廣東省東莞市2020屆普通高中畢業(yè)班4月模擬自測數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020年高考（文科）數(shù)學(xué)（4月份）模擬試卷9、選擇題1.已知集合 A=x|x2+2x 3V0, B = x|2x 1 >0,則 A n B=(A.B. (3, 1)C.)2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=1 + i,則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)工在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.玫瑰花窗（如圖）是哥特式建筑的特色之一，鑲嵌著彩色玻璃的玫瑰花窗給人以瑰麗之感.構(gòu)成花窗的圖案有三葉形、四葉形、五葉形、六葉形和八葉形等.右圖是四個半圓構(gòu)成的四葉形，半圓的連接點(diǎn)構(gòu)成正方形ABCD,在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正方形區(qū)域的概率為（)A.B.4.已知定義在R上的奇函數(shù)f （x）,當(dāng)C.

2、47C+2D.2兀十1x> 0 時，f (x) = log2x,且 f (m) = 2,則B. 4D. 4 或5.已知平面向量2、b的夾角為135° ,且a為單位向量，1）A, 小B.C. 1D.6.已知Fi、F2分別為橢圓C：=lG>b>O）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l交橢圓C于AB兩點(diǎn)，若 AF2B是邊長為4的等邊三角形,則橢圓C的方程A.C.D.2 y21616A.B.s值,則（co* (siV3C.D. - 18 .約公元前600年，幾何學(xué)家泰勒斯第一個測出了金字塔的高度.如圖，金字塔是正四棱錐，泰勒斯先測量出某個金字塔的底棱長約為230米；然后，他站立在沙地上

3、，請人不A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22.2米.此時,影子的頂點(diǎn) A和底面中心O的連線恰好與相應(yīng)的底棱垂直，則該金字塔的高度約為（A. 115 米B. 137.2 米C. 230米D. 252.2 米斷測量他的影子，當(dāng)他的影子和身高相等時，他立刻測量出該金字塔影子的頂點(diǎn)9 .為加強(qiáng)學(xué)生音樂素養(yǎng)的培育，東莞市某高中舉行“校園十大歌手”比賽，比賽現(xiàn)場有名評委給選手評分，另外，學(xué)校也提前發(fā)起了網(wǎng)絡(luò)評分，學(xué)生們可以在網(wǎng)絡(luò)上給選手評現(xiàn)場評委的評分表和該選手分，場內(nèi)數(shù)百名學(xué)生均參與網(wǎng)絡(luò)評分.某選手參加比賽后,網(wǎng)絡(luò)得分的條形圖如圖所示:評委序號評分1010記現(xiàn)場評委評分的平均分為翼,網(wǎng)絡(luò)評分的平均分為工2

4、,所有評委與場內(nèi)學(xué)生評分的平均數(shù)為工那么下列選項(xiàng)正確的是（UiA.B.C.D.2關(guān)系不確定7T 兀10 .已知函數(shù)f（K）二期（心/中）（仆0，丁 1 =-）的最小正周期為兀，將f（X）I兀的圖象向左平移 丁個單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù) f（X）的圖象（）兀A.關(guān)于直線K=一廠對稱7TC.關(guān)于點(diǎn)（工廠，0）對稱7TB.關(guān)于直線K=一丁對稱Ri-JJID.關(guān)于點(diǎn)（虧，0）對稱x- c) 2+y2=2a2 截得二、填空題13. AABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 acosB XbsinA,則 B=.32Y 心 +lr tt+114 .已知f 二二在x = 0的切線

5、方程為 y=x+i,則k=.Jie7T15 .已知三棱錐 P- ABC中，PAL平面 ABC , PA=BC = 2, / BAC =,則三棱錐 P-ABC的外接球的表面積為.16,已知、ai+sinCJt）在乂（。，i）上恰有一個零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.三、解答題：共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17至21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共5小題，每小題12分，共60分.17 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, S4=16, a3=3a2.（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),求bn的前2n項(xiàng)的

6、和T2n. an an+l18 .如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為直角梯形，其中 AB ± BC , AD / BC, AD=4, AP = AB =BC= 2, E是AD的中點(diǎn)，AC和BE交于點(diǎn) O,且POL平面 ABCD .（1）證明：平面 PACL平面PCD;（2）求點(diǎn)D到平面PCE的距離.19 .已知函數(shù) f (x) = ex+3ax.(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性：(2)若函數(shù)f (x) > 0在xC (0, +8)上恒成立，求 a的取值范圍.20 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓N: (x-1) 2+y2=1,圓心N (1, 0),點(diǎn)E在直

7、線x=- 1上，點(diǎn)P滿足應(yīng)而？加=!市飄，點(diǎn)P的軌跡為曲線 M .(1)求曲線M的方程.(2)過點(diǎn)N的直線l分別交M和圓N于點(diǎn)A、B、C、D (自上而下)，若|AC|、|CD|、 |DB|成等差數(shù)列，求直線l的方程.21 .在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力 救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙兩個地區(qū)采取防護(hù)措施后，統(tǒng)計(jì)了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成如圖折線圖：(1)根據(jù)圖中甲、乙兩個地區(qū)折線圖的信息，寫出你認(rèn)為最重要的兩個統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(2)新冠病毒在進(jìn)入人體后有一段時間的潛伏期，此期間為病毒傳播的最佳時期，我們

8、把與病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他病毒感染者，10天內(nèi)所有人不知情且生活照常.p (0<P<(i)在不加任何防護(hù)措施的前提下，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均為1).第一天，若某位感染者產(chǎn)生a (aCN)名密切接觸者則第二天新增感染者平均人數(shù)為ap；第二天，若每位感染者都產(chǎn)生a名密切接觸者，則第三天新增感染者平均人數(shù)為ap (1+ap);以此類推，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為 En (2W n< 10).寫出 E4, En；(ii)在(i)的條件下，若所有人都配戴口罩后，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均2

9、 I為P,且滿足關(guān)系 p' = ln (1+p) 卷口，此時，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為 E； (2wnw10).當(dāng)p'最大，且a= 10時，、根據(jù)E6和的值說明戴口罩的必要性.(p'精確到0.1)¥ 1參考公式：函數(shù) y=ln (1+x)的導(dǎo)函數(shù)y二一；參考數(shù)據(jù)：ln3=1.1, ln2=0.7, k+164= 1296.(二)選考題：共 10分，請考生在第 22, 23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時請寫清題號.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程IT i=t/22 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方

10、程為匚為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 p=2asin。(a>0),已知直線l與曲線C有且僅有一個公共點(diǎn).(1)求 a;可I(2) A, B為曲線C上的兩點(diǎn)，且/ AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.選彳4-5:不等式選講23 .設(shè)函數(shù) f (x) = |3x+1|+|3x- a|, xCR.(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)<9的解集；(2)對任意xCR,恒有f (x) >2a-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.一、選擇題：共12小題，每小題 5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請把正確選項(xiàng)在答題卡中

11、的相應(yīng)位置涂黑.1 .已知集合 A=x|x2+2x 3V0, B = x|2x 1 >0,則 A n B=（）A. t-3,二） B. （3, 1） C. G，D D.6，3）【分析】可以求出集合 A, B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.解：A- （k |-3=C rC 1） »b=（2 1 i） .故選：C.2 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=1 + i,則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出口的坐標(biāo)得答案.解：由 iz=1 + i,得 z=-=.2-1-1 ,z=l+i ,則復(fù)

12、數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)工在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）,位于第一象限.3 .玫瑰花窗（如圖）是哥特式建筑的特色之一，鑲嵌著彩色玻璃的玫瑰花窗給人以瑰麗之 感.構(gòu)成花窗的圖案有三葉形、四葉形、五葉形、六葉形和八葉形等.右圖是四個半圓構(gòu)成的四葉形，半圓的連接點(diǎn)構(gòu)成正方形正方形區(qū)域的概率為（）ABCD ,在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自C.47T42D.【分析】首先這是一個幾何概型，整個圖形內(nèi)部的每個點(diǎn)對應(yīng)一個基本事件.只需要算出整個圖形面積即兩個圓與正方形的面積和.用正方形面積除以總面積即可.解：由題意可知，整個圖形內(nèi)部的每個點(diǎn)對應(yīng)一個基本事件，所以這是一個幾何概型.設(shè)此點(diǎn)取自正方形區(qū)域?yàn)槭录嗀設(shè)正

13、方形的邊長為 2r,則圓的半徑為r. . . S ( ) = 2兀2+ (2r) 2=2兀2+4產(chǎn).2Hr2+4r2 717+2正方形面積為S (A) = 4r2.故P(A) =4 .已知定義在 R上的奇函數(shù)f (x)，當(dāng)x>0時，f (x) = log2x,且f (m) =2,則 m =( )A . -7B . 4C. 4 或1D. 4 或444【分析】根據(jù)題意，分 m>0與m<0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與解析式分析，求出m的值，綜合即可得答案.解：根據(jù)題意，當(dāng) x>0時，f (x) =log2x,此時若f (m) =2,必有l(wèi)og2m=2,解可得m= 4;當(dāng)

14、x<0,則-x>0,此時若 f (m) =2,則有 f ( - m) = - 2,即 log2 ( - m) = - 2,解可得m=-綜合可得：m=4或-4-;5 .已知平面向量a、b的夾角為135° ,且a為單位向量，1),則|a+b|=()B.C.D.【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積計(jì)算模長即可.解：由題意知，平面向量 凌、耳的夾角為135° ,且日|=1, b=(l3 1),所以 lEl=F+F=a，-a? b= 1xV2x cos135° =- 1,L -+ v 2 2 1且 十b) = + +2 a *b+ b =1+2X (- 1) +2=1,

15、所以目+E |=1.故選：C.6.已知F1、F2分別為橢圓C：2且的左、右焦點(diǎn)，過bF i且垂直于x軸的直線l交橢圓C于AB兩點(diǎn)，若4AF2B是邊長為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為)4的等邊三角形，及橢圓的定義可得2a,及2c與2a的關(guān)系求出c,再由a, b, c之間的關(guān)系求出橢圓的方程.解：因?yàn)?AF2B是邊長為 4的等邊三角形， 所以/ AF 2F1= 30° , 2a= |AF 1|+|AF2|= 2+4 =6，2c= |F 1F2I = /3|AF 112/,所以 b2= a2- c2 =9 3= 6,所以橢圓的方程為:Z+Z9 6=1,A.B.返2故選：B.JTS 值，貝

16、U (cosy)* (si_V32C. 1D. 一 1【分析】先判斷a=coJU12的大小，然后代入框圖的左邊執(zhí)行框計(jì)算即可.解：: |-' 一 -Il. : 二-:：4C0->S1n2凡 廣 7V 五S=2co s _2V3 siiT-cusn=1故選：C.8 .約公元前600年，幾何學(xué)家泰勒斯第一個測出了金字塔的高度.如圖，金字塔是正四棱錐，泰勒斯先測量出某個金字塔的底棱長約為230米；然后，他站立在沙地上，請人不斷測量他的影子，當(dāng)他的影子和身高相等時，他立刻測量出該金字塔影子的頂點(diǎn)A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22.2米.此時，影子的頂點(diǎn) A和底面中心。的連線恰好與相應(yīng)的底棱

17、垂直，則該金字塔的高度約為（）A. 115 米B. 137.2 米C. 230 米D. 252.2 米【分析】易知，當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊，再根據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相似，可知塔底到A的距離即為塔高.解：當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊,再根據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相似，可知塔底到A的距離即為塔高.所以由題意得金字塔塔高為OA = OB+BA= 115+22.2= 137.2米.故選：B.9 .為加強(qiáng)學(xué)生音樂素養(yǎng)的培育，東莞市某高中舉行“校園十大歌手”比賽，比賽現(xiàn)場有7名

18、評委給選手評分，另外，學(xué)校也提前發(fā)起了網(wǎng)絡(luò)評分，學(xué)生們可以在網(wǎng)絡(luò)上給選手評分，場內(nèi)數(shù)百名學(xué)生均參與網(wǎng)絡(luò)評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場評委的評分表和該選手網(wǎng)絡(luò)得分的條形圖如圖所示:評委序號評分1010記現(xiàn)場評委評分的平均分為翼1 ,網(wǎng)絡(luò)評分的平均分為石，所有評委與場內(nèi)學(xué)生評分的平均數(shù)為工，那么下列選項(xiàng)正確的是（A.B.C.D.叼十犯¥關(guān)系不確定【分析】根據(jù)題意求出平均數(shù)，然后估算求出總平均數(shù).=9,=0.1 X 7+0.1 X 8+0.2 X9+0.6X 10=9.3,1二9 T= 9.15,設(shè)場內(nèi)人數(shù)為a(a> 100),則=9.32.1a+7因?yàn)閍> 100,所以2. 1

19、1079. 28 >耳-*-K-f故選：C.TTJT10 .已知函數(shù)f （6=EG （心工十巾）（20, 一。的最小正周期為 兀，將f（X）7U的圖象向左平移 個單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù) f （x）的圖象（）71二一一對稱ChA.關(guān)于直線瓦二'對稱B.關(guān)于直線兀|兀C.關(guān)于點(diǎn)（工，0）對稱D.關(guān)于點(diǎn)（,0）對稱KJ【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可.解：f （x）的最小正周期為兀,=兀，得 3=2,貝U f (x) = cos (2x+ 4),兀將f（x）的圖象向左平移虧個單位后，得到y(tǒng)= cos2 （x+)+() = cos (2x+3力

20、），所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,，kCZ,TT 亡,k ez,7T2（）-1當(dāng) k= 0 時，j=一即 f (x) = cos (2x - 7Tf (-) = cos (2 x兀 7TTT)=c0s = 0,則f （x）關(guān)于點(diǎn)（,0）對稱,11.已知雙曲線C：22一堂編b>0)的一條漸近線被圓（x- c） 2+y2=2a2截得的弦長為2b （其中c為雙曲線的半焦距），則雙曲線C的離心率為（）A.苧B. V2C. VsD. 2【分析】由題意畫出圖形，利用垂徑定理可得 a與b的關(guān)系，得到雙曲線為等軸雙曲線,x軸對稱,則離心率可求.解：如圖所示，雙曲線的兩條漸近線關(guān)于取丫=上與圓相交于點(diǎn) A, B,

21、 |AB|=2b,a|b. |圓心（c, 0）到直線bxay=0的距離d= /。b.結(jié)合垂徑定理可得 2a2 = b2+b2,即a = b.，雙曲線為等軸雙曲線，其離心率e=。e.故選：B.12.在棱長為1的正方體 ABCD - AiBiCiDi中，E、F分別為 AB和DD 1的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)Bi, E, F的平面a交AD于G,則AG=()氏A.1B.五C五D.【分析】由面面平行的性質(zhì)定理可得平面BiEF與平面 DiDCCi的交線與 BiE平行，過F作BiE的平行線交 CiDi于H,連接BiH,過E作EG / BiH,交AD于G,由比例關(guān)系可得所求值.解：由平面 AiABBi/平面 DiDCCi

22、,可得平面 BiEF與平面DiDCCi的交線與 BiE平行,過F作BiE的平行線交CiDi于H,由F為DDi的中點(diǎn)，可得H為CiDi的四等分點(diǎn)，連接BiH,過E作EG / BiH,交AD于G,從而G為AD的三等分點(diǎn)，則 AG=-1.故選：D.二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.113. AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若acosB=£bsinA,則B=±tn【分析】由已知結(jié)合正弦定理及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡即可求解.解：: acosB = XAbsinA,3由正弦定理可得， sinAcosB = WsinBsinA,3由

23、 sinA> 0,化簡可得tanB = J&,0 V B< 兀，故 B = 一 . o故答案為：春可24k J+k工+114 .已知f （，）=-在x = 0的切線方程為 y=x+i,則k= 2 .s【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，再將x=0代入，并令f' （0） =1,即可求出k的值.解：由題意得 F （工）=色兄+射）巳只-k 6+（2T）jf-1+k=X，e1- f（0） = k - 1 = 1.k = 2.故答案為：2.15 .已知三棱錐 P-ABC中，PA，平面 ABC, PA=BC = 2, / BAC =,則三棱錐 P-ABC的外接球的表面積為8兀.【分析】根

24、據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，從而得出球的半徑和表面積.解：將三棱錐還原成直三棱柱，則三棱柱的外接球即為求 O, D, D',為上下底面的外心，。為DD'的中點(diǎn)，AD為底面外接圓的半徑,19由 OD = 1, AD = 1；得 R= AO = 72,所以球O的表面積為：4tiR2=8兀故答案為：8兀.16 .已知as+sinC-j-x) 在xe (0, 1)上恰有一個零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范f (.x； -2xx圍為 (0, 1).【分析】原題等價于函數(shù) 式及)=/口勺-工)和h (x) = 2x2- ax的圖象在(0, 1)上只有一個公共點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，由圖象觀察可知，只

25、需 h (1) >g (1)即符合題意，由此得解.解：依題意，方程元-2x=0在(0, 1)上僅有個解,BPx2_as(a>0)(0, 1)上僅有一個實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)=sin(x)和h (x) =2x2-ax的圖象在(0, 1)上只有一個公共點(diǎn),而h (x) = 2x2- ax必經(jīng)過原點(diǎn)，且其對稱軸為由圖可得當(dāng)h (1) >g (1)時符合題意，即 2- a>1,解得a< 1,又 a>0,0< a< 1.三、解答題：共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .第17至21 題為必考題，每個試題考生都必須作答，第 22、23題為

26、選考題，考生根據(jù)要求作答 .(一)必考題：共5小題，每小題12分，共60分.17 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, S4=16, a3=3a2.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)%工 ，求bn的前2n項(xiàng)的和T2n.an an+l【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解；(2)通過裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列 bn的前2n項(xiàng)的和T2n求解.解：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列an中，設(shè)首項(xiàng)為a1公差為d.(S/就14a小口+盤產(chǎn)4aL+6d=16,解得I d=4由題意得,a 1+2d=3(a1H-d)所以 an= - 2+4 (n - 1) = 4n- 6.鼠-=7_3_y_k“ 力。+1 (3-6)4

27、n-2) 4(2n-幻(2n7) 8 k2n-3 2n-LT2n= b1+b2+b3+b2n 1+b2no3r 11 r 1+L2(2n-l)-3 -2(2n-l)-l J + t2*(2n)-3 一2(2人-1=(-1-)S ' 4n-l Jn2tl-4n）'所以bn的前2n項(xiàng)的和T2n為2（l-4n）18.如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面 ABCD為直角梯形，其中 AB ± BC , AD/ BC, AD=4, AP = AB =BC= 2, E是AD的中點(diǎn)，AC和BE交于點(diǎn) O,且POL平面 ABCD .(1)證明：平面 PAC,平面PCD;(2)求點(diǎn)D到

28、平面PCE的距離.【分析】(1)由已知證明四邊形 ABCE為平行四邊形，進(jìn)一步證得四邊形 ABCE是正 方形，得CEXAD.求解三角形證明 CD ± AC .由線面垂直的判定可得 POL平面ABCD , 得到CD ± PO .再由直線與平面垂直的判定可得 CD,平面PAC,從而得到平面 PAC ± 平面PCD;(2)由(1)知，四棱錐 P-ABCE為正四棱錐，故 PC=PE = PA=2,設(shè)點(diǎn)D到平面 PCE的距離為h,再由等體積法求點(diǎn) D到平面PCE的距離.【解答】(1)證明：.AD/BC, AD=4, BC=2, E是AD的中點(diǎn)，四邊形ABCE為平行四邊形，又

29、,ABBC, AB = BC,四邊形 ABCE是正方形，得 CEXAD .又.CE = AE = ED = 2,.AC = CD=2V.又AD = 4, . . AC2+CD2=AD2,故 CD LAC. PO,平面 ABCD , CD?平面 ABCD,CDXPO.又. ACnPO = O, AC, PO?平面 PAC, CD，平面 PAC,而CD?平面PCD, 平面PAC，平面PCD；(2)解：由(1)知，四棱錐 P-ABCE為正四棱錐,故 PC= PE= PA = 2.又CE = 2,PCE是等邊三角形，即 $設(shè)點(diǎn)D到平面PCE的距離為h,得kX色汽工"41由PC=PA=2, A

30、C=2d5,得 PAC為等腰直角三角形，故 PO=RCS.ECD是直角三角形，且 CE = ED=2,得4以除叩。弓M 2 "赤篝由 Vp DCE = VD PCE,得2V226點(diǎn)D到平面PCE的距離為(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性:(2)若函數(shù) f (x) > 0在 xC (0, +oo)上恒成立，求 a的取值范圍.【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)a,根據(jù)參數(shù)討論單調(diào)性,(2)分離參數(shù)，求最值，求出 a.解：(1)因?yàn)?f' (x) =ex+3ax, xCR,所以f' (x)=ex+3a,當(dāng)a>0時,f' (x) > 0,故 f (x

31、)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時,所以x ( -oof' (x) =ex+3a,令 f' (x) =0,解之得 x= In (- 3a).ln (-3a)時，f' (x) < 0, f (x)單調(diào)遞減；xC (ln (- 3a) , +8)時，f' (x) >0, f (x)單調(diào)遞增,綜上所述，當(dāng)a>0時，f (x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng) a<0 時，f(x)在(-8,In (-3a)上單調(diào)遞減，f(x)在(In (- 3a) ,+°°)上單調(diào)遞增；(2)由題意知，ex+3ax>0在xC ( 0, +8)上恒成立，

32、即自亞1在xC (0, +8)上恒成立，3 3x所以也>蚩)J(x>0)，設(shè)虱必=-(，則屋當(dāng) 0vxv1, g' (x) > 0, g (x)單調(diào)遞增；當(dāng) 1vx, g' (x) < 0, g (x)單調(diào)遞減；p所以a> -4.20.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓N: (x-1) 2+y2= 1 ,圓心N (1, 0),點(diǎn)E在直 線x= -i上，點(diǎn)p滿足而/而j,而？血工無0甲而3，點(diǎn)p的軌跡為曲線 m.(1)求曲線M的方程.(2)過點(diǎn)N的直線l分別交M和圓N于點(diǎn)A、B、C、D (自上而下)，若|AC|、|CD|、|DB|成等差數(shù)列，求直線l

33、的方程.【分析】(1)設(shè)p (x,y),由曲/而，得E(T,y)，求出向量的坐標(biāo)代入 而?加=而而， 化簡彳導(dǎo):y2=4x,所以點(diǎn)P的軌跡曲線 M的方程為：y2=4x;(2)由|AC|、|CD|、|DB|成等差數(shù)列，得弦長|AB|= |AC|+|CD|+|DB|=6,對直線l的斜率分情況討論，當(dāng)斜率不存在時，|AB|=4W6,不符合題意，當(dāng)斜率存在時，A (xi, y1)，B (x2, y2),設(shè)直線l的方程為：y=k (x-1),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合 拋物線的定義可求得 k的值，從而得到直線l的方程.解：(1)設(shè) p (x, y),由說/而，得 E ( - 1, y),則訴=(x

34、-L y), NE=(-2, y)|, EpRx+L 0),西=(2, -y), 由廚而=1S由就得(x- 1, y) ? (- 2, y) = (x+1, 0) ? (2, - y),即-2x+2+y2 = 2x+2,化簡彳導(dǎo):y2=4x,所以點(diǎn)P的軌跡曲線 M的方程為：y2=4x；(2)由 |AC|、|CD|、|DB|成等差數(shù)列，得 |AC|+|DB|=2|CD| = 4,所以弦長 |AB|= |AC|+|CD|+|DB|=6,當(dāng)斜率不存在時，直線 l的方程為：x=1,交點(diǎn)A (1, 2) , B (1, - 2),此時|AB|= 4w6,不符合題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=k

35、(x-1) , A(xi,yi), B (X2,y2),y=k(t-15,消去 y 得：k2x2 ( 2k2+4)x+k2=0,Xi +K產(chǎn), xix2=1,顯然= 16(k2+1) >0 恒成立，由拋物線的定義可知，|AB|= xi+x2+2 = 6,解得：k= 土*技,直線1的方程為y= ±V2(k-1)|.21.在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙兩個地區(qū)采取防護(hù)措施后，統(tǒng)計(jì)了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成如圖折線圖:(1)根據(jù)圖中甲、乙兩個地區(qū)折線圖的信息，

36、寫出你認(rèn)為最重要的兩個統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(2)新冠病毒在進(jìn)入人體后有一段時間的潛伏期，此期間為病毒傳播的最佳時期，我們把與病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他病毒感染者，10天內(nèi)所有人不知情且生活照常.(i)在不加任何防護(hù)措施的前提下，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均為p (0<p<1).第一天，若某位感染者產(chǎn)生a (aCN)名密切接觸者則第二天新增感染者平均人數(shù)為ap;第二天，若每位感染者都產(chǎn)生a名密切接觸者，則第三天新增感染者平均人數(shù)為ap (1+ap);以此類推，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為 En (2W nW 10)

37、.寫出 E4, En；(ii)在(i)的條件下，若所有人都配戴口罩后，假設(shè)每位密切接觸者被感染的概率均2 I為p,且滿足關(guān)系 p' = ln (1+p) 一千戶，此時，記由一名感染者引發(fā)的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數(shù)為 E； (2<n<10).當(dāng)p最大，且a= 10時，、根據(jù)E6和的 值說明戴口罩的必要性.(p'精確到0.1)/1參考公式：函數(shù) y=ln (1+x)的導(dǎo)函數(shù) 了 =,;參考數(shù)據(jù)：ln3=1.1, ln2=0.7,u+l64= 1296.【分析】(1)根據(jù)圖表得到結(jié)論，正確即可，(2)根據(jù)題意求E4, En(3)先求f (p),求導(dǎo)求最值，求出

38、p,然后求出E6, Eg .解：(1)甲地區(qū)比乙地區(qū)新增人數(shù)的平均數(shù)低，甲地區(qū)比乙地區(qū)的方差大，(2) (i)耳尸曰p(l-ap) 土E口二3 (1一日口 )2WnW10, nCN+,令條,則f' (P)=志?=,當(dāng) f' (p) >0 時，0vpL, f (p)單調(diào)遞增；當(dāng) f' (p) < 0 時，一vpv 1, f (p)單調(diào)遞減；311故 f (p) 1113K=f (5)=In-7T= ln3 ln2 = 1.1 0.7 0.3= 0.1 , 乙kJR-J所以當(dāng)p= 0.5時，p取得最大值0.1,此時 取二10乂0. 5(1+LQM 0. 5)“二5M 64二鈍四,E' = 10X 0.1 (1+10X 0.1) 4= 16,戴口罩很有必要.(二)選考題：共 10分，請考生在第 22, 23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時請寫清題號.選彳4-4