概率論與數(shù)理統(tǒng)計學1至7章課后答案68700_第1頁
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文檔簡介

1、第2章 作業(yè)題解:2.1 擲一顆勻稱的骰子兩次, 以X 表示前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和, 求X 的概率分布, 并驗證其滿足() 式.解:123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知X的可能取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且,;。即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 設離散型隨機變量的概率分布為試確定常數(shù).解:根據(jù),得,即。 故 2.3 甲、乙兩人投籃時, 命中率分別為0.7 和0.4 , 今甲、乙各投籃兩次, 求下列事件的概率:(1) 兩人投中的次數(shù)相同; (2) 甲比乙

2、投中的次數(shù)多.解:分別用表示甲乙第一、二次投中,則兩人兩次都未投中的概率為:,兩人各投中一次的概率為:兩人各投中兩次的概率為:。所以:(1)兩人投中次數(shù)相同的概率為(2) 甲比乙投中的次數(shù)多的概率為:2.4 設離散型隨機變量的概率分布為,求 解:(1) (2) 2.5 設離散型隨機變量的概率分布為,求 解: 2.6 設事件A 在每次試驗中發(fā)生的概率均為0.4 , 當A 發(fā)生3 次或3 次以上時, 指示燈發(fā)出信號, 求下列事件的概率:(1) 進行4 次獨立試驗, 指示燈發(fā)出信號; (2) 進行5 次獨立試驗, 指示燈發(fā)出信號.解:(1) (2) .2.7 某城市在長度為t (單位:小時) 的時間

3、間隔內發(fā)生火災的次數(shù)X 服從參數(shù)為0.5t 的泊松分布, 且與時間間隔的起點無關, 求下列事件的概率:(1) 某天中午12 時至下午15 時未發(fā)生火災;(2) 某天中午12 時至下午16 時至少發(fā)生兩次火災.解:(1) ,由題意,所求事件的概率為.(2) , 由題意,所求事件的概率為.2.8 為保證設備的正常運行, 必須配備一定數(shù)量的設備維修人員. 現(xiàn)有同類設備180 臺, 且各臺設備工作相互獨立, 任一時刻發(fā)生故障的概率都是0.01,假設一臺設備的故障由一人進行修理,問至少應配備多少名修理人員, 才能保證設備發(fā)生故障后能得到及時修理的概率不小于0.99?解:設應配備m名設備維修人員。又設發(fā)生

4、故障的設備數(shù)為X,則。依題意,設備發(fā)生故障能及時維修的概率應不小于0.99,即,也即因為n=180較大,p=0.01較小,所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表,得,當m+1=7時上式成立,得m=6。故應至少配備6名設備維修人員。2.9 某種元件的壽命X(單位:小時) 的概率密度函數(shù)為:求5 個元件在使用1500 小時后, 恰有2 個元件失效的概率。解:一個元件使用1500小時失效的概率為 設5個元件使用1500小時失效的元件數(shù)為Y,則。所求的概率為。2.10 設某地區(qū)每天的用電量X(單位:百萬千瓦時) 是一連續(xù)型隨機變量, 概率密度函數(shù)為:假設該地區(qū)每天的供電量僅有80萬千瓦時, 求該

5、地區(qū)每天供電量不足的概率. 若每天的供電量上升到90萬千瓦時, 每天供電量不足的概率是多少?解:求每天的供電量僅有80萬千瓦時, 該地區(qū)每天供電量不足的概率,只需要求出該地區(qū)用電量X超過80萬千瓦時(亦即X0.8百萬千瓦時)的概率:若每天的供電量上升到90萬千瓦時, 每天供電量不足的概率為:2.11 設隨機變量求方程有實根的概率.解:方程有實根,亦即,顯然,當時,方程有實根;又由于所求概率為:。2.12 某型號的飛機雷達發(fā)射管的壽命X(單位:小時) 服從參數(shù)為0.005 的指數(shù)分布, 求下列事件的概率:(1) 發(fā)射管壽命不超過100 小時;(2) 發(fā)射管的壽命超過300 小時;(3) 一只發(fā)射

6、管的壽命不超過100 小時, 另一只發(fā)射管的壽命在100 至300 小時之間.解:(1) 發(fā)射管壽命不超過100 小時的概率:=0.39(2) 發(fā)射管的壽命超過300 小時的概率:(3) 一只發(fā)射管的壽命不超過100 小時, 另一只發(fā)射管的壽命在100 至300 小時之間.。2.13 設每人每次打電話的時間(單位:分鐘) 服從參數(shù)為0.5 的指數(shù)分布. 求282 人次所打的電話中, 有兩次或兩次以上超過10 分鐘的概率.解:設每人每次打電話的時間為X,XE(0.5),則一個人打電話超過10分鐘的概率為又設282人中打電話超過10分鐘的人數(shù)為Y,則。因為n=282較大,p較小,所以Y近似服從參數(shù)

7、為的泊松分布。所求的概率為2.14 某高校女生的收縮壓X(單位:毫米汞柱) 服, 求該校某名女生:(1) 收縮壓不超過105 的概率;(2) 收縮壓在100 至120 之間的概率.解:(1)(2)。2.15 公共汽車門的高度是按成年男性與車門碰頭的機會不超過0.01 設計的, 設成年男性的身高X(單位:厘米) 服從正態(tài)分布N(170,), 問車門的最低高度應為多少?解:設車門高度分別為。則:查表得,因此,由此求得車門的最低高度應為184厘米。2.16 已知20 件同類型的產品中有2 件次品, 其余為正品. 今從這20 件產品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取

8、出次品的件數(shù), 求X 的概率分布與分布函數(shù).解:X的可能取值為0,1,2。因為; ;所以X的分布律為X012PX的分布函數(shù)為2.17 袋中有同型號小球5 只, 編號分別為1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取出的3只中的最小號碼, 求隨機變量X 的概率分布和分布函數(shù).解:X的可能取值為1,2,3。因為; ;所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為2.18 設連續(xù)型隨機變量X 的分布函數(shù)為: 求(1),(2)求的概率密度函數(shù)。解:(1) (2) 2.19 設連續(xù)型隨機變量X 的分布函數(shù)為: (1)求常數(shù)(2)求的概率密度函數(shù)。(3)求解:(1)由及,得,故

9、a=1,b=-1.(2) (3) 。2.20設隨機變量X 的概率分布為:X00.30.20.40.1解:(1) Y的可能取值為0, 2, 42。因為; ;所以Y的分布律為Y0242P0.20.70.1(2) Y的可能取值為-1,1。因為 ;所以Y的分布律為Y-11P0.70.32.21 設隨機變量X的分布函數(shù)為(1)求的概率分布; (2)求的概率分布。解:(1) X的可能取值為F(x)的分界點,即-1,1,2。因為 ;所以X的分布律為X-112P0.30.50.2(2) Y的可能取值為1,2。因為 ;所以Y的分布律為Y12P0.80.22.22 設隨機變量,求下列隨機變量概率密度函數(shù):(1)

10、(2); (3).解:(1) 已知因為求導得 所以Y參數(shù)分別為-1, 22服從正態(tài)分布。(2) 已知因為求導得 (3) 已知求導得 2.23解:(1)已知求導得 因為當,即時,;當y取其他值時。所以 為所求的密度函數(shù)。二、第二章定義、定理、公式、公理小結及補充:(1)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率,即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk,k=1,2,,則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出:。顯然分布律應滿足下列條件:(1), (2)。(2)連續(xù)型隨機變量的分布密度設是隨機變量的分布函數(shù),若存在非負函

11、數(shù),對任意實數(shù),有, 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù),簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質:1 。2 。(3)離散與連續(xù)型隨機變量的關系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設為隨機變量,是任意實數(shù),則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù),本質上是一個累積函數(shù)。 可以得到X落入區(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入區(qū)間( ,x內的概率。分布函數(shù)具有如下性質:1 ;2 是單調不減的函數(shù),即時,有 ;3 , ;4 ,即是右連續(xù)的;5 。對于離散型隨機變量,;對于連續(xù)型隨機變量, 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X

12、=0)=q二項分布在重貝努里試驗中,設事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量,設為,則可能取值為。, 其中,則稱隨機變量服從參數(shù)為,的二項分布。記為。當時,這就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量的分布律為,則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布(np=,n)。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布,記為H(n,N,M)。幾何分布,其中p0,q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為G(p)。均勻分布設隨機變量的值只落在a,b內,其密度函數(shù)在a,b上為常數(shù),即axb 其他,則稱隨機變量在a,b上服從均勻分布,記為XU(a,b)。分布函數(shù)為 axb 0, xb。當ax1x2b時,X落在區(qū)間()內的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中,則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 記住積分公式:正態(tài)分布設隨機變量的密度函數(shù)為, ,其中、為常數(shù),則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記為。具有如下性質:1 的圖形是關于對稱的;2 當時,為最大值;若,則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱

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