章末復習課2019(秋)數(shù)學必修第四冊人教B版(新教材)改題型

1、章末復習課要點回顧IM. III形成體系網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1.正弦定理及其變形、應(yīng)用a b(1)正弦定理：在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,則白/=/*= sin a sin bcsnd= 2R(R為AABC外接圓半徑).(2)三角形面積公式: 111 S= 2aha=2bhb=2chc；111 S= 2absin C = 2bcsin A = 2acsin B ；1S= 7p (p-a)(pb)(p c),其中 p = 2(a+b+c).(3)常用變形:a=2Rsin A, b = 2Rsin B, c=2Rsin C； sin A=a2R'sin B =b2R

2、'sin C =c2R；sin A : sin B ： sin C= a ： b ： c.(4)利用正弦定理主要解決兩類解三角形問題：一類是已知兩角和任一邊，求其 他兩邊和一角；另一類是已知兩邊和其中一邊的對角， 求另一邊的對角，進而求 出其他的邊和角.(5)解題時，要注意“三角形內(nèi)角和為180。”，“在一個三角形中，大邊對大角” 等平面幾何性質(zhì)的運用.2.余弦定理及推論(1)余弦定理三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍，即a2= b2 + c22bccos A;b2= a2 + c22accos B;c2= a2+ b22abcos C.(2)

3、余弦定理的推論b2 + c2 a2a2 + c2- b28s A=2bc ； 8s B=2ac ；a2+b2c2cos C ;2ab.(3)利用余弦定理主要解決兩類三角形問題：一類是已知三邊求任意一角；另一 類是已知兩邊和任一角，求其余的邊與角.要注意結(jié)合圖形解決問題，挖掘題目中的隱含條件，如圓內(nèi)接四邊形中的性 質(zhì)，通過三邊之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)三角形的特點.3.正、余弦定理的實際應(yīng)用應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，通常都是根據(jù)題意，從實際問題 中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所要求的量，從而得 到實際問題的解.(2)解題時應(yīng)認真讀題，未給出圖形的，要畫出示意圖，結(jié)合圖形去

4、選擇正弦定 理、余弦定理，使解題過程簡捷.另外，對于實際問題的解，要注意題目中給出 的精確度，合理地取近似值.要點聚焦iiiiIIHIMMMWIIH 分類突破 I要點一 利用正、余弦定理解三角形解三角形的常見類型及解法在三角形的六個元素中，若知道三個，其中至少一個元素為邊，即可求解三角形, 按條件可分為以下幾種：(1)已知兩角和一邊，如已知 A, B和c,由A+B+C=tt求C,由正弦定理求a, b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知 a, b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用 正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用 A+B+C=電求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知 a, b和A,

5、可先用正弦定理求B,由A + B+C=冗求C,再由正弦定理或余弦定理求 c,也可利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于邊 c的一元二次方程求解.要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a, b, c,可應(yīng)用余弦定理求 A, B, C.【例 11如圖所示，在 ABC 中，AB=AC=2, BC=2/3,點D在BC邊上，/ ADC = 45°,求AD的長度.“口 匚解 在 ABC 中，.AB = AC = 2, BC = 2/3,:由余弦定理，得cos C =又 0 °< C<180 ；1 sin C 2.AC2+BC2-AB2 亞2 AC BC: 2，在 ADC中，由正弦定理得,AD

6、 AC-z= :"sin C sin/ADC一 AC _21 . AD= . / gc sin C = j=zXV2.sin/ADC / 2T_ .兀，【訓練11 如圖所小，在 ABC中，B = -, AB=8,點D在BC31邊上，CD = 2, cos/ ADC = 7.求 sin/BAD;(2)求BD, AC的長.解(1)在 4ADC 中，因為 cos/ ADC = 7,所以 sin/ADC=473所以 sin/ BAD = sin(/ ADC B)=sin/ADC cos Bcos/ ADC sin Bj1 17 33 一 八八 一八 c=(2)在4ABD 中，sin/ADB=

7、sin( f/ADC)sin/ADC = 473,由正弦定理，得ABsin/BAD14sin/ADB在4ABC中，BC=BD + CD = 5,由余弦定理，得AC2=AB2+BC22AB BC cos B= 82 + 52-2X8X5X1 = 49,所以AC = 7.要點二與三角形有關(guān)的綜合問題該類問題以三角形為載體，在已知條件中涉及了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的等式，因此通過定理的運用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公【例2】4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知a= bcos C+csi

8、nB.求B；若b = 2,求 ABC的面積的最大值.解 (1)由正弦定理知a=2Rsin A, b = 2Rsin B,c= 2Rsin C,得 2Rsin A= 2Rsin Bcos C+ 2Rsin Csin B,即 sin A=sin Bcos C + sin Csin B.又 A=Tt (B+C), . .sin KB+C) = sin(B+C) =sin Bcos C + sin Csin B,即 sin Bcos C + cos Bsin C= sin Bcos C+ sin Csin B,cos Bsin C= sin Csin B.: sin Cw 0,一 一 .z _，小兀c

9、os B= sin B且 B 為二角形內(nèi)角，B-4.c 12(2)$ABC = 2acsin B= 4 ac,由正弦定理，得2=(=走*$所A=242sin A, "2"同理，得 c= 2/sin C,Saabc= *x 2/sin Ax 2V2sin C =2啦sin Asin C= 2/sin Asin 亨-A=2也sin A sin -cos Acos vsin A 442 、=2(sin Acos A+ sin A).一.，一. 匚一. 冗 ，= sin 2A+1cos 2A=y2sin 2A4 +1,. AC 0,手，.2A # j,蒙,即A=當對',SA

10、BC有最大值J2+1.8【訓練2】 在銳角 ABC中，a, b, c分別為角A, B, C所對的邊,且也a= 2csin A.(1)確定角C的大小;(2)若c=S,且 ABC的面積為323,求a+b的值.a 2c斛（1） . V3a = 2csin A， sn"A：擊.由正弦定理知sin A-sin C'. c _2c . .退"sin C一欣'"sin C_ 2 . .一萬: ABC是銳角三角形,. C =-. 3(2)，c=<7, C = ., .,.由面積公式得:37t2absin 3 =啜即ab= 6,由余弦定理得a2+b22abco

11、s 3= 7,-a2+b2-ab=7,即(a+b)2 3ab= 7, . (a+b)2= 25, . a+ b= 5.要點三 正、余弦定理在實際中的應(yīng)用正、余弦定理在實際中的應(yīng)用，具一般思路為：(1)準確理解題意及問題的實際背景，明確已知和所求，并理清量與量之間的關(guān) 系；根據(jù)題意畫出圖形，將實際問題抽象成解三角形的數(shù)學模型；(3)把要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦、余弦定理 等有關(guān)知識建立數(shù)學模型，然后正確求解.【例3】 某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后， 立即測出該漁船在方位角為45°,距離為10海里的C處，并測得漁船正沿方位 角為

12、105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以1073海 里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間.解 如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，艦艇與漁船在B處相遇，則 AB=10/3t 海里，CB=10t 海里, 在 4ABC 中，/ACB=45°+ (180 - 105 )=120 ；根據(jù)余弦定理，有 AB2=AC2 + BC2-2AC BCcos /ACB,可得(10V3t)2 = 102+(10t)2 2X10X 10tcos 120 ,整理得2t2t1=0,解得t=1或t= 2（舍去）.即艦艇需1小時靠近漁船，此時AB=10>/3（海

13、里），BC=10（海里）,在 ABC中，由正弦定理得BCABsin/CAB = sin 120，°13BCsin 120 0 10X 21所以 sin/CAB=ab= 2又在 AABC 中，/ACB=120； 所以/ CAB = 30 °,所以艦艇航彳T的方位角為75 :【訓練3】 如圖所示，一輛汽車從 O點出發(fā)，沿海岸一條 直線公路以100千米/時的速度向東勻速行駛，汽車開動時， 在。點南偏東方向距。點500千米且與海岸距離為300千米 的海上M處有一快艇，與汽車同時出發(fā)，要把一件重要的物 品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司 機手中，并求快艇以最小速度行駛時的方向與 OM所成的角.解 設(shè)快艇從M處以v千米/時的速度出發(fā)，沿MN方向航行，t小時后與汽車 在N處相遇.在 AMON 中，OM = 500 千米，ON=100t 千米,MN = vt 千米，設(shè) /MON= %由題意，知sin a=|,貝 cos后去 55由余弦定理，知MN2 = OM2+ON220M ONcos %即 v2t2 = 5002+1002t22X500X 100tx5.2一一 21整理，得 v2= 500X-80 +3 600.、78