深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試?yán)頂?shù)

1、2011年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試 數(shù)學(xué)（理科） 2011.3.3參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高。柱體的體積公式，其中是柱體的底面積，是柱體的高。 如果事件A、B互斥，那么. 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知，若（其中為虛數(shù)單位），則( )A、 B、 C、 D、 2、已知：“”，：“直線與圓相切”，則是 的( )A、充分非必要條件 B、必要非充分條件 C、充要條件 D、既非充分也非必要條件3、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、

2、4 4、如圖，圓：內(nèi)的正弦曲線與軸圍成的區(qū)域記為（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是（ ）A、 B、 C、 D、5、在一條公路上每隔10公里有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù)。一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有則10噸貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有20噸貨物，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有40噸貨物，其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的?，F(xiàn)在要把所有的貨物集中存放一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，若每噸貨物運(yùn)輸1公里需要0.5元運(yùn)輸費(fèi)，則最少需要的運(yùn)費(fèi)是（ ）A、450元 B、500元 C、550元 D、600元6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A、2 B、1 C、 D、7、設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和直線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部。當(dāng)時(shí)，的最

3、大值為（ ）A、24 B、25 C、4 D、78、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如下表。的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示。下列關(guān)于函數(shù)的命題： 函數(shù)是周期函數(shù)； 函數(shù)在是減函數(shù)； 如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)。其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答。9、已知全集，集合為函數(shù)的定義域，則 。10、設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為 。11、在中，已知分別所對(duì)的邊，為的面積，若向量，滿足，則 。

4、12、已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ _；13、已知為如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果，則二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是 。（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分14、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，設(shè)是直線上任一點(diǎn)，是圓上任一點(diǎn),則的最小值是 。 15、（幾何證明選講）如圖，割線經(jīng)過圓心O，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋120°到，連交圓于點(diǎn)，則 .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16、（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（1）求的最小正周期；（2）若將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間

5、上的最大值和最小值。17、（本小題滿分12分）第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2011年8月12日到23日在深圳舉行 ，為了搞好接待工作，組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單位：cm）： 若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”。（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中 中提取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是 “高個(gè)子”的概率是多少？（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)

6、任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。18、（本小題滿分14分） 如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，交于點(diǎn)，平面，（1）證明：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值A(chǔ)BCEFMO·19(本小題滿分14分)已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足若點(diǎn)滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由20(本小題滿分14分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）求、和；（2）若對(duì)任意的，不等

7、式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由21（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小；（3）求證：（）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題CAAB BCAD二、填空題 9、 10、8 11、 12、 13、-192 14、 15、三、解答題16、解：（1） -2分 -4分 所以的最小正周期為 -6分（2）將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象， -8分時(shí)， -9分當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2 -10分當(dāng)，即時(shí)，取得最小值- 12分【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式、

8、兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，以及圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查了運(yùn)算能力17、解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人，- 1分用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是， -2分所以選中的“高個(gè)子”有人，“非高個(gè)子”有人- 3分用事件表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”，則它的對(duì)立事件表示“沒有一名“高個(gè)子”被選中”，則 -5分因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是 -6分（）依題意，的取值為-7分， ， -9分因此，的分布列如下：-10分 -12分 【說明】本題主要考察莖葉圖、分層抽樣、隨機(jī)事件的概率、對(duì)立事件的概率、隨機(jī)變

9、量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)ABCEFMO·18、解：（法一）（1）平面平面， - 1分又，平面而平面 -3分是圓的直徑，又，平面，平面與都是等腰直角三角形，即（也可由勾股定理證得）-5分， 平面而平面， -6分（2）延長(zhǎng)交于，連，過作，連結(jié)由（1）知平面，平面，HGABCEFMO·而，平面平面，為平面與平面所成的二面角的平面角 -8分在中，由，得又，則 -11分是等腰直角三角形，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 -12分（法二）（1）同法一，得 -3分如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、所在的直線為軸建立空

10、間直角坐標(biāo)系xyzABCEFMO·由已知條件得，- 4分由，得， -6分（2）由（1）知設(shè)平面的法向量為，由 得，令得， -9分由已知平面，所以取面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則， -11分平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 -12分【說明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力19、解：（1）橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，- 1分，由，得 -3分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，代入，得 -5分（2）(法一)設(shè)直線的方程為，、，則， -6分由，得， 同理得- 8分，則 -9分由，得， -11分則 -

11、13分因此，的值是定值，且定值為 -14分 (法二)當(dāng)時(shí)， 、，則， 由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 -7分當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，、，同解法一，得 -10分由，得，- 11分則 -13分因此，的值是定值，且定值為 -14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想20、解：（1）（法一）在中，令，得 即 -2分解得， -3分， -5分（法二）是等差數(shù)列， -2分由，得 ， 又，則 -3分(求法同法一)（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需

12、不等式恒成立 -6分 ，等號(hào)在時(shí)取得 此時(shí) 需滿足 -7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 -8分 是隨的增大而增大， 時(shí)取得最小值 此時(shí) 需滿足 -9分綜合、可得的取值范圍是 -10分（3）， 若成等比數(shù)列，則，即11分（法一）由，可得，即， -12分 -13分又，且，所以，此時(shí)因此，當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列- 14分（法二）因?yàn)椋?，即，（以下同上?-13分【說明】考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)，以及數(shù)列的求和、利用均值不等式求最值等知識(shí)；考查了學(xué)生的函數(shù)思想方法，及其推理論證和探究的能力21、解：（1）當(dāng)時(shí)，定義域是， 令，得或 2分當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 -4分的極大值是，極小值是當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或- 5分 （2）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?令， ， 在上是增函數(shù) -7分當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即 -9分（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，即令，則有， -12分， -14分 (法二)當(dāng)時(shí)，即時(shí)命題成立 -10分設(shè)當(dāng)時(shí)，命