空間觀念培養(yǎng)再思考

1、空間觀念培養(yǎng)再思考 無錫市第六高級(jí)中學(xué) 盧笛空間觀念是指對(duì)物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化的直覺觀念，能幫助學(xué)生由實(shí)物形狀想象出立體圖形，再由立體圖形想象實(shí)物的形狀，它是人們認(rèn)識(shí)和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具。在教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生感知身邊實(shí)物的立體圖形，在觀察、比較、想象中建立空間和平面的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念能使他們更好地認(rèn)識(shí)、理解生活空間?？臻g觀念是幾何課程改革的一個(gè)課程核心的概念,那么在立體幾何的教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念呢？筆者思考如下，供參考。一、思維方式要突破平面幾何幾何教學(xué)是從平面幾何開始的，教學(xué)中注重學(xué)生由二維和三維圖形的轉(zhuǎn)換，突破學(xué)生對(duì)平面幾何的思維方

2、式，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。通過將平面圖形進(jìn)行折疊、投影、平移、旋轉(zhuǎn)等方式轉(zhuǎn)化為立體圖形，讓學(xué)生通過有針對(duì)性的練習(xí)，進(jìn)行研究、討論、想象，切實(shí)地來感受體驗(yàn)的過程，只有讓學(xué)生充分的體驗(yàn)到位了，學(xué)生的空間觀念才能落實(shí)在具體練習(xí)中。例1 如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.（1）求證：A1C平面BCDE；來源:（2）若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；（3）線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由解：（1），平面，又平

3、面，又，平面（2）如圖建系，則，,設(shè)平面法向量為則又與平面所成角的大小為（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為則假設(shè)平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直點(diǎn)評(píng)：“折疊”就是把平面圖形通過翻折變成立體圖形，它是高考?？嫉臒狳c(diǎn)題型。解決這類問題的關(guān)健是要正確利用好折疊前后的兩種圖形，準(zhǔn)確找出其中的變化量和不變量二、能夠充分借助實(shí)物圖形的直觀性初學(xué)立體幾何時(shí)，學(xué)生可以使用桌面、手掌、鉛筆等代替平面和直線進(jìn)行一些空間位置關(guān)系的模擬，將要學(xué)的東西直觀地創(chuàng)造出來，與生活中的事物圖形相聯(lián)系，學(xué)生共同參與、合作交流，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手來“畫一畫”、“量一量”、“折一折”、“擺一

4、擺”，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地動(dòng)手去做，發(fā)揮自身的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生親身實(shí)踐，在測(cè)量、觀察和動(dòng)手操作中，積累一些對(duì)空間的直觀觀念，幫助學(xué)生由實(shí)物幾何向幾何圖形過渡，逐步形成幾何形體的空間表象，進(jìn)而彌補(bǔ)空間想象力的不足。例2 對(duì)于平面和異面直線，下列命題中為真命題的是 A存在平面，使， B存在平面，使，C存在平面，滿足，D存在平面，滿足，解析 本題雖然只是一個(gè)選擇題，但對(duì)空間想象力的要求是很高的。本題難點(diǎn)在C、D選項(xiàng)的判斷如果存在平面，使m，n，則直線m，n平行，即兩直線m，n不是異面直線，故A不成立如果存在平面，使m，n，則m，n就不是異面直線了故B不成立；如果存在平面，滿足m，n，將直線m，n平移到一

5、個(gè)平面上時(shí)，要求直線m，n互相垂直，而已知兩直線m，n是任意異面直線，故C不成立存在平面，滿足m，n，故D成立點(diǎn)評(píng)：教學(xué)中，同學(xué)們要充分運(yùn)用身邊的實(shí)物展示空間幾何體，在頭腦中有定性思維的過程，平常的練習(xí)中，要多用眼看，多動(dòng)手畫，多用腦推，盡可能用圖形來刻畫和描述問題、用圖形來理解、記憶和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的結(jié)果，這樣可以增強(qiáng)學(xué)生思維方法的理性認(rèn)識(shí)，不斷地提高自己的理性思維三、能夠靈活地變換研究角度學(xué)生對(duì)空間幾何體首先是整體上的感受，還不能很好地把握對(duì)點(diǎn)、線、面進(jìn)行正確的位置分析，讓學(xué)生先對(duì)空間幾何體的整體加以認(rèn)識(shí)，在體驗(yàn)和操作中，感知立體幾何的性質(zhì)，進(jìn)一步通過推理，了解“點(diǎn)與線”、“直線與平面”、“面與

6、面”之間的位置關(guān)系，充分認(rèn)識(shí)立體幾何的規(guī)律，學(xué)生能夠熟練地由整體到局部，再由具體到整體，這之間自由靈活的進(jìn)行變換，不同角度的來分析空間幾何。例3 一四面體的三視圖如圖5所示,則該四面體四個(gè)面中最大的面積是（）A B C D 圖4 圖5解析 構(gòu)造正方體如圖5，在正方體中生成該幾何體的直觀圖（如圖中粗線所示），進(jìn)而使問題的求解水到渠成答案D圖6點(diǎn)評(píng)：近年高考對(duì)四面體的考查，多圍繞著正方體命題.正方體割出三棱錐：如圖6,在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后,還余下4個(gè)正三棱錐.每個(gè)正三棱錐的體積均為1/6,故內(nèi)接正四面體的體積為1/3.這5個(gè)四面體都與正方體“內(nèi)接”而“共球”.事實(shí)上,正方體的內(nèi)接四面體

7、(即三棱錐)共有-12=58個(gè).至此可以想通,正方體為何成為多面體的題根.四、要充分認(rèn)識(shí)平面的無限延展性平面具有無限延展性，沒有大小、寬窄、薄厚，是沒有邊界的，無法用具體的實(shí)物來表示，是從生活中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，與直線的無限延伸是相通的，但在試題中卻是以短距離為平面的，有些條件沒有在圖形中體現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生以無限延伸的思想來看待平面，深入理解點(diǎn)與面、線與面、面與面之間的相關(guān)公理和推論，增強(qiáng)學(xué)生延展的想象能力，讓學(xué)生能夠由局部聯(lián)想到整體，由已知圖形聯(lián)想到未畫的圖形，準(zhǔn)確地找到解題的關(guān)鍵。例4 如圖8， 在四棱錐中，/，平面，. （）設(shè)平面平面，求證：/；（）求證：平面；證明：（）因?yàn)?，平面，

8、平面，所以/平面. 因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?. 圖8（）因?yàn)槠矫?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， 所以 ，所以，.所以 ，. 因?yàn)?，平面，平面，所以 平面. 點(diǎn)評(píng) 題目中平面與平面的交線并沒有在已知圖形中體現(xiàn)出來，但根據(jù)平面的延展性知兩平面有一個(gè)交點(diǎn)，則必有一條交線，進(jìn)而問題得證。五、“空間”化“平面”降維處理空間中也有很多問題需要轉(zhuǎn)化到平面上來處理，如常用的“展開圖”與“截面圖”，角與距離的問題等。我們?cè)诮淌诋惷嬷本€所成的角與二面角的問題時(shí)，很多學(xué)生無法將相關(guān)的角準(zhǔn)確作出，導(dǎo)致解題無法繼續(xù)。需要學(xué)生能順利的將一個(gè)在空間中難以處理的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為平面上

9、較易處理的問題。由圖形當(dāng)中的立體型利用“輔助線”、“展開圖”的形式轉(zhuǎn)化到平面幾何上來，如果學(xué)生沒有這種意識(shí)，沒有準(zhǔn)確掌握相關(guān)方法，或在轉(zhuǎn)化過程中容易出錯(cuò)，勢(shì)必導(dǎo)致最終問題的復(fù)雜化。例5（2013年高考北京卷理）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_。解析 本題可將空間問題進(jìn)行平面化處理。易知CC1與面D1DE平行，點(diǎn)P在底面上的投影P，落在線段DE上，則點(diǎn)E到直線CC1距離的最小值為線段DE上的點(diǎn)到點(diǎn)C距離的最小值，即當(dāng)CP垂直DE時(shí)，CP的長(zhǎng)度即為最小值，計(jì)算得CP。點(diǎn)評(píng) 本題通過側(cè)面展開，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，通過動(dòng)中找定，把立體幾何推向了一個(gè)新的高度總之，縱觀近幾年的高考試題，立體幾何的改革成為了高考改革的風(fēng)向標(biāo)，是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。但是，只要在教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，系統(tǒng)地掌握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，調(diào)動(dòng)