直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

1、聚焦考點(diǎn) 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點(diǎn)；試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點(diǎn)考查學(xué)生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在近幾年的高考中，每年風(fēng)格都在變換，考查思維的敏捷性，在探索中求創(chuàng)新。具體來(lái)說(shuō)，這些問(wèn)題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)，如直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)問(wèn)題，垂直問(wèn)題，對(duì)稱問(wèn)題。與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向。縱觀近幾年高考和各類型考試，可以發(fā)現(xiàn)：1研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化

2、為研究方程組的解的問(wèn)題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問(wèn)題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。2涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用差分法較為簡(jiǎn)便。3充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用。靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題。熱點(diǎn)透析題型1：直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題例1已知雙曲線C:2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別

3、有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn).(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解:(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 .(*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方

4、程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知:當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得:2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.分析第一問(wèn)考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題.第二問(wèn)考查處理直線與圓錐曲線問(wèn)題的第二種方法“點(diǎn)差

5、法”.易錯(cuò)點(diǎn)提醒:第一問(wèn)，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論.第二問(wèn)，算得以Q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了.技巧與方法:涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化.熱身訓(xùn)練1直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍。（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘狻浚?）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程后，整理得。 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，故解得k的取值范圍為（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由式

6、得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)，則由得：，即。整理得。把式及代入式，化簡(jiǎn)得。解得或（舍去）。存在使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)。題型2：有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】如圖所示，已知橢圓與拋物線有公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，若，且。（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）是否存在過(guò)F的直線l被橢圓及拋物線截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。【解】（1）的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，p=2c。設(shè)，由，得，由，得，c=2。，代入，解得，橢圓方程為，拋物線方程為。（2）設(shè)直線l的方程為，與聯(lián)立，得。將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得：由。存在直線l，其方程為：或。題型

7、3：與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題【例3】已知雙曲線方程。（1）過(guò)M（1，1）的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若M為弦AB中點(diǎn)，求直線AB的方程。（2）是否存在直線l，使為l被雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘狻勘绢}涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題，可以選用差分法解決。（1）設(shè)，則，則有-得。，。若，由知，則點(diǎn)A、B均不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，。 。直線AB的方程為，即x-2y+1=0。雙曲線的一條漸近線方程為，而，直線x-2y+1=0與雙曲線交于兩點(diǎn)，x-2y+1=0為所求。（2）假設(shè)過(guò)N的直線l交雙曲線于，則有， 。兩式相減，得。依題意，。雙曲線的一條漸近線方程為，而，直線l與雙曲線

8、沒(méi)有公共點(diǎn)，以為弦中點(diǎn)的直線不存在。題型4：對(duì)稱問(wèn)題【例4】在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為的直角頂點(diǎn)，已知，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零。（1）求向量的坐標(biāo)；（2）求圓關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，理由；若存在，求a的取值范圍。【說(shuō)明】這是一個(gè)非常好的、綜合性強(qiáng)的題目要認(rèn)真研究?！窘狻浚?）設(shè)，則由，得，解得，或，得。故。（2）由，得B（10，5），于是直線OB的方程為：。由題設(shè)可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。得圓心（3，-1），半徑為。設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則，得。故所求圓的方程為。（3）設(shè)為

9、拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)，則，得，即為方程的兩個(gè)相異實(shí)根。于是由，得。故當(dāng)時(shí)，拋物線上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩點(diǎn)?！驹u(píng)析】對(duì)稱性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，一般包括點(diǎn)對(duì)稱與直線對(duì)稱，要重視此類問(wèn)題的常規(guī)解法，如本題主要考查兩個(gè)方面：一是中點(diǎn)在對(duì)稱軸上；二是利用垂直關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程組求解。一般情況下，對(duì)稱問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)加以解決。熱身訓(xùn)練1若拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，求的范圍.解法一:（對(duì)稱曲線相交法）曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為.如果拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則兩曲線與必有不在直線上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示)，從而可由:.代入得有兩個(gè)不同的解，.解法二:（對(duì)稱點(diǎn)法）設(shè)

10、拋物線上存在異于于直線的交點(diǎn)的點(diǎn)，且關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上.則 必有兩組解.(1)-(2)得:必有兩個(gè)不同解.，有解.從而有有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.即:有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.，.解法三:（點(diǎn)差法）設(shè)拋物線上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是拋物線（即）內(nèi)的點(diǎn).從而有.由(1)-(2)得:由.從而有.熱身訓(xùn)練2試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.解:設(shè)橢圓上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn).從而有.由(1)-(2)得:由由在直線上從而有.熱身訓(xùn)練3已知直線過(guò)定點(diǎn)A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O，求的值.解:可設(shè)直線的方程為代入

11、得.設(shè)，則.由題意知，OPOQ，則即 此時(shí)，拋物線的方程為.題型5：圓錐曲線中幾何量的范圍問(wèn)題【例5】已知常數(shù)a0，向量m=（0，a），n=（1，0），經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，-a）以m+n為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（0，a），以n+2m為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中。（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若，過(guò)E（0，1）的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，求的取值范圍?！窘狻浚?）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則，又n，m，故mn，nm。由題知向量與向量mn平行，故。又向量與向量nm平行，故。兩方程聯(lián)立消去參數(shù)，得點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是，即。（2），故點(diǎn)P的軌跡方程為，此時(shí)點(diǎn)E（0，1）為雙曲線的焦點(diǎn)。

12、若直線l的斜率不存在，其方程為x=0，l與雙曲線交于，此時(shí)。若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+1，代入化簡(jiǎn)得。直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，即。設(shè)兩交點(diǎn)為，則。此時(shí)。當(dāng)-1k1或k-1時(shí)，故。綜上所述，的取值范圍是。熱身訓(xùn)練1如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.命題意圖:本題

13、考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，一、二問(wèn)較簡(jiǎn)單，第三問(wèn)巧妙地借助中垂線來(lái)求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng).知識(shí)依托:橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯(cuò)解分析:第三問(wèn)在表達(dá)出“k=y0”時(shí)，忽略了“k=0”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系.技巧與方法:第一問(wèn)利用橢圓的第一定義寫(xiě)方程；第二問(wèn)利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解,第三問(wèn)利用m表示出弦AC的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍解:(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|

14、yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出:x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一:由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得 得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將,(k0)代入上式，得94+25y0()=0:(k0)即k=y0 (當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B

15、與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二:因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4) (k0) 將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8, 解得k=y0. (當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).最新考題探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查了直線與圓錐曲線的有關(guān)概念、定義與性質(zhì)以及運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化能力，是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。在高考試題中年年會(huì)出現(xiàn)，且試題的難度比較大，經(jīng)常在“壓軸題”中出現(xiàn)，集中體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)和能力的考查，其中直線與圓錐曲線相交及圓錐曲線中的相關(guān)弦問(wèn)題是考查的重點(diǎn)。【考題

16、】（07四川文21）(本小題滿分12分)求F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若r是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點(diǎn)，求點(diǎn)P的作標(biāo)；（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點(diǎn)A、B，且ADB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力（）易知，設(shè)則，又，聯(lián)立，解得，（）顯然不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，由，得又為銳角，又綜可知，的取值范圍是【評(píng)析】向量與解析幾何的交匯是近兩年高考數(shù)學(xué)題的“流行色”，由于向量兼具“數(shù)”和“形”的雙重特征，因此用向量實(shí)現(xiàn)數(shù)形的轉(zhuǎn)化與溝通較容易，而解

17、析幾何又正是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支，相似的理念、共同的目標(biāo)使得向量與解析幾何的聯(lián)袂一拍即合，相得益彰。名師溫馨提示1有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該注意數(shù)形結(jié)合；2有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，設(shè)而不求；有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算；3有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)注意靈活運(yùn)用“差分法”，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算。4有關(guān)垂直關(guān)系問(wèn)題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體處理。5有關(guān)圓錐曲線關(guān)于直線l的對(duì)稱問(wèn)題中，若A、A是對(duì)稱點(diǎn)，則應(yīng)抓住線段AA的中點(diǎn)在l上及這兩個(gè)關(guān)鍵條件解決問(wèn)題。6有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般采用“假設(shè)反證法

18、”或“假設(shè)驗(yàn)證法”。課后實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是（）ABCD（目的：理解中點(diǎn)弦的斜率與圓錐曲線方程中系數(shù)的關(guān)系）【答案】（A）【解析】設(shè)則，兩式相減得，所以2設(shè)拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的值是（）ABC3D-3（目的：借助向量、利用韋達(dá)定理理解拋物線焦點(diǎn)弦的特性） 【答案】（B）【解析】3若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最大值是？（目的：掌握弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，理解直線與橢圓相交弦的弦長(zhǎng)隨的變化情況）【答案】【解析】4在拋物線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線的距離最短，該點(diǎn)的坐標(biāo)是_。（目的：學(xué)會(huì)借用直線與圓錐曲線位置關(guān)系來(lái)討論曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題）【答案】【解析】設(shè)直線是與直線平行且與拋物線相切的直線，求得，切點(diǎn)為，即為所求的點(diǎn)。5已知對(duì)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD（目的：理解方程中含有一個(gè)參數(shù)的直線的特征，能夠用直線上的特殊點(diǎn)判斷直線與圓錐曲線的關(guān)系）【答案】 【解析】直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)此直線恒與橢圓有公共點(diǎn)。6已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0）直線y=x1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程