淺談定積分的對稱性

1、淺談定積分的對稱性周莉 學號:09003035（巢湖學院數(shù)學系 安徽 巢湖 238000）摘 要：定積分在積分學中占有非常重要的位置，而且它的計算相對來說比較的麻煩，所以為了使定積分的有關計算變得簡單一點，我們需要用到定積分的一些性質(zhì)。本文在原有的學習的相關知識的基礎上，歸納總結了對稱性在積分運算中的應用，同時也給出了對稱性在定積分以及二重積分運算中的有關定理、推論和一些應用。在本文中充分地體現(xiàn)了在積分運算中定積分的對稱性所帶來的方便，使其達到了簡化積分運算的目的。這個對于積分運算的解答和數(shù)學理論的研究來說，都有著非常重要的意義。關鍵詞：定積分；對稱性；奇函數(shù)；偶函數(shù)On the Symmet

2、ry of the Definite IntegralZhou Li StuNo:09003035（Department of Mathematics,Chaohu college, Chaohu Anhui 238000）Abstract: The definite integral in the integral calculus occupied a very important position, and its calculating relatively trouble, so we need to use some properties of definite integral

3、to make some more complex computation became simplified. This paper USES mathematical analysis of the integral summarized the application in the integral computation symmetry, and gives the symmetry in definite integral, the double integral operation related theorem and application. Fully embodies t

4、he symmetry in the integral operation bring convenience, achieved the purpose of simplified integral operation. This point for mathematical theory research and integral computation solutions are of significance.Keyword：definite integral; symmetry; odd function; even function引 言數(shù)學的對稱美是解決數(shù)學難題的關鍵，同時也為數(shù)

5、學研究提供了一種獨特的方法。 對稱性是指某一事物對象的兩個部分的對等性。其定義用集合語言刻畫如下:設給定一個集合M,在其內(nèi)考慮元素間的某些關系,并設P是M的一個子集,對于M的一個可容許變換A,稱集合P是對稱的或不變的,若變換A把集合P中的每一點仍變?yōu)镻的點。有關數(shù)與形的對稱在積分學中極為常見, 許多問題初看起來似乎難以解決,不易下手,但一旦恰當?shù)乩昧四撤N對稱性,這個復雜的計算問題就變得異常簡單。本文的第一部分先介紹了定積分的概念，然后從定積分的對稱性出發(fā)，將定積分的對稱性運用到一些例子中，使其運算變得簡便。再作進一步推廣,得到幾個更一般性的結果,將這些結果應用于某些定積分的計算將十分方便。最

6、后再將對稱性推廣到二重積分中，使其有更廣泛的應用。一、定積分的概念定積分是積分學的基本內(nèi)容。從歷史上說，定積分的概念是從一系列諸如求面積、體積等幾何問題和變力做功等力學等問題中提煉出來的，最后歸結為計算既有特定結構的和式的極限。定義1.1：設閉區(qū)間上有n-1個點，依次為它們把分成個小區(qū)間.這些分點或這些閉子區(qū)間構成對的一個分割，記為或.小區(qū)間的長度為并記稱為分割的模。定義1.2：設是定義在上的一個函數(shù)。對于的一個分割，任取點并作和式稱此和式為函數(shù)在上的一個積分和。定義1.3：設是定義在上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任何分割T，以及在其上任意選取的點集

7、，只要就有則稱函數(shù)在區(qū)間上可積；數(shù)J稱為在上的定積分，記作其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為這個定積分的下限和上限。以上定義1到定義1.3是定積分概念的完整敘述。一、定積分的對稱性（一）定積分的對稱性的性質(zhì)性質(zhì)1 ：設函數(shù)在區(qū)間 上可積：（1）如果為偶函數(shù)，則（2）如果為奇函數(shù)，則即證明：因為對積分作代換,則有所以如果為偶函數(shù)，則從而如果為奇函數(shù)，則從而證畢。我們在做題目的時候，凡是遇到積分區(qū)間關于原點對稱的定積分問題，首先要考慮是否能夠用定積分的對稱性將其化簡。例題1：解：因為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)所以是奇函數(shù)，由根據(jù)定積分的對稱性得例題2：計算積分解：令則其中為偶函數(shù)，則

8、：令，則 例題3：求定積分解：因為是奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，又為偶函數(shù)。因此根據(jù)定積分的對稱性化簡得：用公式得：原積分=例題4：設在上連續(xù)，且對任何都有，計算解：因為 所以即為奇函數(shù)由定積分的對稱性，有：性質(zhì)2：“互補相等性”有一種定積分經(jīng)過變量代換后與原積分互補，即經(jīng)過變量代換后的積分式與原積分式合并可以得到簡單的積分式。我們也將其歸入定積分的對稱性之中，這種對稱性實質(zhì)上是一種“互補相等性”，利用這個性質(zhì)可以簡化某些定積分運算。被積函數(shù)的分母為兩項，分子為其中一項的這類定積分在計算中，經(jīng)常利用這種互補相等性，例如下面的例題：例題5：求定積分解：因為=所以 因此上面這種利用“互補相等性”來化簡

9、定積分的做法可以概括為：先作變量代換，保證變換后積分限不變，然后利用互補性將變換式與原式相加得到一個簡單的易積分的積分式，復雜部分被消去，最后通過計算這個簡單的易積分的積分式來求出原積分式的值。用這種方法化簡某些定積分運算時要注意下面幾點：（1） 不要求原定積分的積分區(qū)間一定關于原點對稱。（2） 變量代換的一般做法為：若積分區(qū)間關于原點對稱，則作變量代換；若積分區(qū)間為，則作若積分區(qū)間為，則作若積分區(qū)間為則作若積分區(qū)間為，則作如果將上述命題作進一步推廣,將得到如下幾個更一般性的結果,將這些結果應用于某些定積分的計算將十分方便。（二）定積分的對稱性的相關定理及推論定理1設函數(shù)在上可積,則有： （1

10、）特別地,當積分區(qū)間為時，有： （2）證明：設,則且當 時，當時，于是有(2)式可由（1）式直接推得。證畢。例題6：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且計算：解：令則因此由定理1可得： 所以定理2：設函數(shù)在區(qū)間上可積，且有，即關于區(qū)間的中點為偶函數(shù)，則有： （3）證明： （4）對于右式中的第二項,令則且當時，當時，于是有： 代入（4）式即得（3）式。證畢。定理3：設函數(shù)在區(qū)間上可積，且有。即關于區(qū)間的中點為奇函數(shù)，則有與定理2的證明同理,可證得定理3。但考慮到對稱性，利用定理1來證明定理3更為直觀、方便。證明：由（2）式得 于是有。證畢。推論1：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有證明： 容易驗證，上式右邊積分中的被積

11、函數(shù)關于區(qū)間中點為奇函數(shù)，由定理3可知積分為0，于是的證。同理可得。證畢。例題2：解：上式= 因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)所以 三定積分的對稱性在二重積分中的推廣對稱性不僅僅只運用在一重積分之中，也可以運用到二重積分之中。下面我就從二重積分的方面來談談對稱性的運用。1、二重積分的對稱性二重積分的積分域定義在平面內(nèi)，可以通過畫簡易圖示來分析二重積分的對稱性。在滿足“配套關系”的前提下，二重積分的對稱性可以總結如下：（1） 如果積分域D關于x軸對稱，被積函數(shù)為關于y的奇偶函數(shù)，則 其中為x軸平分D得到的半個部分。（2） 如果積分域D關于y軸對稱，被積函數(shù)為關于x的奇偶函數(shù)，則 其中為y軸平分D得到的半個

12、部分。（3） 如果積分域D關于原點對稱，被積函數(shù)為關于x，y的奇偶函數(shù)，則 其中為過原點的直線平分D得到的半個部分。（4） 如果積分域D關于y=x軸對稱，則 說明：（1）（2）（3）要求積分域D的對稱性與被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性滿足配套關系時才能使用對稱性化簡二重積分。而（4）只要求積分域D關于y=x對稱，對被積函數(shù)沒有奇偶數(shù)要求，但是（4）并沒有對積分運算進行化簡，只有當x,y互換后的二重積分與原積分具有“互補相等性”時，才能用在前面“定積分的對稱性”中提到的“互補相等性”來化簡積分運算。具體例子參見下面例題12.例題11：計算其中積分域D由下列雙紐線圍成：解：用-x代換曲線方程中的x，

13、曲線方程的形式不變，可知積分域D關于y軸對稱，又因為被積函數(shù)xy為x的奇函數(shù)，所以根據(jù)二重積分的對稱性，可得到：例題12：設區(qū)域，為D上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）解：由已知條件可知：積分域關于對稱。根據(jù)前面討論過的二重積分的對稱性（4），有 ，所以 所以選擇（D）。說明：本例的積分式在使用二重積分的對稱性進行變換之后，與原積分式具有“互補相等性”。因此本例是利用“互補相等性”來化簡積分運算。例題13：計算其中D是所圍成的區(qū)域，為連續(xù)函數(shù)。解：用將積分域分成兩部分?？梢婈P于y軸對稱，關于x軸對稱。因為是關于的奇函數(shù)，所以而因為是關于的奇函數(shù)所以因此原積分 其中為在軸之上的半個部分。以上就是對稱性在二重積分中的應用。結束語：本文從定積分的對稱性出發(fā)，分別介紹了對稱性在一重積分和二重積分中的應用，主要歸納總結了對稱性在計算不同的積分中的妙用，使一些較復雜的計算變得簡化，利用對稱性計算積分也是一種非常重要的計算技巧。歸納總結了對稱性在計算定積分中的妙用，使一些較復雜的計算變得簡單。這些推論可用于簡化積分運算，特殊情況下可以求出一些較復雜的定積分的值。參考文獻：1華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析（上冊）. 北京:高等教育出版社, 20062同濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學（第五版，上冊）.北京：高等教育出版社，20