考點(diǎn)07立體幾何-2020高考(理)?？伎记皬?fù)習(xí)指導(dǎo)與搶分集訓(xùn)(解析版)

1、專題一核心考點(diǎn)速查練考點(diǎn)07立體幾何核心考點(diǎn)呈現(xiàn)心柱錐臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征2、三視圖、斜二測(cè)畫(huà)出直觀圖3、球柱錐臺(tái)的表面積和體積公式4、線面位置關(guān)系5、線面平行、面面平行判定和性質(zhì)6、線面垂直、面面垂直判定和性質(zhì)7、用已獲結(jié)論證明空間圖形的位置關(guān)系直線方向向量與平面的法向量8、異面直線成角、線面角、二面角及點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算1. 一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示），/ABC = 45°, AB=AD=1, DCXBC,則這個(gè)平面圖形的面積為 （）1 , 22A- 4+ 4B- 2+ 2121cc. 4+2d. 2+V2【答案】B【解析】如圖將直觀圖 ABCD還原后為

2、直角梯形 A BCD 其中AB=2AB = 2, BC=1+32,2. 一個(gè)斜三棱柱（側(cè)棱與底面不垂直），底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為 4,側(cè)棱與底面三角形兩邊所成的角都是60。，則這個(gè)斜三棱柱的側(cè)面積是（A. 40C. 30（1+憫【答案】DB. 20(1+73)D. 3073【解析】如圖所示，若/ AiAC=Z AiAB=60°,則可證明？BBiCiC為矩形，因此，S側(cè)=2S?AAiBiB+S矩形 BBiCiC= 2M>5XSin60+ 4X5=20(1 +口).故選 B.olB3.如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn) （長(zhǎng)方體是虛擬圖形, 用），則四

3、面體ABCD的三視圖是（用代表圖形 ）（）起輔助作A.B.C.D.【解析】正視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為 3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線,左上到右下是虛線，因此正視圖是；側(cè)視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為 5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是；俯視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為 3和5的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是，故選B.4設(shè)a、b、c是空間的三條直線,a、3是空間的兩個(gè)平面，則下列命題中不成立的是（）A.當(dāng)c，a 時(shí)，若 c，3,則 a/ 3B.當(dāng) b?a時(shí)，若 b-L 3,則 a_L 3C.當(dāng) b?a,且c是a在a內(nèi)的射影時(shí)，若 bc,則

4、abD.當(dāng) b?a,且 c?a時(shí)，若 c/ b,貝U c/ a【解析】對(duì)于選項(xiàng) A , a可能在平面3內(nèi)，故A不成立；而B(niǎo)、C、D均成立.5.圖所示，等腰直角三角形 ABC中，AB=2, D, E, F分別在邊AB,BC, CA上，且DE/AC, EF/AB,現(xiàn)沿 DE折疊，使平面 BDEL平面ADEF,若此時(shí)棱錐 B ADEF的體積最大，則 BD的長(zhǎng)為（）A. 2B.433一一3C. 1D.2【答案】B【解析】設(shè)BD的長(zhǎng)為x時(shí)，棱錐B-ADEF的體積最大.等腰直角三角形 ABC 中，AB=2, DE/AC, EF / AB,.BD為棱錐 B-ADEF的高，此時(shí)底面 ADEF為矩形，AD =

5、2-x, DE =x.11故梭錐 B-ADEF 的體積 V=3XBDaDXDE = 3(2x)V'= x2+4，當(dāng)0<x<t時(shí)，V >0此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng) ：<x<2時(shí)，V' <0此時(shí)函數(shù)為減函 333數(shù)，故當(dāng)x = 4時(shí)函數(shù)取得最大值，即當(dāng) BD=g時(shí)，棱錐B-ADEF的體積最大. 336 .在三棱錐 C ABD中（如圖），4ABD與 CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，AB=4,二面角ABD C的大小為60°,給出下列結(jié)論：。ACLBD; ADLCO;4 AOC 為正三角形； cos/ADC=（;四面體ABCD外

6、接球的表面積為 32 7t.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 （）A.B.C.D.【解析】由題意知，BC=CD = AD = AB,且BCXCD, BAXAD.因?yàn)镺是斜邊BD的中點(diǎn),1所以O(shè)CBD, OAXBD,且OC=OA=2BD,所以/ AOC是二面角ABD C的平面角,所以/ AOC=60°,所以 AOC是正三角形，即正確.而OCAOA=O,所以BDL平面AOC, 所以BDLAC,即正確.若ADLCO,則由COLBD可得CO,平面 ABD,所以COLOA,42+42 (2 . 2)22 4 4這與/ AOC=60°矛盾，所以不正確.因?yàn)?AB = CD = AD = 4,

7、AC =272,所以cos/ ADC3?，所以不正確.因?yàn)镺B=OC = OA=OD,所以。是四面體 ABCD4外接球的球心，所以外接球的表面積為 4兀X （22）2= 32兀，即正確.綜上所述，所有正確結(jié) 論的序號(hào)是.7 .在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1中，對(duì)角線BiD與平面AiBCi相交于點(diǎn) E,則點(diǎn)E為AiBCi的（）B.內(nèi)心C.外心 D.重心【答案】A【解析】設(shè) BiDi伙iCi = M,則平面 BBiDiDA平面 AiBCi=BM,所以點(diǎn) E在中線 BM上,同理設(shè) BiCABCi=N,則平面 AiBiCDA平面AiBCi=AiN,所以點(diǎn) E在中線 AiN上，因此點(diǎn) £

8、為4 AiBCi的重心.8 .在三棱錐 S ABC中， ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA= SB= SC= 15,平面 DEFH分別與AB, BC, SC, SA交于D, E, F, H.D, E分別是AB, BC的中點(diǎn)，如果直線 SB/平面DEFH ,那么四邊形 DEFH的面積為（）45B.45、, 32D.C. 45【解析】取AC的中點(diǎn)G,連接SG, BG.易知 SG±AC, BGXAC,故 AC,平面 SGB,所以 ACXSB.因?yàn)?SB/平面 DEFH , SB?平面 SAB,平面 SABA平面 DEFH = HD ,貝U SB/ HD .同理 SB/ FE.又因?yàn)镈, E分

9、別為AB, BC的中點(diǎn)，則H, F也為AS, SC的中點(diǎn)，所以四邊形 DEFH為 平行四邊形.又因?yàn)?ACXSB, SB/ HD , DE / AC, 所以DEL HD,所以四邊形 DEFH為矩形， 9.如圖，正方體 ABCDAiBiCiDi中，E、F分別為棱 DDi、AB 上的點(diǎn).已知下列命題：AiC,平面 BiEF;在平面 AiBiCiDi內(nèi)總存在與平面 BiEF平行 的直線；平面 BiEF與平面ABCD所成二面角的大小與點(diǎn) E的位 置有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān).其中真命題有 個(gè).【答案】 i【解析】對(duì)于，; AiC,平面ABiDi,而平面BiEF與平面ABiDi不一定重合，是假命題；對(duì)于，:

10、兩平面有公共點(diǎn)Bi, .兩平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)平行于兩個(gè)平面交線的直線一定平行于另一個(gè)平面，是真命題；對(duì)于，代入幾個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，如F與A重合，E與D重合時(shí)二面角的大小為45°, F與B重合，E與D重合時(shí)二面角的大小為90。，.是假命題.i0.如圖，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，點(diǎn)E, F分 別在 AAi, CCi 上，且 AE = 4AAi, CF = ；CCi,點(diǎn) A, C 到BD的距離之比為 3 ： 2,則三棱錐 E- BCD和F-ABD的體積比VE BCDVF ABD,3【答案】：2_ . , 一、一、 . .一, SBCD 2 ，一 ，、【解析】由題意可知點(diǎn)

11、 A, C到BD的距離之比為3 : 2,所以S =2,又直四棱枉 ABCD $ABD 3.31 . AE一AiBiCiDi 中，AE = 4AA1, CF = 3CCi,所以 3=9VE bcd4VFABD1c3sA BCD AE 2 9 31=35=2.-SaABD CF 311.在棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCDAiBiCiDi中，M, N分別是 ACi, A1B1的中點(diǎn).點(diǎn) P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)等于 .DA【答案】:2+5【解析】取BBi, CCi的中點(diǎn)E, F,連接AE, EF , FD ,則BNL平面AEFD ,設(shè)M在平面 ABi中的射影為

12、O,過(guò)MO與平面AEFD平行的平面為 “，.能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所 構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長(zhǎng)與矩形 AEFD的周長(zhǎng)相等.正方體ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,.矩形AEFD的周長(zhǎng)為2+5.12.在如圖所示的棱長(zhǎng)為 2的正方體ABCD AiBiCiDi中，作與平面 ACDi平行的截面，則 截得的三角形中，面積最大的值是 ;截得的平面圖形中，面積最大的值是D【答案】:273 3p【解析】截得的三角形中，面積最大的是三角形AiCiB,面積為 (><2<2)2 = 273.截得的平面圖形中，面積最大的是正六邊形，如圖，面積為6X3X(2)2=33.13.已知正方體的棱長(zhǎng)為 1

13、,平面 過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所 成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是()C.近D.3.34【解析】正方體的棱長(zhǎng)為1,平面過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，可得空間幾何體及平面如下圖所示該正方體在平面內(nèi)的正投影如下圖所示，該投影是正六邊形則由正六邊形的性質(zhì)可知B1 M'2 tan 300、6則 BB1 2B1M.6所以SCB1BCM BB1、.6,3r.則ABCCi Di Ai即為該正方體在平面內(nèi)的正投影面積因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,則acb. 72則 SABCC1D1Al 6SCB1B 63故選:B14.如圖，已知四面體 ABCD為正

14、四面體，AB 2, E, F分別是AD, BC中點(diǎn).若用一個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊 形截面，則該多邊形截面面積最大值為（D. 2【解析】補(bǔ)成正方體，如圖Q EF ,截面為平行四邊形 MNKL ,可得NK KL 2 , 又 MN/AD,KL/BC,且 AD BC, KN KL可得Sb邊形 MNKL NKNK KLKL (-.2)1,當(dāng)且僅當(dāng)NK KL時(shí)取等號(hào)，選 A.15.四棱錐P-ABCD中,AB=(4, 2,3), AD= (-4,1,0), AP=( 6,2, 8),則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)=()A. 1C. 13【答案】B【解析】設(shè)平面B

15、. 2D. 26ABCD的一個(gè)法向量為 n = (x, y, z).【答案】An±AB,4x- 2y+3z=0,?一一4x+ y=0,n ± AD4令 y=4,則 n= 1, 4, ,332-6+8-tU n AP3 26則 cos n , AP> =;= 一 士二13 I26 .|n|AP|3 >2 26因?yàn)閖- |AP|=|cosn, Ap> |,所以 h=266x226= 2.16.已知底面是邊長(zhǎng)為 2的正方形的四棱錐 P-ABCD中，四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都為 4, E是PB的中點(diǎn)，則異面直線 AD與CE所成角的余弦值為(.6A-4B.1C. 2D.)3J

16、22【解析】解法一：選 A.如圖，取PC的中點(diǎn)F,連接EF,則EF =1,且/ ECB為異面直線 AD與CE所成的角.在 PEF中，由 余弦定理，得cos/ EPF = 21 =7.在 pec中，由余弦定理，2 /2 28得 CE2= PE2+ PC2-2PEXPCXcosZ EPC = 22+42 - 2>2X4>= 6,8所以 cos/ ECB =EC2+BC2EB2 6+4 4 J62XECXBC2X/6X2 4,故選A.解法二：設(shè) O為正方形ABCD的對(duì)角線 AC與BD的交點(diǎn)，根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(1, 1, 0), D(_1 11, 1,0), C

17、(1,1,0), E-, 2所以 AD = (2,0,0), CE =32'1142', 所以|cosM N . AD CEAD , CE > | ='if -|AD|CE|317.已知球O為三棱錐S-ABC的外接球,SA SC ABAC球O的表面積是（14A.3【答案】A16B.3C. 7D. 8【解析】取SC中點(diǎn)M,連接AM、MB,.-.AM ±SC, MBXSC, .SC,平面 AMB,球心0在平面AMB上，作001，平面SAC,可得Oi為等邊三角形SAC的中心,所以 AOi = 2 AM 2 AS sin 2 尤叵, 333323取AB中點(diǎn)N,連

18、接 ON, . .ON,AB, OOiAN四點(diǎn)共圓，ao 為這四點(diǎn)共圓的直徑,也是三棱錐S- ABC外接球的半徑，連接Oi N ,在ABM 中：am as sin- 72 ,322MB2 BC2 MC2 222_26_7_ 2AM AB 2 MB 42./ MAB = 90°,在直角三角形OiNA中,由勾股定理，得OiN = JAO12AN 2_ 2_ 2.6232,426二三棱錐S-ABC外接球的半徑長(zhǎng)為 AO=OiN = Y42 ,6S 4 R2故選：A.143i8.已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點(diǎn)，PA=PB=PC=2,ABC 90，點(diǎn)B在AC上的射影為D,則三棱錐PA

19、BD體積的最大值為36R 3-3B . C .D.3.38【解析】下圖，由題意,PA PB PC 2, ABC 90 ,ABC上的射影，所以球心取AC的中點(diǎn)為G ,則G為三角形 ABC的外心，且為P在平面在PG的延長(zhǎng)線上，設(shè)PG h ,則OG 2 h ,所以 OB2 OG2 PB2 PG2,即 4 2 h2 4 h2 ,所以 h 1.故 AG CG s/3 ,過(guò)B作BD AC于D,設(shè)AD x（0 x 2右），則CD 2屈x,273 x x ,1設(shè) BD m(0 m 褥)，則 AABD zBCD ,故 m 2M x x m所以m22 J3 x x ,則m，-_1所以zXABD的面積S - xm

20、2令 fx26 xx3,則 f'x x2(6>/3 4x),3因?yàn)閤2 0 ,所以當(dāng)0 x -J3時(shí)，f' x 0,即f x此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)23 二-J3 x 2J3時(shí)，f x 0,此時(shí)f x單倜遞減。2所以當(dāng)x 3J3時(shí)，f x取到最大值為 至3 ,即abd的面積最大值為 216當(dāng)ABD的面積最大時(shí)，三棱錐 P ABD體積取得最大值為 -9J3 33. 3 88故選D.19.在三棱錐A BCD中，BCBDAC AD 10, AB 6, CD 16,點(diǎn) P在平,則sin的最小值為（）面ACD內(nèi)，且BP 廊,設(shè)異面直線BP與CD所成角為【答案】A【解析】CD中點(diǎn)K ,連接A

21、K , BK ,Q BC BD AC AD 10, CD 16,AK BK 6 ,Q AB 6,ABK為正三角形，取AK中點(diǎn)O,連接BO ,則BO AK ,且BO 3我，易知CD 平面ABK ,CD BO, BO 平面 ACD ,Q bp J30, p在圖中圓。上，當(dāng)P與G, H重合時(shí)，sin 1最大，當(dāng)P與M, N重合時(shí)，sin 竺竺0最小.3010故選：A.20.在平面四邊形 ABCD 中，ABXBD, Z BCD =30 °, AB2 4BD2 6,若將 ABD 沿 BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BDC外接球的表面積是（）A. 4兀B. 5兀C. 6無(wú)D. 8?！敬?/p>

22、案】C【解析】AD,BD中點(diǎn)E,F,設(shè) BCD的外心為M ,連MB,MF ,EF ,一10則 MF BD, BMF DMB BCD 300, BM 2BF BD2分別過(guò)E,M作MF,EF的平行線，交于。點(diǎn),即 OE /MF ,OM /EF ,QBD AB, E為ABD的外心，平面ABD 平面BCD , AB 平面BCD ,EF /AB, EF 平面 BCD, OM 平面 BCD ,同理OE 平面ABD, E,M分別為 ABD, BCD外心,O為三棱錐的外接球的球心，OB為其半徑，OB2 BM 2 OM 2 BD2 EF2 BD2 1AB2 3,42_2_S 求 4 OB 6 .故選:C21 .

23、唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）.當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積 （假設(shè)內(nèi)壁表面光滑， 表面積為S平方厘米，半球的半徑為 R厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范圍為（）IT 【解析】設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為S 2h，R，則 S 2 R2 2 Rh，則 Rh 一 R , 223223S 2所以酒杯的容積V R3R2h-R3R2R3323R3R3S又h 0,所以S2_ 2 一 一R 0,所以故選：D22.已知求。的表面積為64兀，A,B,C在球面上，且線段AB的長(zhǎng)為4x/2，記AB的中點(diǎn)為D ,若OD與平面A

24、BC的所成角為60 ,則三棱錐O ABC外接球的體積為（）、256 73B 512而C 256遍D 512 遍272727.27【答案】D【解析】設(shè)ABC所在截面圓的圓心為 O1,AB 中點(diǎn)為 D ,連接 OD , ODi , OA OB,所以O(shè)D AB,同理O1D AB ,所以 ODOi即為OD與平面ABC所成的角，故 ODOi 60° ； 因?yàn)?OA OB 4 , AB 4V2，所以 OAB是等腰直角三角形，. . OD 2也，在 Rt ODOi 中，由 cos6。 OD,得 O1D 22,由勾股定理得：OO166,因?yàn)镺i到A, B, C三點(diǎn)的距離相等，所以三棱錐O ABC外接

25、球的球心E在射線OOi上,設(shè)四面體OABC外接球半徑為 R,在Rt O1BE中,OiB Job2 OOi2 而，be r, oe |r 何,222由勾股定理可得：OiB2 OiE2 BE2,即10 (R .6)22R2,解得R4x63512、.627，一，一434故所求球體積VR3-33故選D.23.如圖，三棱柱ABC ABiCi中,B1AAC1AA 600,AAi AC 4, AB 2,P,Q分別為棱AA, AC的中點(diǎn).(1)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AM /平面PQBi交BC于點(diǎn)M ,并寫(xiě)出作圖步驟，但不要求證明.(2)若側(cè)面ACCiA 側(cè)面ABBiA,求直線AG與平面PQBi所成角的正弦值.

26、(1)如圖，在平面 ABB1A1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AN/BiP交BBi于點(diǎn)N ,連結(jié)BQ ,在 BBiQ中，作NH /BiQ交BQ于點(diǎn)H ,連結(jié)AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M ,則AM為所求作直線5S%(2)連結(jié) PC1,AC1, . AA AC A1cl 4, C1A1A 60°, /. AC1Al為正三角形 P 為 AA 的中點(diǎn)，PC1 AA ,又.側(cè)面 ACC1A1 側(cè)面 ABBA ,且面 ACC1A 面 ABBA AA ,PC1 平面 ACC1A ,PC1 平面 ABB1A1 ,在平面ABB1A內(nèi)過(guò)點(diǎn)p作PR AA交BB1于點(diǎn)R , uir uuu uuu分別以PRpAPG的方向?yàn)閤軸，y

27、軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P xyz,則 P °,°,° ,A 0,2,0 ,A °, 2,0 ,C °, 4,2 73 , C 0,0,2 73 .Q為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0, 3,73 ,uuiiAC1一 uuu0, 2,2,3 ,PQ0, 3, .3_uuu AB AB 2, B1AA 60，.一 B1 73,1,0 ，.一 PB1V3,i,0 ,r設(shè)平面PQBi的法向量為m x, y, z ,uuu r_,PQ m 0 口 3y 、.3z 0由uuu r 得,PB1 m 0、3x y 0一r令x 1 ,得yJ3,

28、z3,所以平面PQBi的一個(gè)法向量為 m1,、3, 3設(shè)直線A1C1與平面PQB1所成角為a,貝U sinuuur r cos AC 1, muuur r AC1 m uuu-r AC11ml3913即直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值為391324.如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中，AA1 = AD=1, E為CD的中點(diǎn).(1)求證：B1EXAD1.(2)在AA1上是否存在一點(diǎn) P,使得DP/平面B1AE.若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明 理由.解：(1)證明：以A為原點(diǎn)，AB, AD, AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間 直角坐標(biāo)系(如圖).a . 一設(shè)

29、 AB = a,則 A(0,0,0), D(0,1,0), D1(0,1,1), E2, 1, 0 , B1(a,0,1),，,一一 a故AD1=(0,1,1), B1E= - 1, -1 ,一 ，、 N a , 八AB1=(a,0,1), AE= 2, 1,0. a因?yàn)?B1E AD1 = 2刈+1 M + (1) M = 0,所以 B1EXAD1.(2)假設(shè)在棱 AAi上存在一點(diǎn) P(0,0, z。),使得 DP/平面 BiAE,此時(shí) D P = (0, 1, zo).又設(shè)平面BiAE的法向量n= (x, y, z).一、，,一,因?yàn)閚,平面BiAE,所以n±ABi, n

30、7;AE,ax+ z= 0,ax 2- + y=°.取x= 1 ,得平面BiAE的一個(gè)法向量a 一n= 1, 2, - a .要使DP/平面BiAE,只要n±DP,入a -有2 azo=0,1解得zo = 2.又DP平面B1AE,1所以存在點(diǎn)P,滿足DP/平面B1AE,此時(shí)AP = 1.25.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC,底面 ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB±AD,AB/ CD, AB=2AD=2CD=2, E 是 PB 的中點(diǎn).(1)求證：平面 EACL平面 PBC.(2)若平面PAC與平面eac夾角的余弦值為 普,求直線pa與平面eac夾角的正弦

31、值.解：(1)因?yàn)镻C，底面abcd,所以PCXAC,因?yàn)榈酌鎍bcd是直角梯形，且 AB = 2AD= 2CD = 2,所以 AC='2, BC = x/'2.所以 ab2=ac2 + bc2,所以acxbc,因?yàn)閜cabc = c,所以AC,平面pbc,因?yàn)锳C 平面eac,所以平面 eac，平面 pbc.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè) PC= a,則 A(0,0,0), C(1,1,0),1 3 aE 次 -, a , P(1,1, a), B(0,2,0). 一一 13a所以 AC= (1,1,0), AE= 5，5, 2 ,AP=(1,1, a), BC=(1

32、, 1,0).設(shè)平面EAC的法向量為 v= (x, v, z),y AC = 0,v AE = 0,x+ y= 0,x+ 3y+ az= 0,2令 x= 1,則尸 1, - 1, , a因?yàn)?BCXAC, BCXPC, ACnPC=C,所以 BC,平面 PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為 u=BC=(1, 1,0),設(shè)平面PAC與平面EAC的夾角為 &貝 U cosO=設(shè)直線PA與平面EAC的夾角為a,則sin a= |，AP|川API_|1 1+ 1 X 1+2M|_ 2一；3刈6 3 .26 .如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD ABCR 中，E , F , M , N分別是棱AB

33、 ,AD ,AB1， AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P , Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP BQ (02).(1)當(dāng) 1時(shí)，證明：直線 BC1/平面EFPQ ;(2)是否存在 ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】以D為原點(diǎn)，射線 DA, DC, DD1分別為x, y, z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz .由已知得B2,2,0 ,Ci 0,2,2 , E 2,1,0 ,F 1,0,0 , P 0,0,N 1,0,2 , M 2,1,2uuu,則BCuur2,0,2 , FP 1,0,uuruuuumFE1,1,0 , NM1,1

34、,0 , NP1,0,2uur(1)當(dāng) 1 時(shí)，F(xiàn)Puuu1,0,1 ，因?yàn)?BC1uuuuir2,0,2 ，所以 BC1 2FP ,即 BC1/FP ,又FP 平面EFPQ ,且BC1平面EFPQ ,故直線BC /平面EFPQ .r一(2)設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為 n x,y,z ,則uur rFE n 0 /口 x y 0r彳由uur r ，得,于是可取n ,1 .FP n 0 x z 0.uuur rr ., NM m設(shè)平面MNPQ的一個(gè)法向量為 m x',y',z',由 uur rNP m°,得x' y' 0x' 2 z&#

35、39;r于是可取m 2,2,1若存在使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，mn "J ,/。，即 221。，解得 1 日顯然滿足02.故存在1 逅，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角27 .如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，BE AD,BC 3, AD 15, BE 3J3 .把 ABE沿BE折起，使得 AC 6J2,得到四棱錐 A BCDE.如圖2所示.(1)求證：面ACE 面ABD ;(2)求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值A(chǔ)D ,可知 AE 6, DE 9 .【答案】(1)證明：在等腰梯形 ABCD中BC 3, AD 15, BE因?yàn)?BC 3,

36、BE 3.3, BEAD ,可得 CE 6.又因?yàn)锳E 6, AC672 ,即 AC2 CE2 AE2,則 AEEC .又 BE AE,BEEC E ,可得 AE 面 BCDE ,故 AEBD .又因?yàn)閠an DBEDEBE3,3DBEtan BECBCBE_3_3.3BEC30°,所以CE BD ,又AE EC E ,所以BD 面ACE ,又BD 面ABD ,所以面 ABD 面ACE ;(2)設(shè)EC BD O,過(guò)點(diǎn)。作OF/AE交AC于點(diǎn)F ,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OF所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O BCF.在BCE中，BEO 300 , BOEO

37、,一 9 一一EO ,CO2班,。,。2-39,C 0,二，0 ,E 0,二，0 , FO/AE,FO1-AE, AE 6, 20,0,3 ,A0,I，6 DE /BC,DE9,uuuEDuur3BC , DuurBE3.3 9 cv,2,0uuu ,AEuir0,0,6 ,CAuur0, 6,6 ,CD設(shè)平面irABE的法向量為n1x, yi, zi1r uur64n1 AE 01由ur uur ，得3J3n1 BE 0xi292y1取xi J3,可得平面ABE的法向量為urniJ3, 1,0 ，93八八,0,02uu設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n2x2,y2,z2，uu uurn2 CA由u

38、u uuu n2 CD6y1，得 9,3- x16z10取x1 1,可得平面 ABE的一個(gè)法向量為n2 1, 3J3, 3近設(shè)平面ABE與平面ACD所成銳二面角為ur則cos4.32.1652,5555所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為 封畫(huà)5528.如圖，在四棱錐S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱 SA 底面ABCD, AB垂直于AD和BC, M為棱SB上的點(diǎn)，SA AB BC 2, AD 1 .D(1)若M為棱SB的中點(diǎn)，求證： AM /平面SCD;(2)當(dāng)SM 2MB時(shí)，求平面 AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；(3)在第(2)問(wèn)條件下，設(shè)點(diǎn) N是線段CD

39、上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為 求當(dāng)sin取最大值時(shí)點(diǎn) N的位置.【答案】(1)證明：取線段SC的中點(diǎn)E,連接ME, ED.在VSBC中，ME為中位線，MEPBC, 21 - . ADP-BC , 2ME PAD ,，四邊形AMED為平行四邊形.ME PDE DE 平面 SCD, AM 平面 SCD,. AM P平面 SCD.(2)解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立分別以AD、AB、AS為x軸、y軸、z軸，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A 0,0,0 , B 0,2,0C 2,2,01,0,0 , S 0,0,2 ,由條件得M為線段SB近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).uuuv 2 uuv 是 AM AB 31

40、uuv -AS 3八4 20,-,3八4 20,一，一3 3設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為x,y,z ,則uuiv AM uuu ACv nv n將坐標(biāo)代入得n 1,1, 2另外易知平面SAB的一個(gè)法向量為1,0,0所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為vi vn m(3)設(shè) N x,2x 2,0 ,其中x 2.,4 2由于M 0,-,-,所以3 3uuvMNx,2x 仙 3所以sin可知當(dāng)此時(shí),uuv vMN muuvMN4020895x240一 x3104104 140 126 22一,一,015 1515一,即2626 ，時(shí)分母有取小值,15N在線段CD上且ND此時(shí)sin有最大值,11.51529.如圖，在四邊形 ABCD中，AB/CD, /BCD = W，四邊形ACFE為矩形，且CF，平面 ABCD, AD=CD=BC = CF.(1)求證：EF，平面BCF;(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) M在什么位置時(shí)，平面 MAB與平面FCB所成銳二面角最 大，并求此時(shí)二面角的余弦值.解：(1)證明：在梯形 ABCD中，設(shè)AD = CD=BC=1,. AB/CD, Z BCD = 2r?, . AB = 2, . AC2= AB2+BC22AB BC cos= 3. 33. .AB2= AC2+BC2,BCXAC .平面 ABCD, AC 平面 ABC