,則是等差數(shù)列;例2.已知為等差數(shù)列的前項和,.求證:數(shù)列是等差數(shù)列.等差數(shù)列的前項和的最值問題 若有最大值,可由不等式組來確定; 若有最小值,可由不等式組來確定.例2.已知為數(shù)列的前項和,.求數(shù)列的通項公式;數(shù)列中是否存在正整數(shù),使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立?若存在,求最小的正整數(shù),若不存在,說明理由.3.等比數(shù)列知識點 通項公式
3、與前項和公式通項公式:,為首項,為公比 .前項和公式: 當(dāng)時,當(dāng)時,.等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項.即:是與的等,中項,成等差數(shù)列.等比數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等比數(shù)列;中項法:()且是等比數(shù)列.等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等比數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等比數(shù)列;在等比數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即為等比數(shù)列,公比為.若,則;若等比數(shù)列的前項和,則、是等比數(shù)列.例3.已知為等比數(shù)列前項和,則 .4.數(shù)列的通項的求法利用觀察法求數(shù)列的通項. 利用公式法求數(shù)列的通項:;應(yīng)用迭加(迭乘、迭代)法求數(shù)列的通項:;構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項:; ;例4.設(shè)數(shù)列的前
4、項和為,已知,設(shè),求數(shù)列的通項公式(宣武二模理18)設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,其前項和為,且對于所有的正整數(shù),有 (I) 求,的值; (II) 求數(shù)列的通項公式; (III)令,(),求數(shù)列的前 項和 例5.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項公式;設(shè)是首項為1的正項數(shù)列,且,則數(shù)列的通項 .例6.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項公式;已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項公式.例7.數(shù)列中,則的通項 .數(shù)列中,則的通項 .例8.已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項公式.5.數(shù)列求和基本數(shù)列的前項和 等差數(shù)列的前項和: 等比數(shù)列的前項和:當(dāng)時,;當(dāng)時,;數(shù)列求和的常用方法:拆項分組法;裂項相消法;錯位相減法;倒序相加法.例.等差數(shù)列,公差,且,
5、則 .拆項分組法求和求數(shù)列的前項和.裂項相消法求和數(shù)列的前項和 求和:; 求和:.倒序相加法求和北京市宣武區(qū)20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測已知函數(shù),為正整數(shù)()求和的值;()若數(shù)列的通項公式為(),求數(shù)列的前項和;()設(shè)數(shù)列滿足:,設(shè),若()中的滿足對任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求的最大值.例9.設(shè)是數(shù)列的前項和,.求的通項;設(shè),求數(shù)列的前項和.錯位相減法求和若數(shù)列的通項,求此數(shù)列的前項和.【解析】, -,得 .例10.已知為數(shù)列的前項和,Sn+1=4an+2.設(shè)數(shù)列中,求證:是等比數(shù)列;設(shè)數(shù)列中,求證:是等差數(shù)列;求數(shù)列的通項公式及前項和.例11.設(shè)函數(shù)的定義域為,當(dāng)時,且對任意的實數(shù),有求,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;數(shù)列滿足,且求通項公式;北京市宣武區(qū)20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測解:()=1
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