正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性 真正反映思維過程的文章，比八股式論文 要和諧可親得多，而且對(duì)思維訓(xùn)練更有幫 助，可惜，這種文章只能藏在文庫中。 -作者感言1發(fā)散2收斂3發(fā)散4收斂現(xiàn)在開始討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，上面寫得很亂的東西，沒有清掉它，因?yàn)樗菃栴}的核心，記錄著思維的真實(shí)，保持原樣挺美的。（）被稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這個(gè)定義有點(diǎn)狹隘，因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂性不受去掉或增加有限項(xiàng)的影響，只要從某項(xiàng)開始，后面全部項(xiàng)都是，就足夠看成正項(xiàng)級(jí)數(shù)了。數(shù)列寫成函數(shù)形式可以拓展解決問題的視野，比如的收斂性和的收斂性，有著極為密切的關(guān)系，假定很多時(shí)候，收斂性是相同的，比如單調(diào)的時(shí)候。不單調(diào)也不怕，因?yàn)榧?jí)數(shù)和廣義積分的收斂都與前面有限部分的

2、情況沒什么關(guān)系。極值點(diǎn)是單調(diào)性改變的地方，如果只有有限個(gè)極值點(diǎn)，在右邊足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里，函數(shù)必然單調(diào)，而這足夠肯定，兩者收斂性相同。只要有限個(gè)極值點(diǎn)，很多時(shí)候這已經(jīng)夠用了。如果是無窮個(gè)極值點(diǎn)，也不是沒有作為，只要存在經(jīng)過極少值點(diǎn)的函數(shù)，經(jīng)過極大值點(diǎn)的函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行類似討論，也能解決絕大部分問題。當(dāng)然，如果這兩個(gè)函數(shù)無論走多遠(yuǎn)，都相距很遠(yuǎn)，能給我們的幫助就非常有限。不過沒有必要為此擔(dān)心，初等函數(shù)中，只要不是周期函數(shù)，在足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里，都可以當(dāng)作是單調(diào)的，也就是說，上面所說的級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性是相同的。廣義積分可以求原函數(shù)，處理手段比級(jí)數(shù)靈活，借廣義積分研究級(jí)

3、數(shù)收斂性是極為重要的渠道。最原始的級(jí)數(shù)收斂性，還非得借助廣義積分不可。比如-級(jí)數(shù)，其實(shí)就是通項(xiàng)為冪函數(shù)的級(jí)數(shù)，其收斂性完全清楚，另一個(gè)完全清楚的級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，其實(shí)就是通項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)。這是兩個(gè)最基本的級(jí)數(shù)。后面演繹的常見判斂方法，都與這兩者有關(guān)。比如，常見的比值盼斂，根值判斂，本質(zhì)上是用等比級(jí)數(shù)作參照的。等比級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散很快，能判的級(jí)數(shù)范圍并不大。拉貝判斂是以-級(jí)數(shù)作參照得出的，由于-級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散比等比級(jí)數(shù)要慢，因而可判的級(jí)數(shù)范圍要廣很多。有沒有比-級(jí)數(shù)還要遲鈍的級(jí)數(shù)？當(dāng)然有，如，高斯判斂就是以這個(gè)級(jí)數(shù)作參照的。不過，無論哪種極限判別，都有判據(jù)為1時(shí)無所作為的遺憾。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的方便之處

4、在于，級(jí)數(shù)的收斂性等價(jià)于其部分和數(shù)列的有界性，準(zhǔn)確說，是否有上界，因?yàn)槠洳糠趾蛿?shù)列是單調(diào)遞增的。由于這個(gè)原因，若，則由的部分和有上界，必可得到的部分和有上界，故收斂是小看大，大的收斂，小的一定收斂。這個(gè)命題的等價(jià)命題是：發(fā)散大看小，小的發(fā)散，大的必然發(fā)散。這種通過不等式比較兩個(gè)數(shù)列，從而得出收斂性判定，很基礎(chǔ)，但不方便，因?yàn)椴坏仁降姆趴s不是件容易的事情。用極限比較是個(gè)不錯(cuò)的主意。因?yàn)闃O限雖然是一個(gè)數(shù)，但這個(gè)數(shù)和數(shù)列某項(xiàng)以后的無窮項(xiàng)有著很好的大小關(guān)聯(lián)性，而級(jí)數(shù)收斂性則只與某項(xiàng)以后無窮項(xiàng)有關(guān)。，（）根據(jù)極限定義，有即如果，由于的任意性，選取使得為正沒有任何問題。若發(fā)散，的左邊不等式說明，若收斂，其

5、右邊不等式則說明收斂。這個(gè)兩邊夾不等式，確保，收斂性相同。當(dāng)，這個(gè)兩邊夾不等式的左邊失靈了，因?yàn)樗许?xiàng)非正，不過右邊不等式仍然可用，即可以由收斂判斷收斂，但無法由發(fā)散判斷發(fā)散。這個(gè)極限比較判斂，需要知道其中一個(gè)的收斂性，當(dāng)時(shí)，可以肯定另一個(gè)有同樣的收斂性，但時(shí)，只可由收斂判斷收斂，或者由發(fā)散判斷發(fā)散。和剛好顛倒。有時(shí)候不存在，也不是，只要存在，這相當(dāng)于 故與判定方法完全一樣，但前者有更好的適應(yīng)性。這種事先要知道一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性的要求還是有點(diǎn)不方便，如何找那個(gè)事先知道的級(jí)數(shù)？能否通過數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項(xiàng)相比，會(huì)有什么消息？還是用極限方法：，由極限定義，得 變成 這

6、不會(huì)提供任何有效信息，因?yàn)槿魏我贿叾际俏粗摹Ｓ蓸O限定義得到先假設(shè)，適當(dāng)選取可保，不等式取對(duì)數(shù)： 再取和：即 故 取指數(shù)： 當(dāng)變化時(shí)，上面不等式兩端都是等比數(shù)列，其級(jí)數(shù)的收斂性完全由公比確定，的收斂性完全由兩端的等比級(jí)數(shù)確定。由的任意性，若，則可以確保。若，則可以確保。故根據(jù)和，可分別得出收斂和發(fā)散。當(dāng)時(shí)，這個(gè)方法失效，無從給出判定。當(dāng)時(shí)，不等式 右半部分還是可用的，而這足夠了，選定，可以確定收斂。于是有 ，若，收斂，若，發(fā)散。，不確定。在這里可以替換成，結(jié)論一樣。不過適用性更廣。知道這個(gè)的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列的公比是有價(jià)值的。這個(gè)判別方法不過是用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷級(jí)數(shù)的收斂性，能判的范圍很有局限性

7、，比如的時(shí)候，就不靈了。根值法和比值法雖然計(jì)算上有點(diǎn)區(qū)別，但實(shí)質(zhì)仍然是以等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷收斂性，因而結(jié)論完全一樣，不過根據(jù)不同表達(dá)式采用不同判別法，在計(jì)算上會(huì)有各自的特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，咋辦？一般說來，想比不如相減方便，故可等價(jià)寫成，為了后面表述上的一致性，我們更主要用表示。這樣提問，也許能幫我們引向問題的解決：我們需要什么樣的一個(gè)函數(shù)，使得，而根據(jù)的范圍，便可給出的收斂性判定？還是從本身尋找答案，其極限定義為 即 求解的反函數(shù)，我們假設(shè)它仍能維持不等式的兩邊夾，于是 即 取和： 即 顯然，的收斂性由的級(jí)數(shù)收斂性確定。討論收斂性，常數(shù)可以不作考慮，于是，只要討論的級(jí)數(shù)收斂性即可。這兩個(gè)級(jí)數(shù)只是，我們

8、暫時(shí)抹掉這種差異，用代替這兩者，于是，我們關(guān)注究竟是什么？可以充當(dāng)級(jí)數(shù)收斂性的判定標(biāo)準(zhǔn)？目前我們只能用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，能用-級(jí)數(shù)嗎？也就是 （為了左右一致，將換成，換成）即 于是 考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè) 對(duì)求導(dǎo)，得到 于是 即 故可選為，為-級(jí)數(shù)的值，都可保持大于1，同樣可以保持和同樣的范圍，故這兩種情況，的收斂性和-級(jí)數(shù)的收斂性判定完全相同，可時(shí)候，肯定無法保持為1。故，當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，不確定。在的情況下，故可換成 除了用-級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，還可以用別的嗎？可以，柯西選擇了級(jí)數(shù)即 于是 考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè) 對(duì)求導(dǎo)，得到 于是 即 故可選為，其中為的參數(shù)，都可保持大于1，同樣可以保持和同樣的范圍，故這兩種情況，的收斂性和級(jí)數(shù)的收斂性判定完全吻合，可時(shí)候，肯定無法保持為1。，當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散。在的情況下，故可換成 這是因?yàn)?等價(jià)于 對(duì)于最初知道的比值判斂法，其實(shí)也可以按照上面的方式尋找到，即用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)。 于是 考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假