用平面法向量求空間距離-

1、應(yīng)用空間向量解立體幾何之用平面法向量求空間距離 空間中距離的求法是歷年高考考查的重點,其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎(chǔ),求其他幾種距離一般化歸為這三種距離 重難點歸納 .空間中的距離主要指以下七種(1兩點之間的距離 (2點到直線的距離 (3點到平面的距離 (4兩條平行線間的距離 (5兩條異面直線間的距離(6平面的平行直線與平面之間的距離 (7兩個平行平面之間的距離七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離 七種距離之間有密切聯(lián)系,有些可以相互轉(zhuǎn)化,如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離,平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離在七種距離中,求點

2、到平面的距離是重點,求兩條異面直線間的距離是難點求點到平面的距離 (1直接法,即直接由點作垂線,求垂線段的長 (2轉(zhuǎn)移法,轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離 (3體積法 (3向量法求異面直線的距離 (1定義法,即求公垂線段的長 (2轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 (3函數(shù)極值法,依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的本節(jié)課重點來學(xué)習(xí)如何用面法向量來求空間距離 一、復(fù)習(xí)1、向量的射影定義2、平面的法向量的定義二、新課講解(一平面法向量的求法一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量,進而就可以利用平面的法向量解決相關(guān) 立體幾何問題推導(dǎo)平面法向量的方法如下:在給定的空間直角坐標系中,

3、設(shè)平面的法向量(,1n x y = 或(,1,n x z =,或 (1,n y z = ,在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量,a b。由n ,得0n a = 且 0n b = ,由此得到關(guān)于,x y 的方程組,解此方程組即可得到n。有時為了需要,也求法向量n 上的單位法向量0n ,則0n = 圖1 例1 在棱長為1的正方體1111ABC D A B C D -中,求平面1A C D 的法向量n和單位法向量0n(二用平面法向量求空間距離 1、異面直線之間距離方法指導(dǎo):作直線a 、b 的方向向量a 、b ,求a 、b 的法向量n ,即此異面直線a 、b 的公垂線的方向向量;在直線a 、b 上各取一點A

4、、B ,作向量AB ;求向量AB 在n 上的射影d ,則異面直線a 、b 間的距離為|AB n d n = ,其中,n a n b A a B b 例2、已知正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1棱長為1,求異面直線DA 1與AC 的距離練習(xí):如圖ABCD 是正方形,SB 面ABCD ,且SA 與面ABCD 所成的角為45o ,點S 到平面ABCD 的距離為1,求AC 與SD 的距離A BCD A 1B 1C 1D 1ABCDS2、點到平面的距離方法指導(dǎo):若點P 為平面外一點,點A 為平面內(nèi)任一點,平面的法向量為n ,則點P 到平面 的距離公式為d = 例3、已知正方形ABCD 的邊長為4

5、,CG 平面ABCD ,CG=2,E 、F 分別是AB 、AD 的中點,求點B 到平面GEF 的距離 練習(xí):已知SA 平面ABCD ,DAB=ABC=90o,SA=AB=BC=a ,AD=2a ,求A 到平面SAD 的距離ACSDABDA 1B 1M N EF D 1 C 13、直線與平面間的距離學(xué)法指導(dǎo):直線a 與平面之間的距離:|AB n d n =,其中,A a B 。n是平面的法向量 例4、已知正方形ABCD 的邊長為4,CG 平面ABCD ,CG=2,E 、F 分別是AB 、AD 的中點,求點BD 到平面GEF 的距離4、平面與平面間的距離學(xué)法指導(dǎo):兩平行平面,之間的距離:|AB n d n =,其中,A B 。n是平面的法向量 例5(備用在邊長為1的正方體ABCD-A 1B 1