角的計(jì)算與證明

1、角的計(jì)算與證明余角、補(bǔ)角及M分線的筒中運(yùn)算角的計(jì)算，證明角度討齊中的分類討論-用的蹤合國(guó).用1 .角的定義、表示方法、分類.2 .角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線.3 .余角和補(bǔ)角余角：如果兩個(gè)角的和等于 90 ,就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于 180 ,就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角. 兩個(gè)基本定理： 同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的補(bǔ)角相等.注意：暑期班提及過余角、補(bǔ)角、角分線相關(guān)知識(shí)但只是簡(jiǎn)單介紹，本講深入了解，并讓學(xué)生熟練掌 握.對(duì)于角的基本概念、分類和表

2、示方法等相關(guān)知識(shí)這里不再重復(fù)講解，建議教師根據(jù)班級(jí)情 況自行講解.【例1】如果90 ,而互余，那么與 的關(guān)系為（A.互余 B.互補(bǔ) C.相等D.不能確定與 互余，則D. 180°的值等于（）已知是銳角，與 互補(bǔ)，A. 45° B, 60°C. 90°如果 和 互補(bǔ)，且,則下列表示的余角的式子中：9090 ;1(2A. 4個(gè)B. 3個(gè)）；：C. 2個(gè)）.正確的有（D. 1個(gè)（4） 一個(gè)角的余角的2倍和它的補(bǔ)角的1互為補(bǔ)角，求這個(gè)角的度數(shù).2【解析】C;同角或等角的余角相等；C; 一個(gè)角的補(bǔ)角與這個(gè)角的余角的差等于90°B; 設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,則

3、它的余角為90 x,補(bǔ)角為180 x,由題意，得：1 -2（90 x） -（180 x） 180 ,解得：x 36 .【鋪墊】 下列說法：銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；如果兩個(gè)角是 同一個(gè)角的余角，那么它們相等；銳角和鈍角互補(bǔ).其中正確的說法有（）A. 4個(gè) B. 3個(gè)C. 2個(gè) D. 1個(gè)下列說法中，正確的是（）A. 一個(gè)角的補(bǔ)角必是鈍角B.兩個(gè)銳角一定互為余角C.直角沒有補(bǔ)角D.如果 MON 180 ,那么M , O, N三點(diǎn)在一條直線上下列語句正確的是（）A.鈍角與銳角的差不可能是鈍角 B.兩個(gè)銳角的和不可能是銳角 C.鈍角的補(bǔ)角一定是銳角 D. 和 互補(bǔ)（），則是鈍

4、角或直角【解析】C；D;C.【備選】 若一個(gè)角的余角是 40° ,則這個(gè)角是（）A. 40° B. 50° C. 60° D, 140° 互為補(bǔ)角的兩個(gè)角度比是 3: 2 ,這兩個(gè)角是（）A. 108°, 72° B. 95°, 85°C. 108°, 80° D, 110°, 70° 對(duì)于互補(bǔ)的下列說法中：/ A+/B+/C=90° ,則/ A、/ B、/C互補(bǔ)；若/ 1是/2的補(bǔ)角，則/ 2是/ 1的補(bǔ)角；同一個(gè)銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°

5、; ;互補(bǔ)的兩個(gè)角中，一定是一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角.其中，正確的有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)如圖，A , O , B在一條直線上,A. 1 BOC AOC21C. -( BOC AOC)AOC是銳角，則 AOC的余角是()1 3B. BOC AOCC22D. - ( BOC AOC)3A O B【解析】B;A;B;C. 【總結(jié)】復(fù)習(xí)余角與補(bǔ)角的基本概念【例2】如右圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O , OE平分若 EOB 55 ,則 BOD的度數(shù)是（）A . 35 B. 55 C. 70D. 110D【例3】如右圖，分別在長(zhǎng)方形 ABCD的邊DC、BC上取兩點(diǎn)E、使得AE平分

6、/ DAF,若/A. 15°B.30°BAF = 60C. 45°則/ DAE =(D.60°如右圖，OM平分BOC 10 ,求AOB , AODON平分COD C; A; AOD 2 MON如圖所示,如果 如果 如果OM AOC MON MON是 AOC的平分線，28° , MON 35BOCON是,求出F,).（東城區(qū)期末）,若 MON50 1090 .BOC的平分線, AOB的度數(shù)；n°,求出 AOB的度數(shù)；n°的大小改變，AOB的大小是否隨之改變？它們之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)寫出來. OM平分MOCON平分NOCAO

7、C1一AOC2AOC1一 BOC2MONNOCMOCAOCMONAOBAOB35°2 MON70 ° ；同上 AOB 2 MON MON的大小改變時(shí)2n° ;AOB的大小也隨之改變當(dāng) 0 n< 90 時(shí)， AOB 2 MON .當(dāng) 90 n 180 時(shí)， AOB 360 2n.【拓展】已知點(diǎn) O是直線AB上的一點(diǎn)，COE 90 , OF是 AOE的平分線.當(dāng)點(diǎn)C , E , F在直線AB的同側(cè)（如圖1所示）時(shí).試說明 BOE 2 COF ;當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E , F在直線AB的兩旁（如圖2所示）時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng) 給出你的結(jié)論并說明理由；將圖2中的射線O

8、F繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m （0 m 180）,得到射線OD .設(shè) AOC n ,若 BOD (60,則 DOE的度數(shù)是（用含n的式子表示）.圖1圖2【解析】設(shè)COF OF 是AOFAOC,則 EOFAOE平分線,90(90BOE 180180902即 BOE 2 解：成立，)COE(902設(shè) AOCAOFCOF4590902AOC902BOE18090BOE180 (90- 1(902AOE)COF ；解:DOE180180(60BOD AOE2n )(90 n ) 3(303n)故答案為:5 (30 - n)3題型二：角度計(jì)算中的分類討論- "nr_ _ _-定義示例剖析角度計(jì)算的分類

9、討論在平囿上，已知角的一邊和角度大小則角的另 一邊因?yàn)樾D(zhuǎn)有兩種方向會(huì)產(chǎn)生不確定性.B BA' B'角的計(jì)數(shù)問題在計(jì)算角的個(gè)數(shù)時(shí)一種方法是按一定順序累 力口，固定角的一邊，數(shù)出另一邊共有多少個(gè).另一種方法是使用排列組合知識(shí).【例4】 一條射線OA,從點(diǎn)O再引兩條射線OB與OC,使 AOB 40 ,BOC 20 ,則AOC .已知 AOB 40 ,從。點(diǎn)引射線OC ,若 AOC： 線所成的角的度數(shù)為.若 AOB 170 , AOC 70 , BOD 60 ,求COB 2 ： 3 ,求OC與 AOB的平分COD的度數(shù).【解析】20或60 ；當(dāng)OC在區(qū)域，所求的角度數(shù)為 4 ;當(dāng)OC

10、在區(qū)域，所求的角度數(shù)為 100 ;當(dāng)OC在區(qū)域，不符合.（不考慮優(yōu)角）分四種情況如圖 1, COD= AOB如圖 2, COD = 160如圖 3, COD = 180如圖 4, COD = 60AOC BOD 40圖1D圖2圖4CA7545O' 30【例5】 如下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫 1條射線，圖中共有 個(gè)角；畫2條射線， 圖中共有個(gè)角；畫3條射線，圖中共有 個(gè)角，求畫n條射線所得的角的個(gè)數(shù).【解析】3,6, 10, （n 1）（n 2） 2【拓展】已知直角AOB ,以O(shè)為頂點(diǎn)，在 AOB的內(nèi)部畫出100條射線，則以O(shè)A、OB及這些射線為邊的銳角共有多少個(gè)？若以O(shè)為項(xiàng)點(diǎn)，在 AO

11、B的內(nèi)部畫出n條射線（n>1的自然數(shù)），則OA、OB以及這些射線為邊的銳角共有多少個(gè)？【解析】200個(gè)，2n【提示】在 AOB的內(nèi)部，以O(shè)為頂點(diǎn)，畫1, 2, 3, 4條射線，數(shù)數(shù)各有多少個(gè)銳角，找出規(guī)律，再 計(jì)算100條射線、n條射線所構(gòu)成的銳角的個(gè)數(shù).【例6】 如右圖所示，下列說法中錯(cuò)誤.的是（）A. OAJ方向是北偏西15°B. OB的方向是南偏西45°C. OC的方向是南偏東 60°D. OD的方向是北偏東60°（西城區(qū)期末）題型三：角的綜合應(yīng)用典題精練 西南/、東南I南1.方位角方位角一般以正北、正南為基準(zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)方向度”、南偏東

12、度”、南偏西即北偏東 度”、北偏西思路導(dǎo)航.用甲方位角的取值范圍0 w w 902.鐘表問題：分針每分鐘轉(zhuǎn)6時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5BD60°西北東北C如左下圖所示的4 4正方形網(wǎng)格中，12 3。點(diǎn)，則如右下圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于AOC DOB(4)如圖如圖如圖如圖如圖，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重疊在一起.則20°1,AOD則O若若2,3,4,COBAODAODAOD3050猜想COBCOBCOB與°°的數(shù)量關(guān)系為:（用式子表木）證明你的結(jié)論.【解析】D;利用對(duì)稱性得315 180 ;160 , 150 ,D COB 180證明：C COD

13、90 ,AOB 90 ,AODAOC90BOD90COBAOC AOB9090 180.巔峰突破N【例7】 飯后，韓老師準(zhǔn)備外出散步，出發(fā)時(shí)看了一下鐘，時(shí)間是 6點(diǎn)多，時(shí)針與分針成90角，散完 步后回家，韓老師又看了一下鐘，還不到 7點(diǎn)，而時(shí)針與分針又恰好成 90角，問韓老師外出 多少分鐘？【解析】鐘表上相鄰兩個(gè)數(shù)字之間有 5個(gè)小格，每個(gè)小格表示1分鐘，如與角度聯(lián)系起來，每小格 6 , 秒針每分鐘轉(zhuǎn)過360 ,分針每分鐘轉(zhuǎn)過 6 ,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過 0.5 .設(shè)小明外出時(shí)，時(shí)間為 6點(diǎn)x分，又設(shè)小明回家時(shí)是 6點(diǎn)y分.由題意得 180° 6x 0.5x 90°, 6y 180

14、° 0.5y 90°,4 1解得 x 16 , y 49 1111I 48y x 49 16 32.II 1111【備選】, 都是鈍角，甲、乙、丙、丁計(jì)算，1（）的結(jié)果依次為50 , 26 , 72 , 90 ,6其中有正確的結(jié)果，則計(jì)算一定正確的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁已知 、中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算 的值時(shí)，15有三位同學(xué)分另計(jì)算出了 23、24、25這三個(gè)不同的結(jié)果，其中有一個(gè)是正確答案，則【解析】A;345）.1因?yàn)?0360 ,故6 24 ,所以三個(gè)結(jié)果中23是正確的，所以1515 23345 .;»思維拓展訓(xùn)練（選講

15、）訓(xùn)練1.下列圖中的角表示方法正確的個(gè)數(shù)有（）A B直線是平角A O BAOB是平角A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)把20.3°換算成度、分、秒的結(jié)果是 .用度表示 72 23 42;計(jì)算 32 16'25'' 4 78 25' .計(jì)算 157 43 5 =.【解析】 B; 20° 18 ； 72.395 ; (4) 50 40 40 ; 31；32 36訓(xùn)練2.如圖， AOB 90°,OE平分 AOC,OF平分 BOD, EOF比 COD的4倍少28°,則COD (精確到秒)(西城區(qū)期末)題型一 余角、補(bǔ)角及角分

16、線的簡(jiǎn)單運(yùn)算鞏固練習(xí)【解析】20 51 26 .訓(xùn)練3.從下午13: 00到當(dāng)天下午13:50,時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度為 度.【解析】300.訓(xùn)練4.如圖，OC是/ AOB的平分線，且/ AOD = 90°.圖中/ COD的余角是 如果/ COD=24 45',求/ BOD的度數(shù).【解析】AOC , BOC ;解： AOC AOD COD 9024 45' 65 15'.因?yàn)镺C是 AOB的平分線，所以AOB 2 AOC 130 30'.所以 BOD BOC COD 65 15' 24 45' 40 30'.60：1 ,求這個(gè)角的

17、余角度數(shù).【演練1】如果一個(gè)角的補(bǔ)角與余角的和，比它的補(bǔ)角與余角的差大【解析】設(shè)這個(gè)角為x,則它的補(bǔ)角和余角分別為 180 x和90 x ,x) 60 ,所以 x 60 ,(180 x) (90 x) (180 x) (90所以這個(gè)角的余角的度數(shù)為30【演練2】 如圖，O為直線AB上一點(diǎn),AOC 50 , OD 平分 AOC , DOE 90 請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)小于平角的角;求出 BOD的度數(shù)；AOB請(qǐng)通過計(jì)算說明OE是否平分 BOC .【解析】 圖中共有9個(gè)小于平角的角； 155 ； BOE 180 DOE AOD 180902565 , COE 902565 ,所以BOE COE ,即 OE 平分 BOC .題型二 角度計(jì)算中的分類討論鞏固練習(xí)【演練3】 已知 AOB 100° ,BOC 50° ,求 AOC的度數(shù).【解析】 AOC等于50°或150° .BOC 41 36',求 AOC .【演練4】 已知：OA