Matlab控制系統(tǒng)仿真(1)

1、一 控制系統(tǒng)的模型與轉(zhuǎn)換目前大多數(shù)控制系統(tǒng)的分析設(shè)計方法都要求系統(tǒng)的模型已知。所以，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)。獲得數(shù)學(xué)模型的方法有兩種：一種是從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，另外一種就是利用試驗數(shù)據(jù)擬合。前一種方法稱為系統(tǒng)的物理建模方法，而后者稱為系統(tǒng)辨識，兩者各有優(yōu)勢和適用場合。 一般的分析研究中將控制系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，描述連線性連續(xù)系統(tǒng)常用的方式是傳遞函數(shù)（傳遞函數(shù)矩陣）和狀態(tài)空間模型，相應(yīng)的離散系統(tǒng)可以用離散傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)方程表示。各種模型之間還可以進行相互轉(zhuǎn)換。11 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)線性系統(tǒng)一般可以用傳遞函數(shù)描述，也

2、可以用狀態(tài)方程描述。前者是經(jīng)典控制的常用模型，而后者是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。它們是描述同一個系統(tǒng)的不同描述方式。除此之外，還可以用零極點的形式表示連續(xù)線性系統(tǒng)模型。本章著重介紹這些數(shù)學(xué)模型，并側(cè)重介紹這些模型在控制系統(tǒng)的Matlab環(huán)境下的表示方法。高階線性常微分方程通常是描述線性連續(xù)系統(tǒng)的最傳統(tǒng)的方法，其基本表達式為：其中，分別是控制系統(tǒng)的輸入和輸出信號，他們均是時間的函數(shù),n是系統(tǒng)的階次。 利用Laplace引入的積分變換（拉氏變換），可以在另初始條件下對該微分方程進行變換，得到控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： （） 傳遞函數(shù)的引入使得控制系統(tǒng)的研究變得簡單，它是控制理論中線性系統(tǒng)模型的一種主要描述方式

3、。從上面的傳遞函數(shù)的表達式可以看出，傳遞函數(shù)是兩個多項式的比值，在Matlab環(huán)境下，多項式可以用向量表示。依照Matlab慣例，將多項式的系數(shù)按照s的降冪次序排列，利用控制系統(tǒng)工具箱的tf ( )函數(shù)就可以用一個變量表示傳遞函數(shù)的模型： ;其中：前兩個語句用于描述系統(tǒng)的分子和分母多項式，后一個語句直接產(chǎn)生變量G，在Matlab工作空間直接生成描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。eg1.設(shè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，利用下面的語句就可以輕易的將該系統(tǒng)的模型輸入Matlab環(huán)境：（在命令窗口執(zhí)行）>> num=1 7 24 24;den=1 10 35 50 24;%分子多項式和分母多項式>&g

4、t; G=tf(num,den);%傳遞函數(shù)G的獲得在Matlab提示符下鍵入G或者省略最后命令中的分號，就可以顯示出該數(shù)學(xué)模型>> G 結(jié)果為：Transfer function: s3 + 7 s2 + 24 s + 24-s4 + 10 s3 + 35 s2 + 50 s + 24也可以采用這種方法，在命令窗口鍵入如下命令：>> s=tf('s');%定義一個傳遞函數(shù)的算子，G=(s3+7*s2+24*s+24)/(s4+10*s3+35*s2+50*s+24);%用數(shù)學(xué)表達形式直接輸入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者傳遞函數(shù)的矩陣模型>> G結(jié)果為

5、：Transfer function: s3 + 7 s2 + 24 s + 24-s4 + 10 s3 + 35 s2 + 50 s + 24如果分子或者分母多項式給出的不是完全展開的形式，而是若干個因式相乘的形式，則需要將其變換為完全展開的形式，兩個多項式的乘積在Matlab環(huán)境下可以借用卷積求取函數(shù)得到：eg2. 設(shè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，利用下面的語句就可以輕易的將該系統(tǒng)的模型輸入Matlab環(huán)境：（在命令窗口執(zhí)行）>> num=5*1,2.4;%分子den=conv(1,1,conv(1,1,conv(1 3 4,1 0 1);%分母描述G=tf(num,den) %顯示傳

6、遞函數(shù)結(jié)果為：Transfer function: 5 s + 12-s6 + 5 s5 + 12 s4 + 16 s3 + 15 s2 + 11 s + 4也可以采用這種方法，在命令窗口鍵入如下命令：>> s=tf('s');%定義一個傳遞函數(shù)的算子，G=5*(s+2.4)/(s+1)2*(s2+3*s+4)*(s2+1);%用數(shù)學(xué)表達形式直接輸入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者傳遞函數(shù)的矩陣模型>> G結(jié)果為：Transfer function: 5 s + 12-s6 + 5 s5 + 12 s4 + 16 s3 + 15 s2 + 11 s + 4對于eg2給

7、出的傳遞函數(shù)形式，可以稱之為系統(tǒng)的零極點模型，其通式如下： ，其中，K是系統(tǒng)的增益，,分別是系統(tǒng)的零極點。在Matlab下表示系統(tǒng)的零極點模型的方法可以，將系統(tǒng)的零極點作為列向量輸入到Matlab工作空間，采用zpk ( )函數(shù)調(diào)用的形式實現(xiàn)：;其中，前兩個語句分別輸入系統(tǒng)的零點和極點列向量，后面的語句有這些信息和系統(tǒng)增益構(gòu)造系統(tǒng)的零極點模型對象G.。對eg2給出的傳遞函數(shù)，建立其零極點模型如下：建立模型可以采用這種方法在命令窗口鍵入如下命令：>> P=-1;-1;-1.5+1.3229i;-1.5-1.3229i;-i;i;Z=-2.4;%零極點向量形式>> G=zp

8、k(Z,P,5) %零極點模型輸入結(jié)果為：Zero/pole/gain: 5 (s+2.4)-(s+1)2 (s2 + 1) (s2 + 3s + 4)還可以用pzmap(G)在復(fù)平面上顯示該系統(tǒng)的零極點位置，如下圖所示：在命令窗口鍵入：>> pzmap(G)得到的結(jié)果為：其中的x表示極點位置，o表示零點位置。狀態(tài)空間模型是描述控制系統(tǒng)的另外一種重要的方式，和傳遞函數(shù)不同，狀態(tài)空間模型可以描述更廣的一類系統(tǒng)模型，包括非線性模型。一般狀態(tài)空間模型的形式為在Matlab下表示系統(tǒng)的狀態(tài)模型相當(dāng)直觀，只需要將各個系數(shù)矩陣按照常規(guī)矩陣的方式輸入到工作空間就可以了，這樣系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以

9、用下面的語句直接建立如果在構(gòu)造狀態(tài)模型時給出的維數(shù)不兼容，則執(zhí)行ss ( )對象時給出明確的錯誤信息，中斷程序運行。Eg3.設(shè)某控制系統(tǒng)的A,B,C,D陣分別為，在命令窗口輸入下列命令，可以得到該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：>> A=0 1 0;0 0 1; -6 -11 -6;B=1 0;2 -1;0 2;C=1 -1 0;2 1 -1;D=0 0;0 0;>> G=ss(A,B,C,D)%輸入并顯示系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -6 -11 -6b = u1 u2 x1 1 0 x2 2 -1 x3 0

10、2 c = x1 x2 x3 y1 1 -1 0 y2 2 1 -1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model.>>12 離散系統(tǒng)模型離散系統(tǒng)通?？梢杂貌罘址匠毯碗x散傳遞函數(shù)描述（Z傳遞函數(shù)），其通式如下：（）在Matlab語言中，輸入離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型一樣，需要分別按照要求輸入系統(tǒng)的分子和分母多項式，就可以利用tf ( ) 函數(shù)將其輸入到Matlab環(huán)境中。與連續(xù)系統(tǒng)的不同之處在于，離散系統(tǒng)的模型同時還要輸入輸入系統(tǒng)的采樣周期T，具體語句如下：; 其中T輸入實際的采樣周期數(shù)值，H為離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，

11、此外，還可以仿照連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的算子輸入方法，定義算子z=tf(z,T)，則可以用數(shù)學(xué)表達式的形式輸入系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型。Eg4. 設(shè)離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型由下式表示 ，且已知系統(tǒng)的采樣周期T=0.1s，則將其模型輸入Matlab鍵入如下命令即可：>> num=0.3124 0.5743 0.3879 0.0889;den=1 3.223 3.9869 -2.2209 0.4723;%分子分母多項式描述>> H=tf(num,den,'Ts',0.1)結(jié)果為：Transfer function: 0.3124 z3 + 0.5743 z2 + 0.3879 z + 0.0889-z4 + 3.223 z3 + 3.987 z2 - 2.221 z + 0.4723 Sampling time: 0.1離散系統(tǒng)的零極點位置同樣可以由 pzmap(