絕對(duì)值及其應(yīng)用

1、絕對(duì)值及其應(yīng)用隋福太關(guān)鍵詞：絕對(duì)值，絕對(duì)值的幾何意義及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)精講1.絕對(duì)值的幾何定義：在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.a的絕對(duì)值表示為.所以， 通過上例易得例.已知，求x的取值范圍練習(xí)1.已知，求x的取值范圍2.絕對(duì)值的代數(shù)定義：正數(shù)的絕對(duì)值就是它本身，零的絕對(duì)值等于零，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是它的相反數(shù).3.絕對(duì)值的性質(zhì)：非負(fù)性例.與互為相反數(shù)，試求4.根據(jù)相反數(shù)的定義知，一對(duì)相反數(shù)分居原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等.結(jié)合絕對(duì)值的定義知.由于，故與是一對(duì)相反數(shù)，同樣會(huì)有.例.一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位后，得到它的相反數(shù)，則這個(gè)數(shù)是練習(xí)1.數(shù)軸上表示互為相反數(shù)

2、的兩點(diǎn)之間的距離為6，這兩個(gè)數(shù)是5.在數(shù)軸上，b兩點(diǎn)之間的距離為或.當(dāng)知道兩點(diǎn)的位置關(guān)系時(shí)，通常就去掉絕對(duì)值;當(dāng)不知道兩點(diǎn)之間位置關(guān)系時(shí)，就帶上絕對(duì)值符號(hào).由此易得ABC6.中點(diǎn)公式：以和為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為已知數(shù)軸上如圖自左向右為A、B、C三點(diǎn)，它們所對(duì)的數(shù)分別為a、b、c，且都不為零，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，如果-，試確定原點(diǎn)O的大致位置6.點(diǎn)P（p）到的距離和為.（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，時(shí)（即正中間的那個(gè)數(shù)），該距離和最小（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取第到第個(gè)點(diǎn)（包括這兩個(gè)點(diǎn)）時(shí)，距離和最小例.求的最小值是多少？練習(xí)1.的最小值2.已知，如果，求y的最小值7三角不等式： 經(jīng)典例題選講例1.已知求的最大值和

3、最小值解：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由條件得，則當(dāng)，時(shí)，的值最大，最大值為15.當(dāng)，時(shí)，的值最小，最小值為-6.例2.設(shè)，是6個(gè)不同的正整數(shù)，取值于1,2,3,4,5,6，記，求S的最小值解：根據(jù)絕對(duì)值的意義得，原題等價(jià)于：從數(shù)軸上點(diǎn)1出發(fā)，每次走一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，走完點(diǎn)2，點(diǎn)3，點(diǎn)4點(diǎn)5，點(diǎn)6，最后回到點(diǎn)1，問最少走了多少距離？取，則1+1+1+1+1+1+5=10例3.將1，2，3，200，這200個(gè)數(shù)任意分成兩組，每組100個(gè)數(shù)，將一組按由小到大的順序排列（記為），另一組按由大到小的順序排列（記為），試求的值先證明：對(duì)于代數(shù)式的任何一項(xiàng)（i=1,2,100）中的，較大的數(shù)

4、一定大于100，較小的數(shù)一定不大于100.（1）若，則由及，知共101個(gè)數(shù)都不大于100. 這是不可能的（2）若，則由，知共101個(gè)數(shù)都大于100.這也是不可能的.于是代數(shù)式中100個(gè)絕對(duì)值中較小的數(shù)為1，2，100，較大的數(shù)為101,102， 200.故原式=（101+102+200）-（1+2+100）=10000.例4.最小值該題相當(dāng)于在數(shù)軸上，10點(diǎn)處有20個(gè)工人，15點(diǎn)處有10個(gè)工人，20點(diǎn)處有30個(gè)工人，在數(shù)軸上求一點(diǎn)使他們到該點(diǎn)的路程和最?。拷?先對(duì)10點(diǎn)處20個(gè)工人和20點(diǎn)處20個(gè)工人，當(dāng)這一點(diǎn)只要取在10到20點(diǎn)之間任一點(diǎn)這40個(gè)工人走的路程和最小，最小距離和為2010=20

5、0.因而在15點(diǎn)處有10個(gè)工人，20點(diǎn)處有10個(gè)工人，只需這20個(gè)工人所走的路程和最小即可，易得取15到20之間（包括這兩點(diǎn)）任取一點(diǎn)即可，取20，易得最小距離和為105=50.練習(xí)1.當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，+的值取得最小值.A. B. C. D.例5.，且求a和b解.表示到2的距離等于4的點(diǎn)為a=2-4=-2和a=2+4=6兩個(gè)點(diǎn).由 知，當(dāng)a=-2時(shí)，b=8;當(dāng)a=2時(shí)，b=8.例6.，且，求mn解. 知.可得，得m+n=0,由得2m-n-2=0,易求得，則.例7.解絕對(duì)值方程 解.表示x到3的距離為2，故x=1或x=5表示到-5的距離為6的點(diǎn)，故x=1或x=-11表示到2和6的距離和為12

6、，易知到2和到6的點(diǎn)的距離和的最小值為4，故x一定不在2和6之間，即在2的左邊或在6的右邊，12-4=8，所以x=10或-2.例8.解方程 例9.已知a，b，c，d是有理數(shù)，且求的值解：因?yàn)椋灾挥?，則原式=9-16=-7例10.若化簡(jiǎn)解.因?yàn)?，所以，原?練習(xí)6.，則7.若，則的取值范圍為8.求滿足的非負(fù)整數(shù)對(duì)的值9.已知：三個(gè)數(shù)的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，求的值10.互為相反數(shù)，且，那么11.設(shè)，且，試化簡(jiǎn)12.化簡(jiǎn)13.a<0,且，試化簡(jiǎn)14.化簡(jiǎn)15.化簡(jiǎn)16.20不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，如果，那么點(diǎn)B的位置為 21.已知，求ab的值22.設(shè)k為自然數(shù)，且ka+b=0,則+等于 23.已知a、b、c均為整數(shù)，且滿足，則= 24已知，那么的最大值為25.如果a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=0，那么的所有可能的值為