清華大學(xué)暑期學(xué)校測試真題

1、清華大學(xué)2016年暑期學(xué)校測試真題-CAL-FENGHAI-(2O2OYEAR-YICAI)JINGBIAN清華大學(xué)2016年暑期學(xué)校測試真題21 .已知Ovlog。一<1且awl,則。的取值范圍是2、 【答案】0,-2【解析】根據(jù)題意，有l(wèi)og2“>l,于是。的取值范圍是0,二.< 3）2 .在銳角A4BC中，a = J7/= 3,sinA +J7sin8 = 2jT,則A43C的而積是. 中 3也【答案】二一 2【解析】解法一：由正弦定理可得其中斤為dABC外接圓半徑，于是sin A =2R 2從而根據(jù)余弦定理b2 +c2 -2 = 2bccosA,解得c = l （此時

2、B為鈍角，舍去）或c = 2 因此A48c的面積解法二：根據(jù)正弦定理yjl sin B = asinB = bsin A = 3sin A ,于是其余同解法一.3 .已知橢圓C：g + ；=1的左、右焦點分別為"，尸廠過點尸工作直線（與橢圓交于A, C兩點，直線4的斜率為1，過點G作直線與橢圓交于8,。兩點，且AC_L8Q,則四邊形AC8O的面枳是.【答案】25【解析】由焦點弦長公式，可得四邊形AC83的面積° ACBD= -ACBD 2_ 12 加2ab22 a2-c2 cos2. a2 -c2 cos21 96259其中 = 0,/? = V5,c = i,q =?，a

3、 =4 .在正方體 的底而AC42內(nèi)有一點M ,且8M 平面ARC,則tan/2M。的最大值是【答案】V2【解析】作平面84G，如下頁圖，根據(jù)題意，點例在線段A】G上運動.于是tan NO幽。=< 四=衣1 。也”(A，4G)當(dāng)例位于4G的中點時取得等號，因此所求的最大值為JI.5 .已知集合4 = #/-21一3>0,8 = 1|丁+內(nèi) + /?«0,408 =凡4口8=(3,5,則 a + b=.【答案】-9【解析】根據(jù)題意A = (yo,-4)U(3,X>),于是析=-1,5,從而由韋達定理得一。=-1 + 5 = 4,。= 一1乂5 = 5 ,于是。+ /?

4、 = 9./ X6 .圓心為點(0,1)的單位圓沿x軸正向滾動，初始時刻點P的坐標為0(0,0),當(dāng)圓心運動到-J時,1 2 )點尸的坐標為.【答案】(一1,1【解析】先考慮旋轉(zhuǎn)，則整個圓順時針旋轉(zhuǎn)了一， 2于是點(0,0)旋轉(zhuǎn)到點(一1,1)：Z再考慮平移，可得尸-1,1 (2)7 .已知等差數(shù)列%的前項和為5“，且5|05 =2016, S刈6=105,貝.【答案】-2121【解析】根據(jù)題意，關(guān)于的方程S“+ = 2121有兩個實數(shù)根 =105和 =2016,考慮到/()=+形如a" + .，因此由/(105)= 2016)可得，/(2121) =/(105 + 2016) =

5、/(0)= 0.備注：一般地，若等差數(shù)列的前項和S“滿足Sp=g且Sg=，則=_( + “).8 .數(shù)列也滿足角=1一-1,4=2,已知m的通項可以表示成Asin(? + c) + 8的形式，則數(shù)列&通項的一個表達試為.【答案】&S叫與+ J【解析】根據(jù)題意，有于是考慮周期為3,對應(yīng)刃=三3由 4 =2,a? =一得 2AsinQ + 8 = -1,2)Asin 7T +(p +8 = 2,13)解得8 = ；, A2=3,取4 =有，于是夕可取一二9定義/h(x) = <-1, xe Af,/、/、xM，且".=""""

6、)/3 = 一|.集合 A = xlx = Z,ZwN,lkW2016,集合3 = xlx = 2太攵 eNWk42016.(1)求4(2016), 4(2016).(2) 設(shè)csd(X)為集合X的元素個數(shù)，求"7 = wd(XA4)+ ca2(XM)的最小值.【解析】根據(jù)"(X)的定義,有人(2016) = -1,力(2016) = 1.設(shè)集合X中有/個元素既不在A中也不在3中，引個元素只在集合A中，9個元素只在集合8中,七個元素同時在集合A，8中，如圖.in = card (XAA)+ card (X AB)=+ x2 + card(A)-xx -x3 j + x0 +

7、x)+ card(B)-x2 一.=card (A) + card (8) + 2x0 - 2x3> card (A) + card(B)- 2card(AQ B)= 2016 + 2016-2x1008= 2016當(dāng)/=0,退=csd(An3)時等號成立，即ADBqX,且X三(AU8)時可取到最小值，也可以直 接取X=AC|8,因此所求的最小值為2016.10 .已知/(x) = Asin(s+0)+ 8,自變量、相位、函數(shù)值的部分取值如下表X7tT7tt 12cox +(p0n2nTn13(1)求/(x)的解析式；(2)求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間； 求在(0,2句內(nèi)的所有零點.【解析】(

8、1)根據(jù)題意/函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3k汽(3)函數(shù)/(x)的零點形如f(x)=2sin(gx +寺 +1.一仁33決eZ).2 44 74A +2k 7T +,QOA也即2-x +34/r 1 n=2a+,k eZ 9解得其在(0,2句內(nèi)的所有零點為x =13乃1211 .己知圓O:/ + y2=i6,為圓。與X軸的兩個不同的交點，412是圓。在點48處的切線，戶為圓上不與4,8重合的點，過點尸的切線交/于CO兩點，A。與8c交于點何(?,).(1)求?與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)存在一點Q(,0)且。0,使得叫的最小值是斗，求。的值.【解析】(1)如圖，設(shè)尸在x軸上的投影為H,則由梯形的性質(zhì)可得其對角線的交點”為線段尸的中 點.22=1(工0).因此加與之間的數(shù)量關(guān)系為:+ 21164根據(jù)題意QM =(ni a) +n2 =(m a) +4(/ =由于WO, -4 < m < 4 ,因此只有12 .已知直線/為曲線C:)，=”出在點(1m)處的切線.X(1)求直線/的方程(2)求證：當(dāng)。<1時，直線/除切點外恒在。的上方.【解析】記“力二”史,則“X)的導(dǎo)函數(shù)AX 于是切線/方程為y = (a)x + 2a l.(2)只需要證明當(dāng)時，有Tx>0,xW 1,憶"一' <(a)x + 2a ,