從歐拉示性類到Morse 理論

1、從歐拉示性類到Morse理論賀正需 崔貴珍 沈良 拓?fù)涫乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個很大的分支，近代數(shù)學(xué)可以說基本上是圍繞拓?fù)浒l(fā)展的。有人作過統(tǒng)計，說獲得菲爾茲獎的人中有二分之一是作拓?fù)溲芯康?，?dāng)然這個統(tǒng)計有爭議，但即使沒有這么多，至少也有三分之一的人是在拓?fù)漕I(lǐng)域的，剩下的二分之一和三分之一之間，有一部分人可以說是作拓?fù)?，也可以說是分析或者別的領(lǐng)域，所以說，這個理論對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響確實很大。這個理論的教父就是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，他所作的貢獻(xiàn)遍布整個數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。 我今天要講的是示性類和Morse理論，因為那時拓?fù)溥€處于萌芽階段，所以問題都比較簡單，你們絕對能聽懂歐拉當(dāng)時的研究是從多面體開始的，我們今天

2、也從多面體開始講。1 歐拉示性類11 多面體12 歐拉示性類 定義 設(shè)多面體的頂點數(shù)為V、邊數(shù)為E、面數(shù)為F。cVE+F為多面體的歐拉示性類。下面我們列一個圖表：頂點數(shù)V邊數(shù)E面數(shù)FcVE+F正四面體4642正六面體81262正八面體61282正十二面體2030122正二十面體1230202虧格為0的多面體都是單連通的，這個現(xiàn)象就是歐拉定理： 定理 任何單連通多面體的歐拉示性類等于2：cVE+F2 這個定理是整個拓?fù)鋵W(xué)奠基的一個定理。因為凸多面體都是單連通的，所以我們有推論： 推論 對于任何凸多面體，其歐拉示性類等于2。 對于有虧格的多面體，我們也有結(jié)論： 定理 對于虧格為g的多面體，其歐拉示

3、性類為22g13 對拓?fù)鋵W(xué)的影響拓?fù)涫巧蟼€世紀(jì)才形成的一個學(xué)科，簡單地說，拓?fù)溲芯康木褪窍駳W拉示性類這樣的量，它是連續(xù)變化中的不變量，并且我們還可以考慮將這種量推廣到高維的情形，如對n維流形，我們有定義：cA0一Al+A2一A3+(一1)nAn，其中A0頂點數(shù)，A1邊數(shù)，A2=面數(shù)，A3=三維多面體數(shù)， 歐拉示性類是拓?fù)鋵W(xué)的一個基本概念，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)，理論物理等學(xué)科的發(fā)展起了關(guān)鍵作用。14 應(yīng)用 作為歐拉示性類的一個有趣的應(yīng)用，我們來證明一個古典的定理： 定理 除了前面提到的五種正多面體外，不存在第六種單連通的正多面體。 這個定理的證明可以用幾何的方法，但最好的證明我認(rèn)為是用拓?fù)涞姆椒?，因為它?/p>

4、用考慮角度，多面體可以放在任何空間，比如說雙曲空間中也是不存在第六種正多面體的，下面這個證明對于任何空間的多面體都是成立的。 證明 任給一個正多面體，設(shè)它有V個頂點，E條邊，F(xiàn)個面；每個頂點過k條邊，每個面是j邊形。 因為每條邊有2個頂點，每條邊是2個面的交線，所以我們有kV=2E，jF=2E，而歐拉示性類cVE+F2因此我們有 cVE+F2E/kE+2E /j=2，故1/k +1 /j=1/2+1/E。 因為k，j，E都是正整數(shù)，經(jīng)過初等計算，所有可能的(k，j，E)為：(3，3，6)，(3，4，12)，(4，3，12)，(3，5，30)，(5，3，30) 以上的五個解正好對應(yīng)于五種正多面體

5、，所以不存在第六種正多面體。15 多面體的對偶性 定義 給一個平面圖，每個面用一個點代替，有公共邊的兩個面所對應(yīng)的點用線段連接，則得到一個新的圖，稱之為對偶的圖。 性質(zhì) 每個多面體都有對偶，對偶的對偶是自己。16 正多面體的對偶 正四面體的對偶是它自己； 正六面體的對偶是正八面體，正八面體的對偶是正六面體； 正十二面體的對偶是正二十面體，正二十面體的對偶是正十二面體。 (V，E，F(xiàn))(F，E，V)2 Morse理論 Morse理論是建立在歐拉示性類基礎(chǔ)上的，在任何維數(shù)都成立其研究流形上光滑函數(shù)的臨界點與流形本身拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，是拓?fù)鋵W(xué)中重要的理論，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有著極為重要的作用。21 一維

6、情形 圓周是一個一維流形，設(shè)F是圓周上的光滑實函數(shù)，考察使得導(dǎo)數(shù)F'為0的點。設(shè)G(t)F(expit)，G(t)的周期為2。 那么Morse理論就是局部最大值的個數(shù)等于局部最小值的個數(shù)。22 二維情形 設(shè)想高低起伏的島，F(xiàn)是高度函數(shù)(F(x，y)是坐標(biāo)(x，y)點的高度)?？疾焖姆妩c，洼點，以及如圖所示的馬鞍點(過山點)。 設(shè)V是峰點數(shù)，P是洼點數(shù)，S是馬鞍點數(shù)。 Morse定理 對于任何(隨意構(gòu)造)的島，VS+P1。23 歐拉示性類的另一個應(yīng)用 圓形水池的水流：Figure 在漩渦中心水速為零 Brouwer不動點定理(二維情形) 不論水池中的水流多么復(fù)雜，總能找到一點，它的水速為零。 此定理在高維也成立。 在三維情形下，定理可以敘述為：在一個完全密封的房間里(空氣可以在房間里任意流動)，總能找到一點，它的風(fēng)速為零。 證明的基本思想是歐拉示性類。24 后續(xù)發(fā)展 歐拉示性類的后續(xù)發(fā)展：Pontryagin示性類