【2020年高考必備】衡水獨家秘籍之高中期末復習專題五函數(shù)與方程問題求解舉例

1、衡水獨家秘籍之 2019 高中期末復習專題五函數(shù)與方程問題求解舉例【方法綜述】函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，對于函數(shù)y=f(x)(如果y=ax2+bx+c可以寫成f(x)=ax2+bx+c,即y=f(x)的形式)，當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f

2、(x)看作二元方程yf(x)=0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系很重要，我們應熟練掌 握.下面我們就具體看一下函數(shù)與方程的應用舉例.【要點回顧】1.函數(shù)零點的理解：(1)函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，實質(zhì)是 同一個問題的三種不同表達形式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)的曲線， 且f(a)f(b)v0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，反之不成立.2.函數(shù)零點的判定常用方法：(1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)解方程f(x)=0.3.曲線的交點問題：(1)曲線交點坐標即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為方程的根；(2)求曲線y=f(x)與y=g(x)的交

3、點的橫坐標，實際上就是求函數(shù)y=f(x)g(x)的零點，即求f(x)g(x)=0的根.【典型例題】1求函數(shù)的零點例1.求函數(shù)f(x)=x33x+2的零點.解令f(x)=x3x+2=0，(x+2)(x1)2=0. x=2或x=1，3函數(shù)f(x)=x3x+2的零點為一2,1.評注 求函數(shù)的零點，就是求f(x)=0的根，利用等價轉(zhuǎn)化思想， 把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為 方程根的問題，或利用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題.2判斷函數(shù)零點的個數(shù)x2例2.已知函數(shù)f(x)=ax+r(a1)，判斷函數(shù)f(x)=0的根的個數(shù).x rIx一2解 設f1(x)=ax(a1),f2(x)=-，貝

4、Uf(x)=0的解，即為(x)=f2(x)的解，即為z. I I函數(shù)f1(x)與f2(x)的交點的橫坐標.x一2在同一坐標系下，分別作出函數(shù)f1(x)=ax(a1)與f2(x)=- 的圖象(如圖所示).x1所以方程f(x)=0的根有一個.評注 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，在同一坐標系下作出f1(x)與f2(x)兩函數(shù)的圖象，從而觀察出兩函數(shù)的交點個數(shù)(即為原函數(shù)的零點的個數(shù))3.確定零點所在的區(qū)間例3.設函數(shù)y=x3與y=一2的圖象的交點為(xo,yo)，貝Uxo所在的區(qū)間是()A. (0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)f(x)的零點在(1,2)內(nèi).答案B評注 本題考查函數(shù)零

5、點性質(zhì)的應用，利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想， 體現(xiàn)對運算能力和理 解能力的要求.4利用函數(shù)零點的存在性求參數(shù)范圍例4.關(guān)于x的二次方程x2+(m1)x+1=0在0,2上有解，求實數(shù)m的取值范圍.解設f(x)=x2+(m1)x+1,x0,2,又f(0)=10,由題意得解得一3wnW1,解得n0,02,(m- 1j40,= =y yX X= =y y的圖象的交點的橫坐標即為2 21 1 - - 2 2的零點，f(1)=1故m的取值范圍為nW1.評注本題實質(zhì)是對一元二次方程根的個數(shù)的討論，解題過程中利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、分類討論思想、方程與不等式的轉(zhuǎn)化等知識，對運算能力和分析問題的能力有很高的要求4

6、.判斷方程解的存在性例5.已知函數(shù)f(x)=3x32x2+1，判斷方程f(x)=0在區(qū)間1,0內(nèi)有沒有實數(shù)解？分析 可通過研究函數(shù)f(x)在1,0上函數(shù)的變化情況判斷函數(shù)是否有零點，從而判定方程是否有解.32解 因為f(1)=3X(1)2X(1)+1= 40,所以f(1)f(0)1 ,f(6)1,f( 6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6) 0時g(x)單調(diào)遞增；當a0時，g(x)單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)，故g(x)僅有一個零點.因此方程f(x)=1僅有一個根故選A.答案A評注 在區(qū)間a,b上單調(diào)且圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)，若f(a)f(b)0時，f(x)=x3x，則函

7、數(shù)g(x)=f(x)x+3的零點的集合為()A. 1,3 B.3,1,1,3C. 2 一，1,3 D.2 一，1,3【答案】D【解析】/是定義在上的奇函數(shù)，當x時，令 V ,則 ,()() (),()令()，當 時，解得，或，解得當 V 時,在區(qū)間上有解，則的取值范圍是()C.D.函數(shù) ()故選：D.的零點的集合為4若關(guān)于x的方程的一個根在區(qū)間內(nèi)，另個根在區(qū)間A.內(nèi),【答案】【解析】則實數(shù) 的取值范圍為2=7x-(m+13 x m2,設函數(shù)f(x)(0,1) 上，另一根在區(qū)間V ,(1,2),即實數(shù)m的取值范圍是(-4,故選：A.5.設函數(shù)當時,當函數(shù)方程V ，解得：-4vm2,-2);，給出

8、下列四個命題:是奇函數(shù);時，方程只有一個實數(shù)根;可能是上的偶函數(shù);最多有兩個實根其中正確的命題是(A.BC.D.【答案】A【解析】當時，函數(shù)，則函數(shù)曰 K疋奇函數(shù)，故正確當，時，函數(shù)在上是增函數(shù)，且值域為，則方程只有一個實數(shù)根，故正確若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，不存在等式在上成立，故錯誤當，時，方程有二個實根：，/ ,因此，方程最多有兩個實根錯誤綜上所述，正確的命題有故選6.已知函數(shù)，則方程在內(nèi)方程的根的個數(shù)是()A. 0 B.1 C.2 D.3【答案】D_.若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則 入的取值范圍是 _，則由圖象可得時,有兩個交點,有兩個根.時，由圖象可得有一個交點,有一個根.綜上，方程

9、內(nèi)方程的根的個數(shù)是，故選D.7.已知入R,函數(shù)f(x)=，當入=2時，不等式f(x)0的解集是【解析】(n)要使在區(qū)間上恒成立，需滿足【答案】(1,4)【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是當時，,此時,即在上有兩個零點；當時，由在上只能有一個零點得綜上，的取值范圍為&已知函數(shù)，若f(0)=-2,f(1)=1，則函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點個數(shù)為.【答案】3【解析】由已知當xw0時f(x)=-x2+bx+c,由待定系數(shù)得：解得c=-2,b=-4:)，令f (x)+x=0,分別解之得xi=2,X2=-1,X3=-2，即函數(shù)共有3個零點.故答案為：3.9.已知函數(shù).(I)若函數(shù) 在區(qū)間和 -上各有一個零點，求 的取值范圍;(n)若在區(qū)間上恒成立，求 的取值范圍.【答案】；(2)-.【解析】(I)因為函數(shù) 在區(qū)間和 -上各有一個零點，所以有所以的取值范圍為：-解得-解得：無解或-或 無解 所以-所以的取值范圍為：- -.10.如圖所示，定義域為上的函數(shù)是由一條射線及拋物線的一部分組成利用該圖提供的信息解決下面幾個問題(1)求的解析式；(2)若 關(guān)于的方程有一個不冋解，求 的取值范圍；(3)若-，求x的取值集合【答案】(1)_-；(2)-；(3