求最值問題的幾種方法

1、淺談求最值問題的幾種方法摘要：最值問題綜合性強, 涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多分支, 因而這類問題題型廣, 知識面寬,而且在解法上靈活多樣, 能較好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 在歷年的高考試題中, 既有基礎(chǔ)題, 也有一些小綜合的中檔題, 更有一些以難題的形式出現(xiàn). 解決這類問題要掌握多方面的知識, 綜合運用各種數(shù)學(xué)技巧, 靈活選擇合理的解題方法, 本文就幾類最值問題作一探求.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；函數(shù)；最值；最大值；最小值 1. 常見函數(shù)的最值問題.1.1 一次函數(shù)的最大值與最小值. 一次函數(shù)在其定義域(全體實數(shù))內(nèi)是沒有最大值和最小值的, 但是, 如果對自變量的取值范圍有所限制時, 一次函數(shù)就可能有最大值和最

2、小值了.例1. 設(shè) 且 1,(01),求的最大值與最小值.解: 可化為：下面對一次項系數(shù)分兩種情況討論：（1）當(dāng)1時，-0,于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而增加的,所以當(dāng)=0時,取最小值;當(dāng)=1時,y取最大值. （2）當(dāng)01時,于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而減少的,所以當(dāng)=0時,取最大值;當(dāng)=1時,取最小值.例2. 已知是非負實數(shù),且滿足條件求的最大值和最小值.分析： 題設(shè)條件給出兩個方程,三個未知數(shù)，當(dāng)然， 的具體數(shù)值是不能求出的.但是,我們固定其中一個，不防固定，那么都可以用來表示，于是便是的函數(shù)了（需注意的取值范圍），從而我們根據(jù)已知條件，可求出的最大值與最小值.1.2二次函數(shù)的最大值與最

3、小值一般地，求二次函數(shù)的最大值與最小值，都是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象來求解，即有：若>0，則當(dāng)= 時，有最小值為；若<0，則當(dāng)= 時，有最大值. 這里我們給出另一種求二次函數(shù)最值的方法判別式法.例3. 已知1, 2是方程 (是實數(shù)）的兩個實數(shù)根，求的最大值與最小值.分析：一般地,二次函數(shù),若方程有實根,其判別式0.如果關(guān)于的不等式0,可以解出的取值范圍，便可求出函數(shù)的最值，這就是求函數(shù)最值的判別式法.解：由于二次方程有實根，所以=0 解得 則 由于在上是減函數(shù),可見當(dāng)時，=有最大值18，當(dāng)時，=有最小值.1.3三角函數(shù)的最大值與最小值三角函數(shù)的最值問題題型廣，涉及的知識面寬，而且在

4、解法上靈活多變，能較好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，因而一直是學(xué)習(xí)中的熱點和重點. 例 4. 已知函數(shù),設(shè)，當(dāng)為何值時，y取得最小值. 解： , 即有 , 當(dāng)時，取得最小值.說明：求三角函數(shù)的最值時，方法很多，而在代數(shù)中求最值的方法均適用，如配方法（注意三角函數(shù)的取值范圍），換元法（注意換元后的范圍），判別法，重要不等式（注意取等號的條件）等等，這里不再贅述，只列舉出幾種常見的三角函數(shù)及最值的求法： （1）型，利用三角函數(shù)的值域，須注意對字母的討論. （2） 型，先引進輔助角化成，再利用有界性. （3） 型，配方后求二次函數(shù)的最值，須注意 的約束. （4） 型，反解出，化歸為解決.(5) 型，化歸

5、為 利用三角函數(shù)的有界性求解，或用數(shù)形結(jié)合法 .(6) 型，常用到換元法，令，.1.4 分式函數(shù)的最大值與最小值求分式函數(shù)的最大值與最小值問題，常用到的辦法是去分母后，化為關(guān)于的二次方程，然后用判別式0，得出的取值范圍，進而求出的最大值和最小值.例5. 求函數(shù)的最值.解：去分母，整理得 當(dāng)時，這是一個二次方程，因是實數(shù)，所以判別式0. 即 = 解得 當(dāng) 當(dāng) 由此即知, 當(dāng) 時， 取最小值-4； 當(dāng) 時， 取最大值1. 說明：本題求最值的方法叫判別法，是一種常用的方法，但在用判別法時，應(yīng)特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應(yīng)的值. 2. 一類無理函數(shù)的最值問題無理函數(shù)的最值是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的

6、一個難點，其形式多樣，解法繁雜，學(xué)生在解題時常感困惑，下面就研究一類形如 的無理函數(shù)最值的解法.例6. 求函數(shù)的最值，以及取最值時的值. 解法1. 利用判別式顯然 ， 兩邊平方得 移項，平方整理得 由 得 又 及 得 當(dāng)=6時，；當(dāng)=時，.解法2. 巧用三角變換. 設(shè), 則， .消去得 . 當(dāng) 時， 即 時， ； 當(dāng) 時， 即=6 時， .解法3. 善用導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)尤其是函數(shù)最值問題成為強有力的手段，要重視導(dǎo)數(shù)在解決一些復(fù)雜的函數(shù)最值上的作用，善于運用它體念它獨特的解題魅力，能使問題得到簡潔，完美的解決. 對原函數(shù)求導(dǎo)可得 令 得 又 計算端點和導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)值得 ， ， . 由此可得 當(dāng)=時， ， 當(dāng)=6時，.3. 其它函數(shù)的最值問題處理一般函數(shù)的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進而構(gòu)造例子來說明能取到這個最大值或者最小值。例7. 設(shè)是正實數(shù)，求函數(shù)的最小值. 解：先估計的最小值 又當(dāng)