電動力學靜電場答案

1、編號： 班級： 學號： 姓名： 成績： 第1章 靜電場1. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度，總等于自由電荷體密度的（1）倍。2. 有一內(nèi)外半徑分別為的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解 1）由電荷分布的對稱性可知：電場分布也是對稱的。電場方向沿徑向故：時 或 時 球殼體內(nèi)： 在的球形外：式中 寫在一起2） （與第一題相符）內(nèi)表面：外表面：3. 證明：當兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的偏折滿足： 式中和分別為兩介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。證明：絕緣介質(zhì)分界面上自由電荷密度

2、，故邊值關系為：, （,）若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即， ；上邊兩式為:，于是得： 4. 試用邊值關系證明：在絕緣介質(zhì)與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面。1 導體2 絕緣體證明：設介質(zhì)1為導體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：,由邊值關系：,可得：,即，對于各向同性線性介質(zhì)所以，即導體外的電場線垂直于導體表面2aO圖1 5. 如圖1，有一厚度為，電荷密度為的均勻帶電無限大平板，試用分離變量法求空間電勢的分布。解：以O原點建立如圖坐標系，為根據(jù)問題的對稱性，電勢分布僅與x有關，x即一維問題。容易寫出定解問題：時 時 直接求解得6. 內(nèi)半徑，外半徑為的兩個同心導體球殼，令

3、內(nèi)球接地，外球帶電量，試用分離變量法求空間電勢分布。解.根據(jù)球?qū)ΨQ性，空間電勢分布僅與r有關，定結(jié)問題為： r=b時 求解得 7. 均勻外電場中，置入半徑為的導體球。求以下兩種情況的電勢分布。（1）導體球上接有電池，使球保持電勢為；（2）導體球上帶有總電荷。解 建立球坐標系 極軸方向為均勻電場方向，可知電勢分布具有軸對稱性，即電勢僅與r有關1）的定解問題為此時是導體球放入前，通過坐標原點的等勢面的電勢，用分離變量法解為2）的定解問題為類似解為z8. 介電常數(shù)為的無限均勻介質(zhì)中，挖一個半徑為的空球，球心處置一電矩為的自由偶極子，試求空間電勢分布。解 如圖建立球坐標系，的方向為極軸方向,的定解問題

4、為r=a時，；注意到泊松方程解的性質(zhì)及電勢分布具有軸對稱性，可寫為：第二項為極化電荷激發(fā)的勢，該項在球心應為有限值，故Bn=0解的電勢分布9半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶極子，球外充滿另一種介質(zhì)，求空間各點的電勢和極化電荷分布（介質(zhì)球介電常數(shù)為，球外為）。解：求解與上題類似，只需得，極化電荷分布，在介質(zhì)球內(nèi)因此在球心處有一極化電偶極矩，在的界面上，由，可得，10. 兩個接地的無限大導電平面，其夾角為，點電荷位于這個兩面角的平面上，并與棱邊（兩面角之交線）相距為。試用電像法求真空中的電勢。解：考慮到兩個無限大導電平面是接地的，且點電荷Q位于雙面角的平分線上，可按下面的方法求得像電荷的位置和大

5、?。篈+QNNCDFEB-Q+Q-Q+Q-QA（1）首先考慮半面，為了滿足平面的電勢為零，應在Q關于對稱的位置B處有一像電荷-Q,（2）考慮半面，同樣為了滿足電勢為零的要求，對于A、B處兩個點電荷+Q和-Q，應在A、B關于對稱的位置C、D處有兩個-Q、+Q，（3）再考慮半平面，對于C、D處的-Q和+Q，應在E、F處有兩個像電荷+Q和-Q才能使導體的電勢為零。可以證明E、F處的兩個點電荷+Q和-Q關于平面對稱，因而可滿足平面的電勢為零，這樣找出了5個像電荷，加上原來給定的點電荷，能夠使角域內(nèi)的場方程和邊界條件得到滿足，所以角域內(nèi)任一點P處的電勢可表為，其中分別為給定電荷Q及其像電荷到P點的距離。

6、在其余空間的電勢為。11. 接地空心導體球，內(nèi)外半徑為和，球內(nèi)離球心處（）置一點電荷，試用電像法求空間電勢分布。導體上感應電荷分布在內(nèi)表面還是外表面？其量為多少？若導體球殼不接地而是帶電量，則電勢分布又如何？若導體球殼具有確定的電勢，電勢分布如何？解：根據(jù)題意設球內(nèi)區(qū)域電勢為，球外區(qū)域電勢為，RR1R2abrBQrQ設像電荷位置如圖所示，其中由邊界條件要使上式對任意成立，必有（*）解得，（舍去）代入（*），得由上可知，若使有確定，且兩種情況有相同解，由邊界條件所以，外表面感應電荷面密度，內(nèi)表面感應電荷面密度，總感應電荷，（可見全部在內(nèi)表面上）12. 四個點電荷，兩個，兩個，分別處于邊長為的正方形的四個頂點，相鄰的符號相反，求此電荷體系遠處的電勢。-q-q+q+q解：該系統(tǒng)電荷分布為分立分布，在如圖坐標系中位置為q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精確到四極矩情況下，可求得遠處的電勢分布為。13. 求面電荷密度按分布，半徑為的球的電矩。問該系統(tǒng)是否存在電四極矩？解：，所以，14. 設真空中電場的勢為 式中是離坐標原點的距離，和是常數(shù)，求相應的電荷分布。解：，時，時， 15. 在一點電荷的電場中，距離它為的地方有一偶極子，其電矩，求在下列兩種情況下，此電矩所